\section{Appendix - Tensoren - beknopte samenvatting}\label{appendix_e}

\noindent
{\bf Lineaire (vector) ruimte:} Een verzameling $L$ heet een lineaire ruimte als
\begin{enumerate}
\item{} {\sl Optelling} van elementen van $L$ gedefinieerd is: als $\vec a$ en $\vec b$
elementen van $L$ zijn, dan is $\vec a + \vec b$ ook element van $L$.
\item{} {\sl Vermenigvuldiging} van elementen van $L$ met (re\"ele) getallen
gedefinieerd is: als $\vec a$ element van $L$ is, dan is voor elke re\"eel getal
$\lambda$, de vector $\lambda \vec a$ ook element van $L$.
\item{} $L$ bevat 0, en dat is zo gedefinieerd dat $\vec a+ 0 = \vec a$ voor elke $\vec a$ in $L$.
\item{} Alle gebruikelijke regels uit de algebra gelden: $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$,
$\lambda (\vec a + \vec b) = \lambda \vec a + \lambda \vec b$, $etc$.
\end{enumerate}

\noindent
De lineaire ruimte $L$ is $n$-dimensionaal als het een verzameling $n$ van nul
verschillende vectoren $\vec e_1, ... , \vec e_n$ bevat, zodat elke vector in $L$
uitgedrukt kan worden als lineaire combinatie van $\vec e_i$'s als
\begin{equation}
\vec A = \sum_{i=1}^n A^i \vec e_i .
\label{eq:vector}
\end{equation}
Hierbij zijn de $A^i$ re\"ele getallen, en we noemen deze de componenten van
de vector $\vec A$. Met `lineair onafhankelijk' wordt bedoeld dat geen enkele van
de $\vec e_i$'s kan worden uitgedrukt als lineaire combinatie van de anderen.
We noemen de vectoren $\{ \vec e_i \}$ een {\sl basis}. Het is conventie dat
we de componenten van een vector $A^i$ met een {\sl bovenindex} aangeven, en
basisvectoren $\vec e_i$ met een {\sl benedenindex}.

\bigskip
\noindent
{\bf De sommatieconventie van Einstein:} Dit is een handige en beknopte schrijfwijze
die we veelvuldig zullen gebruiken tijdens de cursus. Deze conventie stelt dat
wanneer twee indices aangegeven met dezelfde letter in een wiskundige uitdrukking
voorkomen, \'e\'en als bovenindex en \'e\'en beneden, we er van uit gaan dat over deze
indices gesommeerd wordt, zonder dat we uitdrukkelijk het $\sum$ teken hoeven
op te schrijven. Bijvoorbeeld, met deze convectie kunnen we de vector $\vec A$
in vergelijking (\ref{eq:vector}) schrijven als
\begin{equation}
\vec A = A^i \vec e_i .
\end{equation}
We noemen dergelijke herhaalde indices `dummy indices'. Vanaf nu zullen we altijd
de sommatieconventie gebruiken.

\bigskip
\noindent
{\bf Veranderen van basis:} Een lineaire ruimte heeft oneindig veel bases. Als
$\vec e_i$ een basis vormen in $L$, dan vormen de vectoren $\vec e_{j^\prime}$
ook een basis in $L$. Er geldt
\begin{equation}
\vec e_{j^\prime} = \Lambda_{~j^\prime}^i \vec e_i ,
\label{eq:basis}
\end{equation}
met $\Lambda$ een matrix waarvan de determinant ongelijk aan nul is.
Merk op dat we de sommatieconventie gebruiken voor index $i$.
We noemen
$\Lambda_{~j^\prime}^i$ het element van $\Lambda$ voor rij $i$ en kolom $j$.
De notatie is subtiel, maar u kunt $\Lambda_{~b}^a$ z\'o lezen dat
de {\sl basisvectoren} getransformeerd worden van systeem $a$ naar $b$.

\medskip
\noindent
We kunnen vergelijking (\ref{eq:basis}) inverteren,
\begin{equation}
\vec e_i = \Lambda_{~i}^{j^\prime} \vec e_{j^\prime} ,
\label{eq:vectorr}
\end{equation}
waarbij de matrix $\Lambda_{~i}^{j^\prime}$ de inverse is van $\Lambda_{~j^\prime}^i$.
Omdat $\Lambda_{~i}^{j^\prime} = \left( \Lambda_{~j^\prime}^i \right)^{-1}$
en dus $\Lambda^{-1} \Lambda = \Lambda \Lambda^{-1} = 1$,
schrijven we in indexnotatie
\begin{equation}
\Lambda_{~i}^{j^\prime} \Lambda_{~j^\prime}^k = \delta_{~i}^k ,
\end{equation}
waarbij de Kronecker $\delta_{~j}^j$ gelijk is aan 1 als $i=j$ en anders 0.

\medskip
\noindent
De vector $\vec A$ is een geometrisch object en verandert niet als we een
andere basis kiezen. De {\sl componenten} $A^i$ veranderen wel. In de nieuwe
basis worden ze gegeven door
\begin{equation}
A^{i^\prime} = \Lambda_{~j}^{i^\prime} A^j .
\label{eq:trans}
\end{equation}
De notatie is weer subtiel, maar als u het bovenstaande met uitdrukking (\ref{eq:basis})
vergelijkt, ziet u dat het transformatiegedrag van basisvectoren en vectorcomponenten
{\sl tegengesteld (contra)} is.
In de algemene relativiteitstheorie (ART) worden vectoren ook wel `contravariante
vectoren' genoemd om dit gedrag uit te drukken.

\bigskip
\noindent
{\bf 1-vormen en duale ruimten:} De ART werkt met geometrische (dat zijn
basisonafhankelijke) objecten. Een vector is hiervan een voorbeeld. Een
ander voorbeeld is een re\"eelwaardige functie $\tilde{p}(\vec a)$ op
een lineaire ruimte, dat is een afbeelding van de lineaire ruimte naar de
re\"ele getallen.
Dat is ingewikkelde taal, maar u
kunt zich een 1-vorm voorstellen als een apparaat met \'e\'en sleuf,
waarin u een vector kunt stoppen. Nadat de vector in de sleuf geplaatst is,
rolt er een re\"eel getal uit het apparaat.

\medskip
\noindent
Beschouw nu alle mogelijke 1-vormen op een lineaire ruimte $L$. Het
blijkt dan dat de verzameling van deze 1-vormen ook weer
gezien kan worden als een lineaire ruimte.
Met $L^*$ duiden we de lineaire ruimte van alle 1-vormen op $L$ aan.
Deze staat bekend als de {\sl duale} of {\sl geconjugeerde} ruimte aan $L$.
$L^*$ heeft niet minder status dan $L$. Dit kan al afgeleid worden uit
het opmerkelijke feit dat als $L$ $n$-dimensionaal is, dan is $L^*$
ook $n$-dimensionaal. Als $\tilde{p}$ een willekeurige 1-vorm is en
$\vec V$ een vector dan geldt
\begin{equation}
\tilde{p}( \vec V) = \tilde{p}(V^i \vec e_i ) = \tilde{p}(\vec e_i) V^i.
\end{equation}
We zien dat $\tilde{p}$ volledig bepaald wordt door $n$ getallen,
$\{ \tilde{p}(\vec e_i ) \}$, en dat zijn de componenten $p_i$ van de 1-vorm.
Dus $L^*$ is $n$-dimensionaal.

\bigskip
\noindent
{\bf Basis in een duale ruimte:} Gegeven een basis $\{ \vec e_i \}$ in $L$,
is het handig om een verzameling $\{ \tilde{\omega}^i \}$ 1-vormen te
defini\"eren met de relatie
\begin{equation}
\tilde{\omega}^i (\vec e_j ) = \delta_{~j}^i .
\end{equation}
Deze 1-vormen leveren een basis in $L^*$ die we de duale basis noemen,
omdat er $n$ van deze $\tilde{\omega}^i$ lineair onafhankelijk zijn.
Dus kunnen we elke 1-vorm $\tilde{p}$ schrijven als
\begin{equation}
\tilde{p} = p_i \tilde{\omega}^i ,
\end{equation}
met $p_i$ re\"ele getallen. Verder geldt
\begin{equation}
\tilde{p}(\vec V) = p_i V^i .
\end{equation}
Wiskundig is $\tilde{p}(\vec V)$ analoog aan het inproduct van
twee vectoren, $\tilde{p}$ en $\vec V$, behalve dat $\tilde{p}$
en $\vec V$ in verschillende ruimten leven, namelijk $\tilde{p}$
in $L^*$, en $\vec V$ in $L$. We komen hier later op terug
als we over inproducten spreken.

\medskip
\noindent
Als de basis in $L$ verandert volgens vergelijking (\ref{eq:basis}),
verandert de duale basis ook
\begin{equation}
\tilde{\omega}^{i^\prime} = \Lambda_{~j}^{i^\prime} \tilde{\omega}^j .
\end{equation}
Merk op dat dit identiek is aan hoe {\sl componenten} van een
vector in $L$ veranderen (zie vergelijking (\ref{eq:trans}).
De {\sl componenten van 1-vormen} veranderen net als
({\sl covariant aan}) de basisvectoren in $L$
\begin{equation}
p_{i^\prime} = \Lambda_{~i^\prime}^j p_j .
\label{eq:covar}
\end{equation}
Daarom staan 1-vormen ook bekend als covariante vectoren of als rang-1
covariante tensoren.

\medskip
\noindent
Als we de notatie nog eens samenvatten, dan zien we dat basisvectoren
$\vec e_i$ en componenten van 1-vormen $p_i$ aangeven worden met een {\sl benedenindex},
terwijl we vectorcomponenten $a^i$ en basis 1-vormen $\tilde{\omega}^i$
aangeven met een {\sl bovenindex}. J.A. Schouten heeft deze indexnotatie
bedacht: objecten met een benedenindex transformeren met $\Lambda_{~i^\prime}^j$,
terwijl objecten met een bovenindex transformeren met de inverse $\Lambda_{~j}^{i^\prime}$.

\bigskip
\noindent
{\bf De duale van de duale:} We hebben 1-vormen gedefinieerd als
lineaire re\"eelwaardige functies op een lineaire ruimte $L$.
Maar we kunnen ook vectoren voorstellen als lineaire re\"eelwaardige
functies in $L^*$. Stel dat $\vec a$ een vector is in $L$. Deze
genereert een afbeelding van $L^*$ naar de re\"ele getallen.
Deze afbeelding is lineair en als je in $L^*$ leeft, zie je
vectoren in $L$ als 1-vormen. Voor eindig-dimensionale ruimten
is het eenvoudig te bewijzen dat $L$ de duale ruimte van $L^*$ is,
dus dat geldt $L^{**} = L$.

\bigskip
\noindent
{\bf Tensoren:} Tot nu toe hebben we twee geometrische objecten
gedefinieerd: de 1-vorm, die een lineaire functie op $L$ is, en
de vectoren die gezien kunnen worden als lineaire functies op $L^*$.
Waarom beschouwen we geen lineaire functies van verschillende
variabelen? Dergelijke functies worden tensoren genoemd. Om alles
algemeen te houden, staan we toe dat sommige variabelen bij $L$
horen, terwijl andere bij $L^*$ horen. We kunnen ons een tensor
voorstellen als een apparaat met $n$ sleuven waar we vectoren (objecten
uit $L$) in kunnen stoppen en $m$ sleuven waar we 1-vormen (objecten
uit $L^*$) in kunnen plaatsen. Als we alle $n+m$ sleuven van vectoren
en 1-vormen voorzien hebben, rolt er een re\"eel getal uit het apparaat.

\medskip
\noindent
We demonstreren het bovenstaande aan de hand van een $(1,1)$ tensor.
Laat $T$ een $(1,1)$ tensor zijn. U kunt zich dit weer voorstellen als
\begin{equation}
T = T(\_ , \_ ) = T({\rm "plaats ~voor ~een~vector"}, {\rm "plaats ~voor~een~ 1-vorm"}).
\end{equation}
Door de vector $\vec x$ en 1-vorm
$\tilde{y}$ als argumenten te geven, krijgen we het re\"ele getal
\begin{equation}
T = T(\vec x, \tilde{y} ).
\label{eq:tensorxy}
\end{equation}
De vector $\vec x$ leeft in ruimte $L$ en we expanderen haar in
de basis $\vec e_j$ die in $L$ gedefinieerd is. Hetzelfde doen we
voor $\tilde{y}$ die leeft in $L^*$. We vinden
\begin{equation}
\vec x = x^j \vec e_j ~~~~{\rm en}~~~~ \tilde{y} = p_i \tilde{\omega}^i .
\end{equation}
Invullen in vergelijking (\ref{eq:tensorxy}) levert
\begin{equation}
T = T(\vec x, \tilde{y} ) = T(x^j \vec e_j, p_i \tilde{\omega}^i )
= T_{~j}^{i} ~x^{j}y_{i} ~~~{\rm met}~~~
T_{~j}^{i} = T(\vec e_{j}, \tilde{\omega}^{i}) .
\end{equation}
Merk op dat de tensor volledig bepaald wordt door de verzameling
getallen $T_{~j}^{i}$. Deze getallen worden
de {\sl componenten} van de tensor $T$ genoemd. De componenten van een
tensor zijn re\"ele getallen en we vinden component $T_{~j}^i$ door de
sleuven van de tensor te vullen met basisvector $\vec e_j$
en basis 1-vorm $\tilde{\omega}^i$.
Door alle permutaties van basisvectoren en basis 1-vormen in de sleuven
te plaatsen vinden we alle mogelijke componenten van de tensor $T$ voor deze bases.
Als we van basis
veranderen, blijft de tensor hetzelfde omdat deze op een basis-onafhankelijke
manier gedefinieerd is, maar haar componenten veranderen. In de
nieuwe basis worden deze gegeven door
\begin{equation}
T_{~j^\prime}^{i^\prime} =
\left(\Lambda_{~i^\prime}^{i}\right)^{-1}
\Lambda_{j^\prime}^{j}
T_{~j}^{i} =
\Lambda_{~i}^{i^\prime} \Lambda_{j^\prime}^{j}
T_{~j}^{i} .
\end{equation}
De behandeling van tensoren van het algemene type $(n,m)$
gaat analoog: dat zijn een re\"eelwaardige multilineaire
functies van $n+m$ variabelen, waarvan $n$ variabelen in $L$ leven en
$m$ in $L^*$.
Er zijn verschillende interessante
en nuttige wiskundige bewerkingen die uitgevoerd kunnen worden om
met tensoren nieuwe tensoren te maken, zoals {\sl contractie} en
{\sl tensorproduct}. We bespreken dat waar we het nodig hebben.

\bigskip
\noindent
{\bf Inproduct en metrische tensor:} We kennen allemaal het inproduct:
neem twee vectoren $\vec a$ en $\vec b$ en produceer het re\"ele getal
$\vec a \cdot \vec b$. De {\sl metrische tensor} $g$ bepaalt het inproduct.
Er geldt
\begin{equation}
g(\vec a , \vec b) = \vec a \cdot \vec b .
\end{equation}
Het zal duidelijk zijn dat het inproduct een
rang-2 covariante tensor is, want we stoppen 2 vectoren in de twee
sleuven van $g$, en er rolt een re\"eel getal uit: het inproduct
van deze vectoren.
De metrische tensor is symmetrisch, $g(\vec a, \vec b) = g(\vec b, \vec a)$. De
componenten van de metrische tensor worden aangegeven met $g_{ij}$,
en we vinden deze door de basisvectoren in $g$ te stoppen,
\begin{equation}
g_{ij} = g(\vec e_i , \vec e_j).
\end{equation}
Omdat $g_{ij}$ een symmetrische matrix is, kunnen we een basis vinden
waarin hij diagonaal is (dus enkel $g_{ii}$ termen heeft die ongelijk
zijn aan nul). Dit is de vertrouwde orthogonale basis.

\medskip
\noindent
De metrische tensor introduceert een natuurlijke correspondentie tussen
vectoren in $L$ en 1-vormen in $L^*$. Stel dat $\vec a$ een vector
in $L$ is.
Het is gebruikelijk om de componenten van de 1-vorm die op deze
wijze verbonden is met de vector $\vec a$ aan te duiden met $a_i$.
Er geldt
\begin{equation}
a_i = g_{ij}a^j .
\end{equation}
We noemen dit `het naar beneden halen van een index'. Het is een
erg handige notatie. Bijvoorbeeld
\begin{equation}
\vec a \cdot \vec b = g_{ij} a^i b^j = a_j b^j = a^i b_i .
\end{equation}
Als de matrix $g_{ij}$ niet singulier is (en dus een inverse heeft),
dan zien we met bovenstaande vergelijking dat de door de metriek ge\"{\i}nduceerde
correspondentie tussen vectoren en 1-vormen \'e\'en-op-\'e\'en is.
Voor de metriek in de duale ruimte geldt
\begin{equation}
g^{ij} = g(\tilde{\omega}^i , \tilde{\omega}^j),
\end{equation}
en we kunnen laten zien dat de matrix $g^{ij}$ de inverse is van de
matrix $g_{ij}$. In indexnotatie schrijven we dat als
\begin{equation}
g^{ij} g_{jk} = \delta_{~k}^i .
\end{equation}
Dus geldt
\begin{equation}
a^i = g^{ij} a_j .
\end{equation}

\medskip
\noindent
De reden dat we in de 3D euclidische ruimte nooit een verschil hebben
gemaakt tussen vectoren en 1-vormen, komt doordat de metrische tensor
voor cartesische co\"ordinaten gegeven wordt door de eenheidsmatrix, $I$.
De relatie tussen de componenten van een vector en zijn bijbehorende 1-vorm
wordt dan $a_j = g_{ij} = a^i \rightarrow a_j = \delta_{ij} a^i = a^j$.
We zien dat er in de 3D euclidische ruimte geen verschil is tussen
vectorcomponenten en 1-vormcomponenten in cartesische co\"ordinaten.

\bigskip
\noindent
{\bf Naar boven en beneden halen van indices:} We hebben gezien hoe
de door de metriek-ge\"{\i}nduceerde correspondentie tussen $L$
en $L^*$ ons in staat stelt om over te gaan tussen vectoren en
1-vormen. In het algemeen stelt deze correspondentie ons in staat
om een type $(n,m)$ tensor te veranderen in een $(n-1,m+1)$ tensor
of in een $(n+1, m-1)$ tensor.



\vfill
\eject
