\section{Appendix - Oefenopgaven}\label{appendix_d}

\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 1}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Robin Hood is van plan om op een aap
te schieten die aan een tak in een boom hangt. Fig. \ref{fig:aap} laat zien dat
de Robin precies op de aap mikt,
en hij heeft niet in de gaten dat de pijl een parabolische baan zal volgen
die onder de huidige positie van de aap door zal gaan. 
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/aap.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: Robin Hood mikt precies op de aap; rechts: de aap laat de tak
los op het moment dat de boog afgaat.}
\label{fig:aap}
\end{figure} 
De aap ziet de boog afgaan,
laat de tak los en valt uit de boom, in de verwachting dat hij de pijl zal ontwijken.
(a) Laat zien dat de aap geraakt zal worden, onafhankelijk van de snelheid waarmee
de pijl wordt afgevuurd (zolang die snelheid maar groot genoeg is om de afstand
naar de boom te overbruggen). Neem aan dat de reactietijd van de aap verwaarloosbaar
is. (b) We noemen $\vec v_{0}$ de snelheid van de pijl op het moment dat die van de boog komt.
Bepaal de snelheid van de pijl ten opzichte van de aap op een willekeurige tijd
$t$ gedurende de vlucht van de pijl. (c) Neem aan dat de horizontale
afstand tussen de schutter en de boom gelijk is aan $x=50$ m, en de verticale afstand
tussen de schutter en de tak waaraan de aap hangt $h=10$ m. Wat is de minimum
beginsnelheid van de pijl als de aap geraakt wordt, net voordat hij op de 
grond valt (de verticale afstand van de grond tot de tak is 11,2 m)?

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} Een kanonskogel wordt afgevuurd met een beginsnelheid van 42,2 m/s,
onder een hoek van $30^\circ$ met de horizontale richting, en van een hoogte
van 40 m. Hoe ver komt de kogel?

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} Hoe groot is de vrije-val versnelling voor een object ter
hoogte van de baan van de Space Shuttle (400 km boven het aardoppervlak)?

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Een projectiel wordt verticaal omhoog geschoten van het
aardoppervlak met een snelheid van $v_i = 8$ km/s. Wat is de maximale
hoogte die het bereikt (verwaarloos luchtwrijving)?

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} Een projectiel wordt verticaal omhoog geschoten van het
aardoppervlak met een beginsnelheid van $v_i = 15$ km/s. Wat is de snelheid
van het projectiel, ver verwijderd van de aarde (verwaarloos luchtwrijving)?

\vfill
\eject
\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 2}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Een planeet met een holle kern bestaat uit een uniforme dikke
bolvormige schil met massa $M$, buitenstraal $R$ en binnenstraal $R/2$.

\noindent
(a) Hoeveel massa (percentage) is dichter dan ${3 \over 4}R$ van het middelpunt van de planeet?

\noindent
(b) Hoe groot is het gravitatieveld op afstand ${1 \over 4}R$ van het middelpunt?

\noindent
(c) Hoe groot is het gravitatieveld op afstand ${3 \over 4}R$ van het middelpunt?

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} In het boek `Een reis naar de maan' van Jules Verne, worden
astronauten gelanceerd door een gigantisch kanon van de aarde naar de maan.

\noindent
(a) We schatten dat de snelheid die nodig is om de maan te bereiken
gelijk is aan de ontsnappingssnelheid van de aarde, en schatten de lengte van het
kanon als 900 voet (ongeveer 300 m, zoals vermeld in het boek). Wat is de
kans dat de astronauten de `lancering' overleven?

\noindent
(b) In het boek, voelen de astronauten in hun ruimteschip de effecten van
de gravitatie van de aarde totdat het ruimteschip het evenwichtspunt bereikt
waar de gravitationele werking van de maan gelijk is aan die van de aarde.
Op dit punt keert alles om en wat het plafond van het ruimteschip was, wordt
nu de vloer. Hoe ver van de aarde ligt dit evenwichtspunt?

\noindent
(c) Is deze beschrijving van wat de astronauten ervaren redelijk? Is dit
wat er echt gebeurd is voor de Apollo astronauten tijdens hun bezoek aan de maan?

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} We bekijken een voorwerp met massa $m$ dat aan een veer
hangt met veerconstante $C$. Het systeem voldoet aan de wet van Hooke en
dat betekent dat de uitrekking $u$ van de veer evenredig is met de
grootte van de kracht $F$ die op de veer wordt uitgeoefend, dus $F = Cu$.
Als de veer over een afstand $u$ wordt uitgerekt, dan heeft de massa
een potenti\"ele energie gegeven door $V = {1 \over 2}Cu^2$.

\noindent
(a) Verklaar de vergelijking $V = {1 \over 2}Cu^2$.

\medskip
\noindent
Als de massa nu wordt losgelaten dan treedt er oscillatie op. De snelheid $\dot{u}$
is maximaal als de veer door de evenwichtstoestand gaat (waar $u=0$ is).
De Langrangiaan wordt gegeven door $L = T-V = {1\over 2}m\dot{u}^2 - {1\over 2}Cu^2$.

\noindent
(b) Maak gebruik van de Euler-Langrangevergelijking en leidt de wet van Newton
af voor dit massa-veersysteem.


\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Ons zonnestelsel is gemaakt uit gas afkomstig van een supernova.
Al het uranium op aarde is gemaakt in deze supernova.
Gedetailleerde berekeningen van de fysica van supernova
explosies suggereren dat het aantal geproduceerde $^{235}$U kernen
1,7 maal groter was dan het aantal $^{238}$U kernen. Sinds hun productie
vervalt $^{235}$U met een halfwaardetijd van $t_{1\over 2}=7,0 \times 10^8$ jaar en
$^{238}$U met halfwaardetijd van $t_{1\over 2}=4,5 \times 10^9$ jaar. Hoe lang geleden
vond de supernova explosie plaats, gegeven dat de verhouding
$^{235}$U tot $^{238}$U zoals gevonden in gesteente gelijk is aan 0,007?
(Hint: in radioactief verval neemt het aantal nog niet vervallen kernen af
volgens de relatie $N(t)=N(0)e^{-t/\tau}$
met $\tau$ de levensduur.)


\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} De zon en andere sterren produceren hun energie door kernfusie.
Een van de fusiereacties, de proton-proton cyclus, bestaat uit de volgende
reacties:
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
~^1 {\rm H} + ~^1 {\rm H} & \rightarrow & ~^2 {\rm H} + \beta^+ + \nu_e \\
~^1 {\rm H} + ~^2 {\rm H} & \rightarrow & ~^3 {\rm He} + \gamma \\
\end{array}
\end{equation}
gevolgd door in $10^{-5}$ van de gevallen
\begin{equation}
~^1 {\rm H} + ~^3 {\rm He} \rightarrow ~^4 {\rm He} + \beta^+ + \nu_e .
\end{equation}
of in 85 procent van de gevallen
\begin{equation}
~^3 {\rm He} + ~^3 {\rm He} \rightarrow ~^4 {\rm He} + ~^1 {\rm H} + ~^1 {\rm H} .
\end{equation}


\noindent
(a) Toon aan dat het netto effect van deze reacties gelijk is aan
$(4 ~^1 {\rm H}) \rightarrow ~^4 {\rm He} + (2 \beta^+) + (2 \nu_e) + (1 ~{\rm of}~ 2)~\gamma$.

\noindent
(b) Toon aan dat een rustenergie van 24,7 MeV vrijkomt in deze cyclus
(en dan tellen we de 1,02 MeV die vrijkomt als elk van de positronen
annihileert met een elektron niet eens mee).

\noindent
(c) De zon straalt met een energie van ongeveer $4 \times 10^{26}$ W. Neem aan
dat dit wordt veroorzaakt door de conversie van vier protonen naar helium,
gammastraling en neutrino's, hetgeen 26,7 MeV vrijmaakt. Wat is het
verbruik van protonen in de zon (in protonen per seconde).

\noindent
(d) Hoe lang kan de zon nog schijnen op deze wijze? (neem aan dat
de helft van de massa van de zon ($2 \times 10^{30}$ kg) door protonen gevormd wordt.

\vfill
\eject
\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 3}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Ga uit van vergelijking (53) op bladzijde 34.
Maak gebruik van een grove benadering waarbij we de afgeleide ${dP \over dr}$
in een klap schrijven als ${dP \over dr} \approx {P \over R}$ (zie ook blz. 36).

\noindent
(a) Laat zien dat voor een ster met massa $M$, straal $R$, de gemiddelde
druk bij benadering gegeven wordt door
\begin{equation}
P \approx {3GM^2 \over 4 \pi R^4}.
\end{equation}

\noindent
(b) Laat zien dat dezelfde relatie leidt tot de benadering $T \sim {M \over R}$
voor de gemiddelde temperatuur van de ster.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} (Hint: lastige opgave; overweeg om deze als laatste te doen).
In de stad Kamiokande in Japan staat de zogenaamde Kamiokande II
detector. Deze detector is ontworpen om proton verval te bestuderen.
Met Kamiokande II werd op 23 februari 1987 in slechts 12 seconden een totaal
van 12 neutrino interacties geregistreerd. Deze meting viel
samen met de explosie van supernova SN1987A die op ongeveer
170.000 lichtjaar van de aarde stond. Reeds lang hiervoor hadden
astrofysici berekend dat bij een dergelijke explosie binnen een aantal
seconden een energie van ongeveer 10$^{46}$ J zou vrijkomen. Hiervan
zou ongeveer 99 \% vrijkomen in de vorm van neutrino's, die
het heelal in gejaagd zouden
worden, terwijl voor het spectaculaire zichtbare vuurwerk en de kinetische
energie van de restanten ten hoogste een procent van de energie ter
beschikking zou staan.

\medskip
\noindent
De Kamiokande II detector is in staat antineutrino's aan te tonen
via de reactie
\begin{equation}
\bar \nu_e + p \rightarrow e^+ + n
\end{equation}
aan protonen in normaal water. De protonen die gebonden zijn in zuurstof
kunnen hierbij verwaarloosd worden, omdat deze niet wezenlijk tot de
totale telsnelheid bijdragen. De energie en de richting van de positronen
kan met de detector bepaald worden (uit de richting en de intensiteit
van de door de positronen opgewekte \v Cerenkovstraling). De
actieve massa van de detector is 2100 ton water (1 ton $\equiv$ 1000 kg).
De theoretische werkzame doorsnede voor deze reactie is energieafhankelijk
en kan bij de hier optredende energie\" en uit de volgende relatie
afgeleid worden
\begin{equation}
\sigma = 10^{-45} {\rm ~m}^2 \cdot \left( {E~{\rm in~MeV} \over 10{\rm ~MeV}} \right)^2,
\end{equation}
waarbij de energie van de neutrino's
$E$ gelijk gesteld kan worden aan de energie van de positronen.
De 12 geregistreerde neutrino's hadden in het gewogen gemiddelde
een energie $< E_\nu >$ = 12,8 MeV en $(< E_\nu >)^{1/2}$ = 10,9 MeV.

\medskip
\noindent
(a) Wat is het totale aantal neutrino's dat vrijkwam bij de explosie van de
supernova? Ga ervan uit dat de zes neutrinosoorten
$\nu_e$, $\bar \nu_e$, $\nu_\mu$, $\bar \nu_\mu$, $\nu_\tau$,
en $\bar \nu_\tau$, waarvan enkel het $\bar \nu_e$ met de Kamiokande II
detector aangetoond kan worden, met vergelijkbare energie\" en en
in vergelijkbare hoeveelheden geproduceerd werden.

\vfill
\medskip
\noindent
(b) Hoe groot is de totale in de vorm van neutrino's vrijgekomen energie
in de explosie van SN1987A? Vergelijk dit met de theoretische
voorspelling en vorm een oordeel over de overeenstemming.

\vfill
\medskip
\noindent
(c) Het eerst gemeten $\bar \nu_e$ had een energie van 20,0 MeV. Het laatst
gemeten neutrino kwam 12,4 seconde later en had een energie van 8,9 MeV. Welke
limiet wordt hiermee op de massa van het neutrino geplaatst?
Neem hierbij aan dat de supernova explosie minstens 10 s en hoogstens
20 s geduurd heeft. De benadering
$y=(1-(x/C)^2)^{-1/2} \approx 1 +x^2/2C^2+..$ voor $x\ll C$ kan hier
nuttig zijn.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} Er geldt $n=3$ en we hebben de compacte uitdrukking $y_i = a_{~i}^r x_r$,
waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie.

\noindent
(a)  Schrijf expliciet de vergelijkingen op die
worden voorgesteld door de uitdrukking $y_i = a_{~i}^r x_r$.

\noindent
(b) Verklaar waarom een uitdrukking als $a_{ii} x^i$ zonder enige betekenis is.

\noindent
(c) Gebruik de sommatieconventie om
\begin{equation}
a_{11}b^{11} + a_{21}b^{12} + a_{31}b^{13} + a_{41}b^{14}
\end{equation}
compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan $n$).

\noindent
(d) Idem voor
\begin{equation}
a_{11}b^{11} + a_{12}b^{12} + a_{13}b^{13} + a_{14}b^{14} + a_{15}b^{15}.
\end{equation}

\noindent
(e) Idem voor
\begin{equation}
c_{~i1}^1 + c_{~i2}^2 +c_{~i3}^3 +c_{~i4}^4 +c_{~i5}^5 +c_{~i6}^6 + c_{~i7}^7 + c_{~i8}^8.
\end{equation}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Als $a_{ij}$ constanten zijn, bereken dan de parti\"ele
afgeleiden
\begin{equation}
{\partial \over \partial x^k} (a_{ij} x^i x^j ).
\end{equation}
Hint: het antwoord is ${\partial \over \partial x^k} (a_{ij} x^i x^j )
= a_{ki}x^i + a_{ik}x^i = (a_{ik}+a_{ki}) x^i$.


\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} We bekijken nu wat lineaire algebra met tensoren.

\noindent
(a) Toon aan dat geldt
\begin{equation}
(x^1, x^2, x^3) \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
x^2 \\
x^3 \\
\end{array}
\right) = a_{ij}x^i x^j .
\end{equation}

\noindent
(b) Schrijf de kwadratische vorm $3x^2 + y^2 - 2z^2 - 5xy -6yz = 10$
door gebruik te maken van een symmetrische matrix.

\noindent
(c) In een orthonormaal co\"ordinatenstelsel wordt de afstand $d(\vec x, \vec y)$
tussen de punten met plaatsvectoren $\vec x$ en $\vec y$ gegeven door
\begin{equation}
d(\vec x, \vec y) = \vert \vec x - \vec y \vert =
\sqrt{ (\vec x - \vec y)^T (\vec x - \vec y)}.
\end{equation}
We voeren de co\"ordinatentransformatie $\vec x^{~\prime} = A \vec x$ of
$\vec x = B \vec x^{~\prime}$ met $B = A^{-1}$ uit. Wat is de formule voor de
afstand $d(\vec x^{~\prime} ,\vec y^{~\prime} )$ in het getransformeerde systeem?

\medskip
\noindent
Hint, het antwoord is
\begin{equation}
d(\vec x, \vec y )
= \sqrt{ (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime})^T G (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime})}
= d(\vec x^{~\prime} , \vec y^{~\prime})
\end{equation}
met $G \equiv B^TB = (A^{-1})^TA^{-1} = (A^T)^{-1}A^{-1} = (AA^T)^{-1}$.

\vfill
\eject
\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 4}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Welke van de onderstaande uitdrukkingen zijn consistent
met de sommatieconventie en welke niet.
Geef altijd de reden voor uw keuze. Laat u niet afleiden door de
keuze voor de symbolen.

\medskip
\noindent
\begin{enumerate}
\item{} $g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta = g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\gamma$
\item{} $g_{\alpha \beta} a^\alpha b^\beta = g_{\beta \gamma}a^\beta b^\gamma$
\item{} $g_{\alpha \beta}a^\alpha b^\beta = g_{\alpha \beta} a^\alpha c^\beta$
\item{} $T_{\alpha \gamma}^\alpha a^\gamma = g_{\alpha \beta}a^\alpha b^\beta$
\item{} $T_{\beta \gamma}^\alpha a^\alpha c^\beta c^\gamma = b^\alpha$
\item{} $\partial x^\alpha / \partial x^\beta = \delta_{\beta}^\alpha$
\item{} $\partial g_{\alpha \beta} / \partial x^\gamma = 0$
\item{} $ g_{\alpha \beta} {\partial x^\alpha \over \partial x^{\gamma^\prime}}
{\partial x^\beta \over \partial x^{\delta^\prime}} = g_{\gamma \delta}
{\partial x^\gamma \over \partial x^{\alpha^\prime}}
{\partial x^\delta \over \partial x^{\beta^\prime}}$
\item{} $ g_{\alpha \beta}^\prime a^{\alpha^\prime} b^{\beta^\prime}
= g_{\alpha \beta} a^\alpha b^\beta$
\item{} $a^\alpha (g_{\beta \gamma} b^\beta b^\gamma ) = b^\gamma$
\item{} $T_{\alpha \beta}^\alpha = T_{\beta \beta}^\beta$
\item{} $g_{\alpha \beta} = \eta_{\beta \alpha}$
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} Deze opgave is bedoeld om uit te vinden of u op correcte
wijze indices naar boven of beneden kunt halen. We beschouwen twee dimensies,
waarbij de indices $A$, $B$, ... de waarden 1 of 2 kunnen aannemen. De metrische
tensor wordt gegeven door
\begin{equation}
g_{AB} = \left(
\begin{array}{cc}
F & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
met $F$ een constante. Beschouw de vectoren
\begin{equation}
a_A = (1,0),~~~~b_A=(0,1),~~~~c^A=(1,0),~~~~d^A=(0,1) .
\end{equation}

\medskip
\noindent
(a) Bepaal de inverse van de metrische tensor $g^{AB}$.

\medskip
\noindent
(b) Bepaal $a^A$, $b^A$, $c_A$, $d_A$, $\vec a \cdot \vec b$,
$\vec a \cdot \vec c$ en $\vec a \cdot \vec d$.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} In deze opgave gaan we co\"ordinatentransformaties bestuderen
(voor toelichting, zie sectie 4.4 op bladzijde 60).

\medskip
\noindent
(a) Bereken de transformatiematrix (zie vergelijking (88) voor
de co\"ordinatentransformatie $(x,y) \rightarrow (\xi , \eta )$
met $\xi = x$ en $\eta = 1$.

\medskip
\noindent
(b) Bereken de jacobiaan (dat is de determinant van de transformatiematrix;
zie vergelijking (89)) en laat zien dat voor bovenstaande transformatie soms geldt $J = 0$.

\medskip
\noindent
(c) Het is belangrijk dat een afbeelding \'e\'en op \'e\'en is en
dat komt wiskundig tot uitdrukking in de eis dat de jacobiaan van
de co\"ordinatentransformatie $J \neq 0$.

\vfill
\eject

\noindent
Zijn de volgende co\"ordinatentransformaties goede afbeeldingen?
Bereken de jacobiaan en vermeld de punten waarvoor de afbeeldingen falen.
\begin{enumerate}
\item{} $\xi = (x^2 + y^2 )^{1 \over 2}$, $\eta = {\rm arctan}({y \over x})$;
\item{} $\xi = \ln{x}$, $\eta = y$;
\item{} $\xi = {\rm arctan}({y \over x})$, $\eta = (x^2 + y^2 )^{-{1 \over 2}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Teken de volgende curven. Welke hebben hetzelfde pad? Bepaal
ook hun raakvectoren waar de parameter gelijk is aan nul.

\medskip
\noindent
(a) $x = \sin{\lambda}$, $y=\cos{\lambda}$;

\medskip
\noindent
(b) $x = \cos{(2\pi t^2)}$, $y=\sin{(2\pi t^2 + \pi )}$;

\medskip
\noindent
(c) $x = s$, $y=s+4$;

\medskip
\noindent
(d) $x = s^2$, $y=-(s-2)(s+2)$;

\medskip
\noindent
(e) $x = \mu$, $y=1$.



\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} De relatie tussen cartesische $(x,y)$ en poolco\"ordinaten
$(r,\theta )$ wordt gegeven door $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ en $\theta = {\rm arctan}({y \over x})$
en de inverse relaties $x = r\cos{\theta}$ en $y=r\sin{\theta}$.

\medskip
\noindent
(a)  Bereken alle elementen van de transformatiematrices $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime}$
en $\Lambda_{~\nu^\prime}^\mu$ voor de transformatie van cartesische (het stelsel
zonder accent) naar polaire (met accenten op de indices) co\"ordinaten.

\medskip
\noindent
(b) Stel $f=x^2+y^2+2xy$ en in cartesische co\"ordinaten
$\vec V \rightarrow (x^2+3y,y^2+3x)$, $\vec W \rightarrow (1,1)$. Bereken $f$ als
functie van $r$ en $\theta$, en bepaal de componenten van $\vec V$ en $\vec W$
voor de polaire basis door ze uit te drukken als functies van $r$ en $\theta$.

\medskip
\noindent
(c) Bepaal de componenten van $\tilde{\rm d}f$ in cartesische co\"ordinaten
en verkrijg ze in poolco\"ordinaten door (i) directe berekening in
poolco\"ordinaten, en (ii) door transformeren van de cartesische componenten.

\medskip
\noindent
(d) Gebruik de metrische tensor in poolco\"ordinaten om de polaire componenten
van de 1-vormen $\tilde{V}$ en $\tilde{W}$ geassocieerd met $\vec V$ en $\vec W$
te vinden.

\medskip
\noindent
(e) Bepaal de polaire componenten van $\tilde{V}$ en $\tilde{W}$ door transformatie
van de cartesische componenten.

\vfill
\eject
\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 5 en 6}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Een vrij deeltje beweegt met snelheid $v$ langs de y-as, zoals gezien in
een zeker lorentzstelsel. Op tijd $t=0$, gezien vanuit dit lorentzstelsel, is het deeltje
in de oorsprong.

\medskip
\noindent
(a) U kunt aannemen dat de snelheid $v$ van dit deeltje constant is. Waarom?

\medskip
\noindent
(b) Bereken de positie van het deeltje als functie van de eigentijd $\tau$ met behulp
van de tijddilatatieformule.

\medskip
\noindent
(c) Bereken nogmaal de positie van het deeltje als functie van de eigentijd, maar nu met
behulp van de lorentztransformaties.

\medskip
\noindent
(d) Gebruik uw antwoord uit (b) of (c) om de viersnelheid $u^\mu$ van het deeltje te berekenen.
Laat zien dat geldt $\eta_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = -c^2$.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} Via het formalisme van Lagrange kunnen we aantonen dat het kortste pad tussen
twee punten in een euclidische ruimte, een rechte lijn is; dit is op het college voorgerekend.
We vragen ons in deze opgave af of iets analoogs geldt in een minkowskiruimtetijd.
Oftewel: is het kortste pad tussen twee {\sl puntgebeurtenissen} ook een rechte lijn?

\medskip
\noindent
(a) Laat zien dat de afstand tussen twee puntgebeurtenissen wordt gegeven door de
volgende integraal:
\begin{eqnarray}
S = \int \Bigg( -\left( \frac{dt}{dx}\right)^2
+1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{dz}{dx}^2\right)\Bigg)dx.
\end{eqnarray}

\medskip
\noindent
(b) Kies een lorentzstelsel waarin de twee gebeurtenissen plaatsvinden op hetzelfde tijdstip.
Gebruik daarna de Euler-Lagrange vergelijkingen om aan te tonen dat $S$ minimaal is wanneer
het pad tussen de twee gebeurtenissen een rechte lijn is.

\medskip
\noindent
(c) De conclusie uit opgave (b) is dat voor deze {\sl specifieke} waarnemer inderdaad geldt
dat de afstand tussen twee puntgebeurtenissen een rechte lijn is. Beargumenteer, zonder opnieuw
de Euler-Lagrange vergelijkingen op te lossen, dat dezelfde conclusie ook moet gelden
voor \emph{alle waarnemers} in minkowksistelsels.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} In Stanford, Californie, staat een lineaire deeltjesversneller genaamd
SLAC (Stanford Linear Accelator Center) Two-mile Accelator.
Dit is een instrument van ongeveer 2 mijl lang waarin
een constant elektrisch veld $\mathscr{E}$ is aangebracht, dat sterk genoeg is om elektronen
vanuit rust te doen versnellen tot zij een energie $E$ hebben van 40 GeV (zoals gemeten in het
ruststelsel van het apparaat). We nemen aan dat het ruimtelijk deel van de relativistische impuls
$\vec{p}$ voldoet aan de volgende bewegingsvergelijking:
\begin{eqnarray}
\frac{d\vec{p}}{dt} = e\vec{\mathscr{E}}, \nonumber \\
\end{eqnarray}
waarin $t$ de tijd is zoals gemeten in het ruststelsel van de pijp, en $e$ de elektrische
lading van het elektron (hierdoor is $e\vec{\mathscr{E}}$ niets anders dan de kracht
$\vec{F}$ op het elektron).

\medskip
\noindent
(a) Neem aan dat het elektron start vanuit rust aan een kant van het apparaat, en dat het
elektrisch veld langs de $x$-as is. Gebruik de bewegingsvergelijking om uit te rekenen
wat de positie $x$ is van het elektron als functie van de tijd $t$. Hint: bereken eerst $v(t)$;
wanneer deze gevonden is, integreer deze om $x(t)$ te vinden. U houdt een integratieconstante
over; kies deze zodanig dat geldt dat het elektron een positie $x = 0$ heeft op tijdstip $t=0$.

\medskip
\noindent
(b) Laat zien dat de elektronen, ten opzichte van het apparaat, niet sneller kunnen gaan dan het licht.
(Opmerking: via opgave 4b, volgt hieruit dat de elektronen niet sneller kunnen gaan dan het licht
ten opzichte van \emph{elke} waarnemer.)

\medskip
\noindent
(c) De elektronen versnellen door de aanwezigheid van het elektrisch veld $\mathscr{E}$, en
winnen daardoor aan energie, zoals gezien vanuit het apparaat. Schrijf de uitdrukking op voor deze
energie als functie van de tijd $t$. Schrijf ook de energie op gezien vanuit het elektron.

\medskip
\noindent
(d) De lengte van de versneller is twee mijl. Gebruik uw antwoorden uit (a) en (c) om te bepalen hoe
groot het elektrisch veld moet zijn opdat de elektronen een energie (ten opzichte van het apparaat)
van $E = 40$ GeV hebben wanneer zij aan de andere kant van de versneller uitkomen (opmerking: de
wetten van de elektrodynamica dicteren dat de elektronen een beetje energie verliezen ten
gevolge van hun versnelling; dit effect mag u verwaarlozen).

\medskip
\noindent
(e) Welke snelheid, ten opzichte van het apparaat, hebben de elektronen, wanneer
zij de versneller uitkomen?

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} In het college is de regel voor het optellen van snelheden afgeleid: wanneer
twee waarnemers in lorentzstelsels bewegen ten opzichte van elkaar met snelheid $v$ in de
$x-$richting en beiden kijken naar de snelheid van een voorbijvliegend deeltje, dan gelden de
volgende relaties tussen de snelheden $\vec{u}$ en $\vec{u}'$ van het deeltje, zoals gemeten
door de twee waarnemers:
\begin{eqnarray}
u'_x &=& \frac{u_x+v}{1+\frac{u_x v}{c^2}}, \nonumber \\
u'_y &=& \frac{1}{\gamma} \frac{u_y}{1+\frac{vu_x}{c^2}}, \nonumber \\
u'_z &=& \frac{1}{\gamma} \frac{u_z}{1+\frac{vu_x}{c^2}}, \nonumber
\end{eqnarray}
waarin
\begin{eqnarray}
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}. \nonumber
\end{eqnarray}

\medskip
\noindent
(a) Bewijs deze formules met behulp van de lorentztransformaties.

\medskip
\noindent
(b) Laat zien dat als een van de twee waarnemers (zeg: de waarnemer die we aanduiden
zonder accentje) het deeltje ziet bewegen met een snelheid $\vec{u}$ lager dan de
lichtsnelheid $c$, elke andere waarnemer (met accentje) ook een snelheid $\vec{u}'$ zal
meten kleiner dan $c$. Neem hierbij niet zondermeer aan dat het deeltje in $x-$richting beweegt.

\medskip
\noindent
(c) Dezelfde opgave als (b), maar deze keer voor snelheden $\vec{u}$ groter dan $c$,
oftewel: laat zien dat als voor een waarnemer geldt $\vec{u} > c$, dan voor elke andere
waarnemer eveneens geldt $\vec{u}' > 0$.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} Deze opgave gaat over een van de beroemde {\sl paradoxen} uit de speciale
relativiteitstheorie. Doel is aan te tonen dat, wanneer netjes en consequent gewerkt wordt,
er geen tegenstrijdigheden blijken te bestaan.

\medskip
\noindent
We beschouwen in deze opgave een boer die een ladder die hij graag wil opbergen, maar op het
probleem stuit dat zijn ladder langer is dan zijn schuur. De boer besluit heel hard te gaan
rennen met zijn ladder, omdat hij uit de relativiteitstheorie heeft begrepen dat dan, voor zijn
vrouw gezien die stilstaat naast de schuur, de ladder verkort zal lijken. Als hij maar hard
genoeg rent, beredeneert hij, ondervindt de ladder een lorentzcontractie en zal de ladder
wel degelijk netjes in de schuur passen. Echter, onder het rennen bemerkt hij dat voor {\sl hem},
juist de {\sl schuur} korter is geworden: de ladder past er nu al helemaal niet meer in!
De paradox is dan ook de volgende: de boerin claimt dat de ladder wel degelijk in de schuur
past, en tegelijkertijd claimt de boer dat de ladder niet past. Kunnen ze beiden gelijk hebben,
of is er sprake van een tegenstrijdigheid?

\medskip
\noindent
We stellen ons voor dat de ladder lampjes heeft op de voor en achterkant, en beschouwen de
volgende puntgebeurtenissen: de lampjes geven beide een flits af op hetzelfde moment
zoals gezien door de boerin. Het lorentzframe van de boerin zullen we aanduiden met
coordinaten zonder accentje, en het lorentzframe van de boer zullen we aanduiden met
coordinaten met accentje.

\medskip
\noindent
(a) Schrijf de viervectoren $dx^\mu$ respectievelijk $dx^{\prime~\mu}$ op die het verschil in
tijd en afstand aangeven tussen de twee puntgebeurtenissen, zoals gezien door boerin
respectievelijk boer. Noem hierbij de lengte van de ladder $L$ respectievelijk $L'$. Neem
hierbij aan dat beiden hun assenstelsels zo hebben gekozen, dat de boer in de $x$-richting
aan het rennen is. Let op: met de gegeven informatie kan nog niet elke component van de
viervectoren een waarde toegekend worden. Laat deze componenten onbepaald.

\medskip
\noindent
(b) Schrijf de lorentztransformaties op tussen de twee viervectoren. Neem hierbij aan
dat de boer rent met constante snelheid $v$ in $x-$richting. Hoe zijn de lengtes $L$ en $L'$
aan elkaar gerelateerd?

\medskip
\noindent
(c) Bepaal uit de lorentztransformaties eveneens het tijdsverschil tussen de twee gebeurtenissen.
Laat zien dat deze niet gelijk is aan nul voor de boer, ook al is deze het wel voor de boerin.

\medskip
\noindent
Het feit dat de boer een tijdsverschil ongelijk nul ziet tussen de twee puntgebeurtenissen, is
de kern van de oplossing van de paradox. Het betekent fysisch het volgende: vanuit zijn stelsel
gezien, heeft de boerin de voor en achterkant van de ladder {\sl niet op hetzelfde moment
geregistreerd}, en is, aldus de boer, haar ruimtelijke afstand tussen de twee puntgebeurtenissen
niet de juiste lengte van de ladder. Immers, zo beredeneert hij, in de tijd (door u uitgerekend in (c))
die zij te lang heeft gewacht tussen registratie van voor en achterkant van de ladder, was hij al
een stukje verder gerend met snelheid $v$: uiteraard komt daar dan een lengte van de ladder uit
die te kort is! Hij oppert daarom dat zij moet corrigeren voor het feit dat ze te lang gewacht
heeft om de voor en achterkant te registeren.

\medskip
\noindent
(d) Wat is de afstand die de boer oppert dat zijn vrouw zou moeten optellen bij haar
gevonden lengte?

\medskip
\noindent
(e) Wat is de lengte van de ladder, zoals de boer denkt dat hij zijn vrouw heeft zien meten?
(denk goed over deze vraag na, en overtuig uzelf dat u deze niet al heeft beantwoord in opgave (b)!).

\medskip
\noindent
(f) Het is bij de lengte uit opgave (e) dat de boer denkt dat zijn vrouw de correctie van
opgave (d) zou moeten optellen. Doe deze correctie, en beargumenteer dat de paradox nu is opgelost.

\vfill
\eject
\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 7}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Stel voor dat we leven op het oppervlak van een bol. We introduceren
de gebruikelijke sferische co\"ordinaten $(r, \theta , \phi )$ en laten
$(\hat{e}_r , \hat{e}_\theta , \hat{e}_\phi )$ de gebruikelijke set orthonormale
sferische basisvectoren zijn. Het lijnelement in sferische co\"ordinaten wordt
dan gegeven door
\begin{equation}
d\vec s = dr~\hat{e}_r + rd\theta ~\hat{e}_\theta + r\sin{\theta}d\phi ~ \hat{e}_\phi .
\end{equation}
We beperken ons nu tot het oppervlak van de bol en leggen de conditie
$r = {\rm constant}$ op. We kiezen de co\"ordinaten $(x^1, x^2) = (\theta , \phi )$
op het boloppervlak. Het lijnelement op het oppervlak van de bol kan in termen
van de {\sl natuurlijke basisvectoren} geschreven worden als
\begin{equation}
d\vec s = d\theta \vec e_\theta + d\phi \vec e_\phi ,~~~~{\rm met}~~~~
\vec e_\theta = r \hat{e}_\theta , ~\vec e_\phi =r\sin{\theta} ~\hat{e}_\phi .
\end{equation}
Met deze definitie wordt het kwadratische lijnelement gegeven door
\begin{equation}
ds^2 = (r d\theta )^2 + (r\sin{\theta}d\phi )^2.
\end{equation}

\medskip
\noindent
(a) In termen van sferische co\"ordinaten $(r, \theta , \phi )$ kunnen we
de positievector schrijven als
\begin{equation}
\vec r = r\sin{\theta}\cos{\phi} \vec i + r\sin{\theta}\sin{\phi} \vec j
+r \cos{\theta} \vec k .
\end{equation}
De drie natuurlijke basisvectoren worden gegeven door
$\vec e_r = \partial \vec r / \partial r$,
$\vec e_\theta = \partial \vec r / \partial \theta$ en
$\vec e_\phi = \partial \vec r / \partial \phi$. Bepaal deze vectoren
en geef de lengte van elke vector. Merk op dat in het volgende
alleen de basisvectoren op het oppervlak, $\vec e_\theta$ en $\vec e_\phi$,
relevant zijn.

\medskip
\noindent
(b) Bepaal de metrische tensor en haar inverse.

\medskip
\noindent
(c) Bereken alle Christoffelsymbolen $\Gamma_{ij}^k$ waarbij de indices
lopen over de verzameling $(\theta , \phi )$.

\medskip
\noindent
(d) Hoeveel onafhankelijke componenten heeft de Riemanntensor? Gebruik hierbij
de symmetrie-eigenschappen van dit object.

\medskip
\noindent
(e) Bereken de componenten van de Riemanntensor.

\medskip
\noindent
(f) Bereken de componenten van de Riccitensor.

\medskip
\noindent
(g) Bereken de scalaire kromming (Riccikromming).

\medskip
\noindent
(h) Bereken de componenten van de Einsteintensor op het oppervlak van de bol.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} In deze opgave testen we onze kennis van het berekenen van
covariante afgeleiden. We gebruiken de geometrie van het oppervlak van
een twee-dimensionale bol,
\begin{equation}
ds^2 = a^2 (d\theta^2 +\sin^2{\theta}d\phi^2 ) ,
\end{equation}
en een vector $\vec V$ met componenten $V^A = (0,1)$. Bereken de vier
componenten van $\nabla_A v^B$ en bereken dan de twee grootheden
$\nabla_\theta \nabla_\phi v^\theta$ en $\nabla_\phi \nabla_\theta v^\theta$
en onderzoek of deze covariante afgeleiden commuteren.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} Bereken de componenten van de divergentie voor sferische
co\"ordinaten in de drie-dimensionale euclidische ruimte. Hint: voor de
covariante divergentie van vector $\vec V$ geldt $\nabla \cdot \vec V$ en
voor de componenten ervan $V_{~; i}^i$. Zie bladzijde 111 van het dictaat voor
een voorbeeld.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Geef een afleiding van onderstaande uitdrukking voor de
christoffelsymbolen in termen van de parti\"ele afgeleiden van de componenten van
metrische tensor $g$,
\begin{equation}
\Gamma_{~\beta \mu}^\gamma = {1 \over 2} g^{\alpha \gamma}
(g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} -g_{\beta \mu, \alpha}) .
\end{equation}
Geef alle ontbrekende stappen tussen vergelijkingen (299) en (303) van het
dictaat.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} Bewijs vergelijkiging (359) in het dictaat,
\begin{equation}
\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi = - {\bf R}(\_, \vec U, \vec \xi , \vec U ) ,
\end{equation}
met ${\bf R}$ de krommingstensor van Riemann en $\vec U$ de viersnelheid,
door uit te gaan van de definitie van de Riemanntensor gegeven in vergelijking (338),
\begin{equation}
A_{\alpha ; \mu \nu} - A_{\alpha ; \nu \mu}
=[ \nabla_\mu , \nabla_\nu ] A_\alpha \equiv
R_{~\alpha \mu \nu}^\beta A_{\beta} ,
\label{eq:riemann}
\end{equation}
met $A_\alpha$ de componenten van een willekeurige 1-vorm. (Dit is een
uitdagende opgave.)
\vfill
\eject
\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 8}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Bereken de gravitationele roodverschuiving van een foton
met gegeven frequentie $\nu$ dat uitgezonden wordt van het oppervlak
van de zon (massa $2 \times 10^{30}$ kg en straal $7 \times 10^8$ m).

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} We willen een oplossing van de Einsteinvergelijkingen
vinden voor ruimtetijd buiten een statisch massief object (bijvoorbeeld
een ster) met massa $M$. We maken gebruik van symmetrie en nemen aan
dat het lijnelement wordt gegeven door
\begin{equation}
ds^2 = -A(r) dt^2 + B(r) + r^2(d \theta^2 \sin^2{\theta}d\phi^2 ).
\end{equation}

\medskip
\noindent
(a) Welke waarden nemen $A$ en $B$ aan in de limiet $r \rightarrow \infty$
als we een asymptotisch {\sl vlakke} oplossing willen verkrijgen?

\medskip
\noindent
(b) Bereken de connecties $\Gamma_{~\nu \rho}^\mu$ (een groot deel van
deze connectieco\"effici\"enten is gelijk aan nul).

\medskip
\noindent
(c) Gebruik de Einsteinvergelijkingen $R_{\mu \nu} = 0$ voor het
vacu\"um buiten het massieve object om een verzameling vergelijkingen
voor $A(r)$ en $B(r)$ te vinden.

\medskip
\noindent
(d) Laat zien dat combineren van de uitdrukkingen gevonden in vraag (c)
leidt tot $A^\prime(r)B(r) + B^\prime (r)A(r) = 0$ en dus
$A(r)B(r) = {\rm const}$. Gebruik het resultaat van vraag (a)
om deze constante te bepalen. Laat zien dat ${d^2 \over dr^2}(rA(r) = 0$
en los dit op (Hint: dat levert $A(r) = (1-r_S/r)$, met $r_S$ een
constante. Laat zien dat $r_S = 2GM/c^2$ door te vergelijken met de
Newtoniaanse limiet). Op deze manier hebben we de zogenaamde
Schwarzschild oplossing gevonden, die vele belangrijke toepassingen
heeft in de relativistische astrofysica.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} In deze opgave beschouwen we {\sl behouden}
grootheden. De geodetenvergelijking is $\nabla_{\vec U}\vec U =0$
en omdat ook $\tau /m$ een goede parameter langs een geodeet is, kunnen we deze
vergelijking ook schrijven als
\begin{equation}
\nabla_{\vec p} \vec p = 0 \rightarrow
p^\alpha p_{\beta ; \alpha} = 0 \rightarrow
p^\alpha p_{\beta , \alpha} - \Gamma_{~\beta \alpha}^\gamma p^\alpha p_\gamma = 0
\rightarrow
m {dp_\beta \over d\tau} = \Gamma_{~\beta \alpha}^\gamma p^\alpha p_\gamma .
\end{equation}
De term rechts van het laatste gelijkteken is relatief eenvoudig, er geldt
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\Gamma_{~\alpha \beta}^\gamma p^\alpha p_\gamma & = &
{1 \over 2} g^{\gamma \nu} (g_{\nu \beta , \alpha} +
g_{\nu \alpha , \beta} - g_{\alpha \beta , \nu} )p^\alpha p_\gamma \\
& = &
{1 \over 2}(g_{\nu \beta , \alpha} +
g_{\nu \alpha , \beta} - g_{\alpha \beta , \nu}) g^{\gamma \nu} p_\gamma p^\alpha \\
& = &
{1 \over 2}(g_{\nu \beta , \alpha} +
g_{\nu \alpha , \beta} - g_{\alpha \beta , \nu}) p^\nu p^\alpha . \\
\end{array}
\end{equation}
Het product $p^\nu p^\alpha$ is symmetrisch in $\nu$ en $\alpha$, terwijl
de eerste en derde term binnen haakjes samen antisymmetrisch zijn in $\nu$ en $\alpha$.
Deze moeten daarom tegen elkaar wegvallen, waardoor alleen de middelste term overblijft,
\begin{equation}
\Gamma_{~\alpha \beta}^\gamma p^\alpha p_\gamma =
{1 \over 2} g_{\nu \alpha , \beta} p^\nu p^\alpha .
\end{equation}
Een volledig algemene uitdrukking voor een geodeet is dus ook
\begin{equation}
m{dp_\beta \over d\tau} = {1 \over 2} g_{\nu \alpha ,\beta} p^\nu p^\alpha .
\label{eq:kill29}
\end{equation}
Dit levert het belangrijke resultaat: {\sl als alle componenten van $g_{\alpha \nu}$
onafhankelelijk zijn van $x^\beta$ voor een bepaalde index $\beta$, dan is
$p_\beta$ constant langs de baan van het deeltje.}

\medskip
\noindent
Beschouw de volgende metrieken gegeven in termen van het lijnelement:
\begin{enumerate}
\item{} $ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$;
\item{} $ds^2 = -(1-2M/r)dt^2 +(1-2M/r)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 \sin^2{\theta}d\phi^2)$,
met $M$ een constante;
\item{} $ds^2 = -{\Delta - a^2 \sin^2{\theta} \over \rho^2}dt^2
-2a{2Mr\sin^2{\theta} \over \rho^2}dtd\phi
+{(r^2+a^2)^2 - a^2\Delta \sin^2{\theta} \over \rho^2}\sin^2{\theta}d\phi^2
+{\rho^2 \over \Delta}dr^2 + \rho^2d\theta^2$,
met $M$ en $a$ constanten. Verder hebben we de verkorte notatie
$\Delta = r^2-2Mr +a^2,~ \rho^2 = r^2 + a^2 \cos^2{\theta}$ ingevoerd;
\item{} $ds^2 = -dt^2 + R^2(t) \left[
{dr^2 \over 1-kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2{\theta}d\phi^2 ) \right]$,
met $k$ een constante en $R(t)$ een willekeurige functie van $t$.
\end{enumerate}
De eerste vergelijking wordt bekend verondersteld. De andere vergelijkingen
komen we later nog tegen. Hun namen zijn achtereenvolgens de Schwarschild,
Kerr, en Robertson-Walker metrieken.

\medskip
\noindent
(a) Geef voor elke metriek zoveel mogelijk behouden grootheden $p_\alpha$
van de vierimuls van een vrijvallend deeltje.

\medskip
\noindent
(b) Schrijf de eerste metriek in de vorm
\begin{equation}
ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2{\theta}d\phi^2 ) .
\end{equation}
Maak hiervan gebruik en beargumenteer dat ook de Schwarzschild en de
Robertson-Walker (RW) metriek sferisch symmetrisch zijn. Neemt hierdoor het
aantal behouden grootheden $p_\alpha$ toe?

\medskip
\noindent
(c) We kunnen laten zien dat voor bovenstaande metriek en voor de
Schwarschild, Kerr en RW metrieken, een geodeet die begint met
$\theta = \pi /2$ en $p^\theta = 0$, dus een die tangentiaal
aan het equatoriale vlak begint, altijd geldt dat $\theta = \pi /2$
en $p^\theta = 0$.  Hint: gebruik de vergelijking $\vec p \cdot \vec p = m^2$
om $p^r$ te vinden uitgedrukt in $m$, andere behouden grootheden, en
bekende functies van positie.

\medskip
\noindent
(d) Voor de RW metriek geldt dat sferische symmetrie impliceert dat
als een geodeet begint met $p^\theta = p^\phi = 0$, deze dan gelijk aan
nul blijven. Laat zien dat de geodetenvergelijking in het geval
dat $k=0$, dan $p^r$ een behouden grootheid is.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} In deze opgave werken we het onderwerp {\sl behouden
grootheden} nog wat verder uit.

\medskip
\noindent
(a) Laat zien dat als een vectorveld $\xi^\alpha$ voldoet
aan de {\sl Killing} vergelijking
\begin{equation}
\nabla_\alpha \xi_\beta + \nabla_\beta \xi_\alpha = 0 ,
\end{equation}
dan langs een geodeet geldt dat $p^\alpha \xi_\alpha = {\rm const}$.
Dit is een co\"ordinaten-onafhankelijke wijze om de behoudswet die
we uit vergelijking (\ref{eq:kill29}) hebben afgeleid, te karakteriseren. We
hoeven enkel te weten of een metriek Killing velden toelaat.

\medskip
\noindent
(b) Vind tien Killing velden van de Minkowskimetriek.

\medskip
\noindent
(c) Laat zien dat als $\vec \xi$ en $\vec \eta$ Killing velden zijn,
dan is $\alpha \vec \xi + \beta \vec \eta$ ook een Killing veld
voor constante $\alpha$ en $\beta$.

\medskip
\noindent
(d) Toon aan dat Lorentztransformaties van de velden in (b) de
lineaire combinaties genoemd in opgave (c) produceren.

\medskip
\noindent
(e) Gebruik de resultaten van (a) om de Killing vectoren van
de metrieken in opgave 4 te bepalen.

\vfill
\eject
\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 1 - Oplossingen}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Robin Hood is van plan om op een aap
te schieten die aan een tak in een boom hangt. Fig. \ref{fig:aap} laat zien dat
de Robin precies op de aap mikt,
en hij heeft niet in de gaten dat de pijl een parabolische baan zal volgen
die onder de huidige positie van de aap door zal gaan.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Figures/aap.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Links: Robin Hood mikt precies op de aap; rechts: de aap laat de tak
los op het moment dat de boog afgaat.}
\label{fig:aap}
\end{figure}
De aap ziet de boog afgaan,
laat de tak los en valt uit de boom, in de verwachting dat hij de pijl zal ontwijken.
(a) Laat zien dat de aap geraakt zal worden, onafhankelijk van de snelheid waarmee
de pijl wordt afgevuurd (zolang die snelheid maar groot genoeg is om de afstand
naar de boom te overbruggen). Neem aan dat de reactietijd van de aap verwaarloosbaar is.

\medskip
\noindent
Voor de baan van de pijl geldt
\begin{equation}
x_p(t) = v_0\cos{\theta} t,~~~~~y_p(t)=v_0\sin{\theta}t - {1\over 2}gt^2 ,
\end{equation}
terwijl voor de aap geldt
\begin{equation}
x_a(t) = x_a=50~{\rm m},~~~~~y_a(t)=h- {1\over 2}gt^2 = 10~{\rm m} - {1\over 2}gt^2 .
\end{equation}
De pijl bereikt $x_a$ op tijdstip
\begin{equation}
x_p(t) = v_0\cos{\theta} t=x_a \rightarrow t = {x_a \over v_0 \cos{\theta}}.
\label{eq:tijd}
\end{equation}
De pijl raakt de aap als geldt dat
\begin{equation}
y_p(t)=y_a(t) \rightarrow v_0\sin{\theta}t -{1 \over 2}gt^2 = h-{1 \over 2}gt^2
\rightarrow v_0 \sin{\theta}t = h.
\end{equation}
Dit dient te gebeuren op het tijdstip gegeven door vergelijking (\ref{eq:tijd}).
Dat levert de conditie
\begin{equation}
v_0 \sin{\theta} \cdot {x_a \over v_0 \cos{\theta}} = h
\rightarrow \tan{\theta} = {h \over x} = {10~{\rm m} \over 50~{\rm m}},
\end{equation}
en hieraan is {\sl altijd} voldaan, want dat is de definitie van een tangens.

\medskip
\noindent
(b) We noemen $\vec v_{0}$ de snelheid van de pijl op het moment dat die van de boog komt.
Bepaal de snelheid van de pijl ten opzichte van de aap op een willekeurige tijd
$t$ gedurende de vlucht van de pijl.

\medskip
\noindent
De snelheid van de pijl ten opzichte van de aap is gelijk aan de snelheid van de
pijl ten opzichte van de boog plus de snelheid van de boog ten opzichte van
de aap,
\begin{equation}
\vec v_{\rm pijl~tov~aap} = \vec v_{\rm pijl~tov~boog} + \vec v_{\rm boog~tov~aap}.
\end{equation}
De snelheid van de boog ten opzichte van de aap is gelijk aan min de snelheid van de aap
ten opzichte van de boog,
\begin{equation}
\vec v_{\rm pijl~tov~aap} = \vec v_{\rm pijl~tov~boog} - \vec v_{\rm aap~tov~boog}.
\label{eq:monkey}
\end{equation}
Er geldt
\begin{equation}
\vec v_{\rm pijl~tov~boog} = \vec v_0 + \vec gt
~~~~{\rm en}~~~~ \vec v_{\rm aap~tov~boog} = \vec g t.
\end{equation}
Invullen in vergelijking (\ref{eq:monkey}) levert
\begin{equation}
\vec v_{\rm pijl~tov~aap} = \vec v_{\rm pijl~tov~boog} - \vec v_{\rm aap~tov~boog}
=(\vec v_0 + \vec gt ) - \vec g t = \vec v_0  .
\end{equation}
Je kunt dit ook zien door pijl en aap in een vrijvallend referentiesysteem
te beschouwen. Volgens het equivalentieprincipe speelt
gravitatie dan geen rol (er is geen term $\vec g t$) en
enkel de relatieve snelheid $\vec v_0$ blijft over en die hangt niet van de tijd af.

\medskip
\noindent
(c) Neem aan dat de horizontale
afstand tussen de schutter en de boom gelijk is aan $x=50$ m, en de verticale afstand
tussen de schutter en de tak waaraan de aap hangt $h=10$ m. Wat is de minimum
beginsnelheid van de pijl als de aap geraakt wordt, net voordat hij op de
grond valt (de verticale afstand van de grond tot de tak is 11,2 m)?

\medskip
\noindent
We beschouwen de beweging van de pijl. Op het moment dat de pijl neerkomt, geldt
\begin{equation}
x_p = v_0 \cos{\theta} t = 50 \rightarrow t = {50 \over v_0 \cos{\theta}}
~~~~{\rm en}~~~~
y_p = v_0 \sin{\theta} t - {1 \over 2}gt^2 = 10 - 11,2 = -1,2~{\rm m}.
\end{equation}
Invullen van de tijd van inslag in de formule voor $y_p$ levert
\begin{equation}
v_0 \sin{\theta} {50 \over v_0 \cos{\theta}} -
{1 \over 2}g \left( {50 \over v_0 \cos{\theta}}\right)^2 = -1,2~{\rm m}.
\end{equation}
In de eerste term valt $v_0$ eruit en is
$\sin{\theta} / \cos{\theta} = \tan{\theta} = 10/50$.
We vinden dan
\begin{equation}
10~{\rm m} - {1 \over 2}g{2500 \over v_0^2 \cos^2{\theta}} = -1,2~{\rm m}
\rightarrow
{1 \over 2}g{2500 \over v_0^2 \cos^2{\theta}} = 11,2~{\rm m}
\rightarrow
v_0^2 \cos^2{\theta} = {2500 g \over 2 \times 11,2~{\rm m}}.
\end{equation}
Er geldt $g = 9,8~{\rm m/s}^2$ en $\cos{\theta} = x/\sqrt{x^2 + h^2}
= 50~{\rm m} / \sqrt{50^2 + 10^2} = 0,981$ en we vinden
\begin{equation}
v_0 = \sqrt{  {2500 \times 9,8 \over 22,4 \times \cos^2{\theta}}} = 33~{\rm m/s}.
\end{equation}


\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} Een kanonskogel wordt afgevuurd met een beginsnelheid van 42,2 m/s,
onder een hoek van $30^\circ$ met de horizontale richting, en van een hoogte
van 40 m. Hoe ver komt de kogel?

\medskip
\noindent
We beschouwen de baan van de kogel. Als de kogel de grond raakt, geldt
\begin{equation}
x = v_0 \cos{\theta} t
~~~~{\rm en}~~~~
y = v_0 \sin{\theta} t - {1 \over 2}gt^2 = -40~{\rm m}.
\label{eq:kbaan}
\end{equation}
We schrijven de laatste vergelijking als
$gt^2 - 42,2t-80=0$ en lossen deze op met de abc-formule\footnote{De oplossing
van $ax^2+bx+c=0$ wordt gegeven door $x_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$.}
en vinden (met $g=9,8~{\rm m/s}^2$ de oplossingen $t_1=-1,424$ s en $t_2 = 5,731$ s.
We gebruiken de laatste waarde voor $t$. Invullen van deze waarde voor $t$ in
vergelijking (\ref{eq:kbaan}) geeft
\begin{equation}
x = (42,2~{\rm m/s}) \cos{30^\circ}(5,731~{\rm s}) = 209~{\rm m}
~~~~{\rm en}~~~~
y = -40~{\rm m}.
\end{equation}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} Hoe groot is de vrije-val versnelling voor een object ter
hoogte van de baan van de Space Shuttle (400 km boven het aardoppervlak)?

\medskip
\noindent
Dat wordt gegeven door vergelijking (13) uit het dictaat. Er geldt
\begin{equation}
a = {GM \over r^2} .
\end{equation}
Er geldt $G = 6,6720 \times 10^{-11}~{\rm m}^3{\rm s}^{-2}{\rm kg}^{-1}$,
de massa van de aarde bedraagt $M_{\earth} = 5,9742 \times 10^{24}$ kg
en de straal van de aarde is $R_{\earth} = 6378,137$ km (op de evenaar).
Invullen levert
\begin{equation}
a = {GM \over r^2} ={(6,6720 \times 10^{-11}~{\rm m}^3{\rm s}^{-2}{\rm kg}^{-1})
(5,9742 \times 10^{24}~{\rm kg}) \over ((6378,137 + 400)\times 10^3 ~{\rm m})^2}
= 8,68~{\rm m/s}^2 .
\end{equation}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Een projectiel wordt verticaal omhoog geschoten van het
aardoppervlak met een snelheid van $v_i = 8$ km/s. Wat is de maximale
hoogte die het bereikt (verwaarloos luchtwrijving)?

\medskip
\noindent
De maximum hoogte kan gevonden worden uit energiebehoud. We nemen het
oppervlak van de aarde als het beginpunt met $U_i = -GM_{\earth} m /R_{\earth}$
en $K_i = {1 \over 2} mv_i^2$. Op de grootste hoogte geldt $K_f = 0$.
Energiebehoud levert dan
\begin{equation}
K_f+U_f = K_i+U_i \rightarrow
0 - {GM_{\earth}m \over r_f} = {1 \over 2}mv_i^2 - {GM_{\earth}m \over R_{\earth}}.
\end{equation}
Vermenigvuldigen met $-1/(GM_{\earth}m)$, gebruikmaken van
$GM_{\earth} = gR_{\earth}^2$ en oplossen naar $r_f$ levert
\begin{equation}
{1 \over r_f} = -{v_i^2 \over 2GM_{\earth}} + {1 \over R_{\earth}}
= -{v_i^2 \over 2gR_{\earth}^2} +{1 \over R_{\earth}}
\rightarrow
r_f = 1/ \left( {1 \over R_{\earth}} - {v_i^2 \over 2gR_{\earth}^2} \right)
= R_{\earth}/ \left( 1 - {v_i^2 \over 2gR_{\earth}} \right).
\end{equation}
We substitueren de numerieken waarden voor $v_i$, $R_{\earth}$ en $g$
en vinden $r$ en de hoogte $h = r - R_{\earth}$.
\begin{equation}
r_f = R_{\earth}/\left( 1 - {(8000~{\rm m/s})^2 \over
2(9,8~{\rm m/s}^2)(6,37 \times 10^6~{\rm m})} \right) = 2,05 R_{\earth}
\end{equation}
en we vinden $h = r - R_{\earth} = 1,05R_{\earth} = 6,69 \times 10^6$ m.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} Een projectiel wordt verticaal omhoog geschoten van het
aardoppervlak met een beginsnelheid van $v_i = 15$ km/s. Wat is de snelheid
van het projectiel, ver verwijderd van de aarde (verwaarloos luchtwrijving)?

\medskip
\noindent
Ver van de aarde betekent $r \gg R_{\earth}$. De beginsnelheid is groter
dan de ontsnappingssnelheid $11$ km/s, dus is de totale energie van het
projectiel positief en zal deze van de aarde ontsnappen met aan het einde
positieve kinetische energie. We gebruiken weer energiebehoud om deze
kinetische energie te vinden en bepalen daarna de eindsnelheid. Energiebehoud
met $r_f = \infty$, zodat $U_f = 0$, stelt
\begin{equation}
K_f+U_f = K_i+U_i \rightarrow
{1 \over 2}mv_f^2 + 0 = {1 \over 2}mv_i^2 - {GM_{\earth}m \over R_{\earth}}.
\end{equation}
We lossen hieruit $v_f^2$ op en gebruiken $GM_{\earth}/R_{\earth}^2 = g$.
Dit levert
\begin{equation}
v_f^2 = v_i^2 - {2GM_{\earth} \over R_{\earth}}
= v_i^2 - 2gR_{\earth}.
\end{equation}
Invullen van de bekende waarden voor $g$ en $R_{\earth}$ levert
\begin{equation}
v_f = \sqrt{(15 \times 10^3~{\rm m/s})^2-2(9,8~{\rm m/s}^2)(6,37 \times 10^6~{\rm m})}
=10^4~{\rm m/s} = 10~{\rm km/s}.
\end{equation}

\vfill
\eject

\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Een planeet met een holle kern bestaat uit een uniforme dikke
bolvormige schil met massa $M$, buitenstraal $R$ en binnenstraal $R/2$.

\noindent
(a) Hoeveel massa (percentage) is dichter dan ${3 \over 4}R$ van het middelpunt van de planeet?

\medskip
\noindent
De massa van dat deel van de dikke schil dat dichter bij het centrum is dan
${3 \over 4}R$ is de dichtheid keer het volume van de dikke schil met buitenstraal
${3 \over 4}R$ en binnenstraal ${1 \over 2}R$. We berekenen eerst de dichtheid
en het volume, daarna de massa.

\noindent
De massa $M^\prime$ (de massa van de dikke schil met buitenstraal ${3 \over 4}R$
en binnenstraal ${1 \over 2}R$) is de dichtheid $\rho$ keer het volume $V^\prime$,
dus $M^\prime = \rho V^\prime$. De dichtheid is de massa $M$ gedeeld door het
volume $V$,
\begin{equation}
\rho = {M \over V} = M/ \left[ {4 \over 3} \pi R^3 - {4 \over 3} \left( {R \over 2}
\right)^3 \right] = {M \over 7 \pi R^3 /6}.
\end{equation}
Het volume $V^\prime$ van de dikke schil met buitenstraal ${3 \over 4}R$
en binnenstraal ${1 \over 2}R$ bedraagt
\begin{equation}
V^\prime = {4 \over 3} \pi \left( {3R \over 4} \right)^3
-{4 \over 3} \pi \left( {R \over 2} \right)^3 = {19 \over 48} \pi R^3.
\end{equation}
De massa $M^\prime$ van de schil is dus gelijk aan
\begin{equation}
M^\prime = \rho V^\prime = {6 \over 7} {M \over \pi R^3} {19 \over 48} \pi R^3
= {19 \over 56} M.
\end{equation}

\medskip
\noindent
(b) Hoe groot is het gravitatieveld op afstand ${1 \over 4}R$ van het middelpunt?

\medskip
\noindent
Binnen de bol met straal ${1 \over 4}R$ bevindt zich geen massa. Derhalve
is het gravitatieveld daar gelijk aan nul.

\medskip
\noindent
(c) Hoe groot is het gravitatieveld op afstand ${3 \over 4}R$ van het middelpunt?

\medskip
\noindent
Het gravitatieveld op $r = {3 \over 4}R$ wordt
enkel veroorzaakt door de massa die dichter bij het middelpunt ligt dan ${3 \over 4}R$.
Dat is dus de massa $M^\prime$ en het gravitatieveld bedraagt
\begin{equation}
\vec g = -{GM^\prime \over r^2} \hat{\bf r} = -{G {19 \over 56}M \over
\left( {3 \over 4} R \right)^2} \hat{\bf r} = -{38 \over 63} {GM \over R^2}
\hat{\bf r}.
\end{equation}

\medskip
\noindent
We kunnen dit ook uitrekenen met de wet van Gauss. Er geldt dan het verband tussen
massaverdeling en gravitatieflux,
\begin{equation}
\oiint \vec g \cdot d\vec A = - 4\pi G \iiint \rho dV \rightarrow
4\pi r^2 g = -4 \pi GM_I \rightarrow ({3R \over 4})^2 g = -G {19 \over 56} M
\rightarrow g = -{38 \over 63} {GM \over R^2} .
\end{equation}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} In het boek `Een reis naar de maan' van Jules Verne, worden
astronauten gelanceerd door een gigantisch kanon van de aarde naar de maan.

\noindent
(a) We schatten dat de snelheid die nodig is om de maan te bereiken
gelijk is aan de ontsnappingssnelheid van de aarde, en schatten de lengte van het
kanon als 900 voet (ongeveer 300 m, zoals vermeld in het boek). Wat is de
kans dat de astronauten de `lancering' overleven?

\medskip
\noindent
De onstnappingssnelheid $v$ van de aarde bedraagt
\begin{equation}
{1 \over 2}mv^2 = {GmM \over R} \rightarrow
v = \sqrt{2GM_{\earth} \over R_{\earth}}
= \sqrt{ 2(6,6720 \times 10^{-11}~{\rm m}^3{\rm s}^{-2}{\rm kg}^{-1})
(5,9742 \times 10^{24}~{\rm kg}) \over (6,378137~{\rm m})}
= 11,2~{\rm km/s},
\end{equation}
en dat is de snelheid waarmee het ruimteschip de loop van het kanon verlaat.
Deze snelheid wordt opgebouwd. Er geldt
\begin{equation}
s = {1 \over 2}at^2 \rightarrow t = \sqrt{2s \over a}~{\rm en}~v=at~\rightarrow ~
a={v \over t} = v \sqrt{a \over 2s}~\rightarrow ~ a = {v^2 \over 2s}
= {(11,2 \times 10^3~{\rm m/s})^2 \over (300~{\rm m})} \approx 20900~ g.
\end{equation}
Het is niet erg waarschijnlijk dat de astronauten dit overleven. Wellicht
bevatten de stoelen een geavanceerd dampingsysteem (maar daar zegt het
boek niets over ...).

\medskip
\noindent
(b) In het boek, voelen de astronauten in hun ruimteschip de effecten van
de gravitatie van de aarde totdat het ruimteschip het evenwichtspunt bereikt
waar de gravitationele werking van de maan gelijk is aan die van de aarde.
Op dit punt keert alles om en wat het plafond van het ruimteschip was, wordt
nu de vloer. Hoe ver van de aarde ligt dit evenwichtspunt?

\medskip
\noindent
Op dat punt is de waarde van het gravitatieveld van de aarde gelijk aan
dat van de maan. We noemen $d$ de afstand van de aarde tot de maan,
$M$ de massa van de aarde, $m$ die van de maan.
Voor de afstand $R$ van het middelpunt de aarde tot het evenwichtspunt geldt dan
\begin{equation}
{G M \over R^2} = {G m \over (d-R)^2}
\rightarrow
(M-m)R^2 - 2MdR + Md^2 = 0.
\end{equation}
We lossen bovenstaande vergelijking op met de abc-formule en vinden
\begin{equation}
R_{1,2} = {2Md \pm \sqrt{4M^2d^2 - 4(M-m)Md^2} \over 2(M-m)}
= {d \pm \sqrt{d^2 - {M-m \over M}d^2} \over (M-m)/M}
= {d \pm d\sqrt{1 - {M-m \over M}} \over (M-m)/M},
\end{equation}
waarbij we in de eerste stap door $2M$ gedeeld hebben en in de tweede
stap $d^2$ buiten de wortel hebben gehaald.
Invullen van $M = 5,9742 \times 10^{24}~{\rm kg}$,
$m = 7,349 \times 10^{22}~{\rm kg}$, $d = 384.400~{\rm km}$ levert
${M-m \over M} = 0,9873$ en we vinden $R_1 =0,899d$ en $R_2 = 1,127d$.
Het zal duidelijk zijn dat we $R_1 = 0,899d = 346.000$ km moeten
hebben voor de lokatie van het evenwichtspunt.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/apollo.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Verschillende stadia tijdens de vlucht naar de maan van een Saturnus raket
tijdens het Apollo programma.}
\label{fig:apollo}
\end{figure}

\noindent
(c) Is deze beschrijving van wat de astronauten ervaren redelijk? Is dit
wat er echt gebeurd is voor de Apollo astronauten tijdens hun bezoek aan de maan?

\medskip
\noindent
Nee. Astronauten voelen enkel gewicht als het ruimteschip stilstaat in een
gravitatieveld, of versneld wordt omdat motoren worden ontstoken (tijdens
lancering en koerscorrecties). Tijdens
het `coasten' met constante snelheid is men in vrije val en dus gewichtloos.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} We bekijken een voorwerp met massa $m$ dat aan een veer
hangt met veerconstante $C$. Het systeem voldoet aan de wet van Hooke en
dat betekent dat de uitrekking $u$ van de veer evenredig is met de
grootte van de kracht $F$ die op de veer wordt uitgeoefend, dus $F = Cu$.
Als de veer over een afstand $u$ wordt uitgerekt, dan heeft de massa
een potenti\"ele energie gegeven door $V = {1 \over 2}Cu^2$.

\noindent
(a) Verklaar de vergelijking $V = {1 \over 2}Cu^2$.

\medskip
\noindent
De kracht wordt gegeven door $F = -Cu$ (merk op dat de kracht tegengesteld
gericht is aan de uitwijking). Omdat we in dit geval de kracht kunnen afleiden
uit een potentiaal, schrijven we $\vec F = -m \nabla \Phi = -m{d\Phi \over du} = -Cu$.
Integreren levert $\Phi = {Cu^2 \over 2m}$.
De potentiaal is de potenti\"ele energie per kg. Voor de potenti\"ele
energie geldt dus $V = m\Phi = {1 \over 2}Cu^2$.

\medskip
\noindent
Als de massa nu wordt losgelaten dan treedt er oscillatie op. De snelheid $\dot{u}$
is maximaal als de veer door de evenwichtstoestand gaat (waar $u=0$ is).
De Langrangiaan wordt gegeven door $L = T-V = {1\over 2}m\dot{u}^2 - {1\over 2}Cu^2$.

\noindent
(b) Maak gebruik van de Euler-Langrangevergelijking en leidt de wet van Newton
af voor dit massa-veersysteem.

\medskip
\noindent
De Euler-Langrangevergelijking luidt als volgt
\begin{equation}
{\partial L \over \partial x^i} = {d \over dt} \left( {\partial L \over \partial v^i} \right)
\rightarrow
{\partial L \over \partial u} = {d \over dt} \left( {\partial L \over \partial \dot{u}} \right).
\end{equation}
Er geldt
\begin{equation}
{\partial L \over \partial u} = -Cu~~~~{\rm en}~~~~
{\partial L \over \partial \dot{u}} = m\dot{u}.
\end{equation}
Invullen in de Euler-Langrangevergelijking levert
\begin{equation}
{\partial L \over \partial u} = {d \over dt} \left( {\partial L \over \partial \dot{u}} \right)
\rightarrow
-Cu = {d \over dt} (m\dot{u}) = m\ddot{u} ,
\end{equation}
en dit correspondeert met de tweede wet van Newton voor deze situatie,
$F = ma \rightarrow -Cu = m\ddot{u}$.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Ons zonnestelsel is gemaakt uit gas afkomstig van een supernova.
Al het uranium op aarde is gemaakt in deze supernova.
Gedetailleerde berekeningen van de fysica van supernova
explosies suggereren dat het aantal geproduceerde $^{235}$U kernen
1,7 maal groter was dan het aantal $^{238}$U kernen. Sinds hun productie
vervalt $^{235}$U met een halfwaardetijd van $t_{1\over 2}=7,0 \times 10^8$ jaar en
$^{238}$U met halfwaardetijd van $t_{1\over 2}=4,5 \times 10^9$ jaar. Hoe lang geleden
vond de supernova explosie plaats, gegeven dat de verhouding
$^{235}$U tot $^{238}$U zoals gevonden in gesteente gelijk is aan 0,007?
(Hint: in radioactief verval neemt het aantal nog niet vervallen kernen af
volgens de relatie $N(t)=N(0)e^{-t/\tau}$
met $\tau$ de levensduur.)

\medskip
\noindent
Voor het verval van het $^{235}$U geldt\footnote{Als u dat makkelijker vindt
kunt u ook gebruikmaken van de relatie $N(t)=N(0)e^{-t/\tau}$
met $\tau$ de levensduur. Het verband tussen halfwaarde tijd $t_{1 \over 2}$
en de levensduur $\tau$
wordt gevonden uit $N(t_{1 \over 2})= {N(0) \over 2}=N(0)e^{-t_{1 \over 2}/\tau}$.
Hieruit volgt $t_{1 \over 2} = \tau \ln{2}$. Verder gewoon bovenstaande logica
volgen.}
$N_{235}(t) = N_{235}(0) / 2^{(t/0,7)}$ met $t$ in miljard jaar.
Evenzo vinden we voor het verval van het $^{238}$U de relatie
$N_{238}(t) = N_{238}(0) / 2^{(t/4,5)}$.

\noindent
We delen bovenstaande vergelijkingen door elkaar en vinden
\begin{equation}
{N_{235}(t) \over N_{238}(t)} = {N_{235}(0) \over N_{238}(0)}{2^{(t/4,5)} \over 2^{(t/0,7)}}.
\end{equation}
Er geldt $N_{235}(t) / N_{238}(t) = 0,007$ en $N_{235}(0) / N_{238}(0) = 1,7$.
Ook geldt $2^a / 2^b = 2^{(a-b)}$. We vinden
\begin{equation}
0,007 = 1,7 \times 2^{t \left( {1 \over 4,5} - {1 \over 0,7} \right)}
\rightarrow
~^2{\rm log} \left( {0,007 \over 1,7} \right) = t \left( {1 \over 4.5} - {1 \over 0,7} \right),
\end{equation}
waar we beide kanten door 1,7 gedeeld hebben en de $^2$log van beide kanten
hebben genomen. Ook geldt $^2{\rm log}( a ) = ~^{10}{\rm log}( a ) / ^{10}{\rm log}( 2 )$.
We vinden nu
\begin{equation}
t = { ^{10}{\rm log}( {0,007 \over 1,7} ) \over ^{10}{\rm log} 2 }
/ ( {1 \over 4,5} - {1 \over 0,7} ) = 6,6 ~{\rm miljard~jaar}.
\end{equation}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} De zon en andere sterren produceren hun energie door kernfusie.
Een van de fusiereacties, de proton-proton cyclus, bestaat uit de volgende
reacties:
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
~^1 {\rm H} + ~^1 {\rm H} & \rightarrow & ~^2 {\rm H} + \beta^+ + \nu_e \\
~^1 {\rm H} + ~^2 {\rm H} & \rightarrow & ~^3 {\rm He} + \gamma \\
\end{array}
\end{equation}
gevolgd door in $10^{-5}$ van de gevallen
\begin{equation}
~^1 {\rm H} + ~^3 {\rm He} \rightarrow ~^4 {\rm He} + \beta^+ + \nu_e .
\end{equation}
of in 85 procent van de gevallen
\begin{equation}
~^3 {\rm He} + ~^3 {\rm He} \rightarrow ~^4 {\rm He} + ~^1 {\rm H} + ~^1 {\rm H} .
\end{equation}


\noindent
(a) Toon aan dat het netto effect van deze reacties gelijk is aan
$(4 ~^1 {\rm H}) \rightarrow ~^4 {\rm He} + (2 \beta^+) + (2 \nu_e) + (1 ~{\rm of}~ 2)~\gamma$.

\medskip
\noindent
Gewoon optellen van de reacties geeft in het eerste geval
\begin{equation}
(4 ~^1 {\rm H}) \rightarrow ~^4 {\rm He} + (2 \beta^+) + (2 \nu_e) + (1 ~\gamma )
\end{equation}
en in het tweede geval
\begin{equation}
(6 ~^1 {\rm H}) \rightarrow ~^4 {\rm He} + (2 ~^1 {\rm H}) + (2 \beta^+) + (2 \nu_e) + (2 ~\gamma ) .
\end{equation}
Netto wordt er evenveel waterstof omgezet per cyclus.

\medskip
\noindent
(b) Toon aan dat een rustenergie van 24,7 MeV vrijkomt in deze cyclus
(en dan tellen we de 1,02 MeV die vrijkomt als elk van de positronen
annihileert met een elektron niet eens mee).

\medskip
\noindent
We hebben de volgende rustmassa's: $m_{^1{\rm H}} = 1,007825$ u,
$m_{^4{\rm He}} = 4,02603$ u, $m_e = 0,511$ MeV/c$^2$, met $u$ de
atomaire massaeenheid, $1~{\rm u} = 1,660~538~782(83) \times 10^{-27}~{\rm kg}
= 931,5~{\rm MeV/c}^2$. Je vindt dan
het massaverschil uit
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\Delta m & = & (4m_{~^1 {\rm H}} - 2m_{e^-}) - (m_{~^4{\rm He}} +  2m_{e^+}) \\
& = & 0,028697~{\rm u} - 4m_e = (26,73 - 2,044)~{\rm MeV/c}^2 = 24,7~{\rm MeV/c}^2. \\
\end{array}
\end{equation}
Dit komt overeen met een rustenergieverschil van
$\Delta E_0 = \Delta mc^2 = 24,7$ MeV.

\medskip
\noindent
(c) De zon straalt met een energie van ongeveer $4 \times 10^{26}$ W. Neem aan
dat dit wordt veroorzaakt door de conversie van vier protonen naar helium,
gammastraling en neutrino's, hetgeen 26,7 MeV vrijmaakt. Wat is het
verbruik van protonen in de zon (in protonen per seconde).

\medskip
\noindent
Het aantal proton-proton cycli per seconde is
\begin{equation}
{P \over \Delta E} = {(4 \times 10^{26}~{\rm W}) \over
(26,7~{\rm MeV})(1,602 \times 10^{-13}~{\rm J/MeV})} = 0,936 \times 10^{38}~{\rm s}^{-1}.
\end{equation}
Het verbruik in de zon is dan $3,75 \times 10^{38}$ waterstofatomen ($~^1$H) per seconde.
Vermenigvuldig dit met $m_{~^1{\rm H}} = 1,67353 \times 10^{-27}$ kg voor een
verbruik van $6,28 \times 10^{11}$ kg/s.

\medskip
\noindent
(d) Hoe lang kan de zon nog schijnen op deze wijze? Neem aan dat
de helft van de massa van de zon ($2 \times 10^{30}$ kg) door protonen gevormd wordt.

\medskip
\noindent
Als er in totaal $10^{30}$ kg aan protonbrandstof voorradig is, dan zal de
zon gedurende
\begin{equation}
T = {(10^{30}~{\rm kg}) \over (6,28 \times 10^{11}~{\rm kg/s})}
= 1,6 \times 10^{18}~{\rm seconde}
~~~~{\rm of~ook}~~~~
T = 5,0 \times 10^{10}~{\rm jaar}
\end{equation}
schijnen.

\vfill
\eject

\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Ga uit van vergelijking (53) op bladzijde 34.
Maak gebruik van een grove benadering waarbij we de afgeleide ${dP \over dr}$
in een klap schrijven als ${dP \over dr} \approx {P \over R}$ (zie ook blz. 36).

\noindent
(a) Laat zien dat voor een ster met massa $M$, straal $R$, de gemiddelde
druk bij benadering gegeven wordt door
\begin{equation}
P \approx {3GM^2 \over 4 \pi R^4}.
\end{equation}

\medskip
\noindent
We gaan uit van vergelijking (53) op bladzijde 34,
\begin{equation}
{dP \over dr} = -{GM_I \rho \over r^2}\rightarrow
{P \over R} \approx {GM \rho \over R^2} \rightarrow
P = {GM \over R}{M \over {4 \over 3}\pi R^3} \rightarrow
P = {3GM^2 \over 4\pi R^4}.
\end{equation}
In de eerste stap hebben we $dP$ vervangen door de benadering
$P_{\rm steroppervlak} - P_{\rm stercentrum}$ (dat is een negatief getal)
en evenzo $dr$ door $R = R_{\rm steroppervlak} - R_{\rm stercentrum}$.

\noindent
(b) Laat zien dat dezelfde relatie leidt tot de benadering $T \sim {M \over R}$
voor de gemiddelde temperatuur van de ster.

\medskip
\noindent
We gaan weer uit van vergelijking (53) op bladzijde 34,
\begin{equation}
{dP \over dr} = -{GM_I \over r^2}\rho = -{GM_I \over r^2}{P \mu \over kT} \rightarrow
{P \over R} \approx {\mu GM \over R^2}{P \over kT} \rightarrow
T = {\mu G \over k} {M \over R} .
\end{equation}
Merk op dat het symbool $\sim$ staat voor `evenredig aan'.

CHECK DEZE OPGAVE!!!
ZIE PERKINS ASTROPHYSICS PAGE 334

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} (Hint: lastige opgave; overweeg om deze als laatste te doen).
In de stad Kamiokande in Japan staat de zogenaamde Kamiokande II
detector. Deze detector is ontworpen om proton verval te bestuderen.
Met Kamiokande II werd op 23 februari 1987 in slechts 12 seconden een totaal
van 12 neutrino interacties geregistreerd. Deze meting viel
samen met de explosie van supernova SN1987A die op ongeveer
170.000 lichtjaar van de aarde stond. Reeds lang hiervoor hadden
astrofysici berekend dat bij een dergelijke explosie binnen een aantal
seconden een energie van ongeveer 10$^{46}$ J zou vrijkomen. Hiervan
zou ongeveer 90 \% vrijkomen in de vorm van neutrino's, die
het heelal in gejaagd zouden
worden, terwijl voor het spectaculaire zichtbare vuurwerk en de kinetische
energie van de restanten ten hoogste een procent van de energie ter
beschikking zou staan.

\medskip
\noindent
De Kamiokande II detector is in staat antineutrino's aan te tonen
via de reactie
\begin{equation}
\bar \nu_e + p \rightarrow e^+ + n
\end{equation}
aan protonen in normaal water. De protonen die gebonden zijn in zuurstof
kunnen hierbij verwaarloosd worden, omdat deze niet wezenlijk tot de
totale telsnelheid bijdragen. De energie en de richting van de positronen
kan met de detector bepaald worden (uit de richting en de intensiteit
van de door de positronen opgewekte \v Cerenkovstraling). De
actieve massa van de detector is 2100 ton water (1 ton $\equiv$ 1000 kg).
De theoretische werkzame doorsnede voor deze reactie is energieafhankelijk
en kan bij de hier optredende energie\" en uit de volgende relatie
afgeleid worden
\begin{equation}
\sigma = 10^{-45} {\rm ~m}^2 \cdot \left( {E~{\rm in~MeV} \over 10{\rm ~MeV}} \right)^2,
\end{equation}
waarbij de energie van de neutrino's
$E$ gelijk gesteld kan worden aan de energie van de positronen.
De 12 geregistreerde neutrino's hadden in het gewogen gemiddelde
een energie $< E_\nu >$ = 12,8 MeV en $(< E_\nu >)^{1/2}$ = 10,9 MeV.

\medskip
\noindent
(a) Wat is het totale aantal neutrino's dat vrijkwam bij de explosie van de
supernova? Ga ervan uit dat de zes neutrinosoorten
$\nu_e$, $\bar \nu_e$, $\nu_\mu$, $\bar \nu_\mu$, $\nu_\tau$,
en $\bar \nu_\tau$, waarvan enkel het $\bar \nu_e$ met de Kamiokande II
detector aangetoond kan worden, met vergelijkbare energie\" en en
in vergelijkbare hoeveelheden geproduceerd werden.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Allereerst rekenen we uit hoeveel actieve protonen
protonen aanwezig zijn in de Kamiokande II detector.
\begin{equation}
N_p^{\rm actief} = (2~{\rm protonen/H_2O})\left(
{2.1 \times 10^9~{\rm gram~H_2O} \over M_{\rm H_2O}=18}\right) \times N_A
= 1.4 \times 10^{32}.
\end{equation}
De werkzame doorsnede per actief proton bedraagt
\begin{equation}
\sigma = 10^{-45} {\rm ~m}^2 \cdot \left( {E \over 10{\rm ~MeV}} \right)^2
=10^{-45} {\rm ~m}^2 \cdot \left( {10.9~{\rm MeV} \over 10{\rm ~MeV}} \right)^2
= 1.19\times 10^{-45}~{\rm m}^2.
\end{equation}
Een actief oppervlakte van $N_p \times \sigma$ resulteerde in de
detectie van 12 neutrino's. Het totale oppervlakte van de neutrinoschil
bedraagt
\begin{equation}
A_{\rm total} = 4\pi R^2 = 4\pi (170,000~{\rm lichtjaar})^2
= 4\pi (1.61 \times 10^{21}~{\rm m})^2 = 3.25 \times 10^{43}~{\rm m}^2.
\end{equation}
In totaal zijn dus
\begin{equation}
N_\nu = (6~{\rm soorten~neutrino's})\times
{A_{\rm total} \over N_p \sigma} = 1.17 \times 10^{57}
\end{equation}
neutrino's vrijgekomen.

\medskip
\noindent
(b) Hoe groot is de totale in de vorm van neutrino's vrijgekomen energie
in de explosie van SN1987A? Vergelijk dit met de theoretische
voorspelling en vorm een oordeel over de overeenstemming.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De totale vrijgekomen energie in de vorm van neutrino's
bedraagt
\begin{equation}
E_\nu = N_\nu \times <12.8~{\rm MeV}> = 1.5 \times 10^{64}~{\rm eV}
=2.4 \times 10^{45}~{\rm J}.
\end{equation}
We hebben hier gebruikt dat 1 eV $\equiv 1.6 \times 10^{-19}$ J.
De overeenstemming is redelijk.

\medskip
\noindent
(c) Het eerst gemeten $\bar \nu_e$ had een energie van 20,0 MeV. Het laatst
gemeten neutrino kwam 12,4 seconde later en had een energie van 8,9 MeV. Welke
limiet wordt hiermee op de massa van het neutrino geplaatst?
Neem hierbij aan dat de supernova explosie minstens 10 s en hoogstens
20 s geduurd heeft. De benadering
$y=(1-(x/C)^2)^{-1/2} \approx 1 +x^2/2C^2+..$ voor $x\ll C$ kan hier
nuttig zijn.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} We zoeken een relatie die verband legt tussen de massa
en de energie van een neutrino. We gebruiken
\begin{equation}
\vec \beta = {\vec p_\nu \over E_\nu}~~{\rm en}~~\gamma = {E_\nu \over m_\nu}
={1 \over \sqrt{1-\beta^2}},
\end{equation}
waarbij $m_\nu$ de massa van het neutrino is.
We kunnen schrijven
\begin{equation}
{1 \over \beta} = \left[ 1-\left( {m_\nu \over E_\nu} \right)^2
\right]^{-{1 \over 2}}
\approx 1 + {m_\nu^2 \over 2E_\nu^2}.
\end{equation}
Het verschil in aankomsttijden van de neutrino's wordt enerzijds gegeven door
de periode van 10 s waarin de supernova explodeerde, en anderzijds door
de verschillen
in reistijd, $t = d/v$, in het geval dat de neutrino's een massa ongelijk
aan nul zouden hebben. Er geldt
\begin{equation}
\begin{array}{rl}
10~{\rm s}~+12.4~{\rm s}~ & =
{d \over v_2} - {d \over v_1} = {d \over c}\left( {1 \over \beta_2}
-{1 \over \beta_1} \right) \\
& = {d \over c} \left( 1+{m_\nu^2 \over 2E_2^2}-1-{m_\nu^2 \over 2E_1^2}
\right) = {d m_\nu^2 \over 2c} \left( E_2^{-2}-E_1^{-2} \right) . \\
\end{array}
\end{equation}
We kiezen voor $E_1$ en $E_2$ de grootste en kleinste neutrino energie\" en,
en vinden
\begin{equation}
m_\nu^2 = {22.4~{\rm s}} \times {2c \over d}
{E_1^2E_2^2 \over E_1^2 - E_2^2}
=(22.4~{\rm s})
\left( {(2)(3\times10^8~{\rm m/s}) \over 1.61 \times 10^{21}~{\rm m}} \right)
(3.94 \times 10^{23}) = (29~{\rm eV})^2.
\end{equation}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} Er geldt $n=3$ en we hebben de compacte uitdrukking $y_i = a_{~i}^r x_r$,
waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie.

\noindent
(a)  Schrijf expliciet de vergelijkingen op die
worden voorgesteld door de uitdrukking $y_i = a_{~i}^r x_r$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Stel dat $i = 3$ (per conventie gaan indices als $i$, $j$ en $k$ over
1, 2 en 3. Stel verder $r = 4$ (hiervoor is geen conventie), dan geldt
\begin{equation}
y_i = a_{~i}^r x_r \rightarrow
\begin{array}{rcl}
y_1 & = & a_1^1 x_1 + a_1^2 x_2 + a_1^3 x_3 + a_1^4 x_4, \\
y_2 & = & a_2^1 x_1 + a_2^2 x_2 + a_2^3 x_3 + a_2^4 x_4, \\
y_3 & = & a_3^1 x_1 + a_3^2 x_2 + a_3^3 x_3 + a_3^4 x_4. \\
\end{array}
\end{equation}

\noindent
(b) Verklaar waarom een uitdrukking als $a_{ii} x^i$ zonder enige betekenis is.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} In het algemeen geldt $a_{ij} \neq {ji}$. In het geval van
uitdrukking $a_{ii} x^i$ is het niet duidelijk of we over de rij- of de kolomindex
dienen te sommeren. Ook zouden we nog kunnen bedoelen dat we over de diagonale
elementen van de matrix $a_{ij}$ sommeren.

\noindent
(c) Gebruik de sommatieconventie om
\begin{equation}
a_{11}b^{11} + a_{21}b^{12} + a_{31}b^{13} + a_{41}b^{14}
\end{equation}
compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan $n$).

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt (met $n=4$)
\begin{equation}
a_{i1}b^{1i} = a_{11}b^{11} + a_{21}b^{12} + a_{31}b^{13} + a_{41}b^{14} .
\end{equation}

\noindent
(d) Idem voor
\begin{equation}
a_{11}b^{11} + a_{12}b^{12} + a_{13}b^{13} + a_{14}b^{14} + a_{15}b^{15}.
\end{equation}

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt (met $n=5$)
\begin{equation}
a_{1i}b^{1i} = a_{11}b^{11} + a_{12}b^{12} + a_{13}b^{13} + a_{14}b^{14} + a_{15}b^{15}.
\end{equation}

\noindent
(e) Idem voor
\begin{equation}
c_{~i1}^1 + c_{~i2}^2 +c_{~i3}^3 +c_{~i4}^4 +c_{~i5}^5 +c_{~i6}^6 + c_{~i7}^7 + c_{~i8}^8.
\end{equation}

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} We hebben (met $n=8$) de $i$ vergelijkingen
\begin{equation}
c_{~ij}^j = c_{~i1}^1 + c_{~i2}^2 +c_{~i3}^3 +c_{~i4}^4 +c_{~i5}^5 +c_{~i6}^6 + c_{~i7}^7 + c_{~i8}^8.
\end{equation}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Als $a_{ij}$ constanten zijn, bereken dan de parti\"ele
afgeleiden
\begin{equation}
{\partial \over \partial x^k} (a_{ij} x^i x^j ).
\end{equation}
Hint: het antwoord is ${\partial \over \partial x^k} (a_{ij} x^i x^j )
= a_{ki}x^i + a_{ik}x^i = (a_{ik}+a_{ki}) x^i$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Als we de $\sum$-notatie gebruiken, vinden we
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\sum_{i,j} a_{ij}x^ix^j & = & \sum_{\substack{i \neq k \\ j \neq k}} a_{ij}x^ix^j
+ \sum_{\substack{i = k \\ j \neq k}} a_{ij}x^ix^j
+ \sum_{\substack{i \neq k \\ j = k}} a_{ij}x^ix^j
+ \sum_{\substack{i = k \\ j = k}} a_{ij}x^ix^j \\
& = & C + \left( \sum_{j \neq k} a_{kj}x^j \right) x^k
+ \left( \sum_{i \neq k} a_{ik}x^i \right) x^k
+ a_{kk} \left( x^k \right)^2 , \\
\end{array}
\end{equation}
met $C$ onafhankelijk van $x^k$. Differenti\"eren naar $x^k$ levert
\begin{equation}
{\partial \over \partial x^k} \left( \sum_{i,j} a_{ij}x^ix^j \right) =
0 + \sum_{j \neq k} a_{kj}x^j + \sum_{i \neq k} a_{ik}x^i
+ 2a_{kk} x^k = \sum_{j} a_{kj} x^j + \sum_i a_{ik} x^i .
\end{equation}
Als we gebruikmaken van de sommatieconventie, vinden we
\begin{equation}
{\partial \over \partial x^k} (a_{ij} x^i x^j )
= a_{ki}x^i + a_{ik}x^i = (a_{ik}+a_{ki}) x^i .
\end{equation}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} We bekijken nu wat lineaire algebra met tensoren.

\noindent
(a) Toon aan dat geldt
\begin{equation}
(x^1, x^2, x^3) \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
x^2 \\
x^3 \\
\end{array}
\right) = a_{ij}x^i x^j .
\end{equation}

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt
\begin{equation}
(x^1, x^2, x^3) \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
x^2 \\
x^3 \\
\end{array}
\right) =
(x^1, x^2, x^3) \left(
\begin{array}{c}
a_{1j} x^j \\
a_{2j} x^j \\
a_{3j} x^j \\
\end{array}
\right) = \left[ x^i ( a_{ij} x^j ) \right] = a_{ij}x^i x^j .
\end{equation}

\noindent
(b) Schrijf de kwadratische vorm $3x^2 + y^2 - 2z^2 - 5xy -6yz = 10$
door gebruik te maken van een symmetrische matrix.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Bovenstaande kwadratische vorm wordt gegeven door de
niet-symmetrische matrix
\begin{equation}
A = \left(
\begin{array}{ccc}
3 & -5 & 0 \\
0 & 1 & -6 \\
0 & 0 & -2 \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
We vinden de symmetrische equivalente matrix door elk niet-diagonaal element
te vervangen door de halve som van dat element en haar spiegelbeeld in de
diagonaal van de matrix. De gevraagde representatie wordt dus
\begin{equation}
(x, y, z) \left(
\begin{array}{ccc}
3 & -5/2 & 0 \\
-5/2 & 1 & -3 \\
0 & -3 & -2 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) = 10.
\end{equation}
Uitwerken hiervan levert weer $3x^2 + y^2 - 2z^2 - 5xy -6yz = 10$.

\medskip
\noindent
(c) In een orthonormaal co\"ordinatenstelsel wordt de afstand $d(\vec x, \vec y)$
tussen de punten met plaatsvectoren $\vec x$ en $\vec y$ gegeven door
\begin{equation}
d(\vec x, \vec y) = \vert \vec x - \vec y \vert =
\sqrt{ (\vec x - \vec y)^T (\vec x - \vec y)}.
\end{equation}
We voeren de co\"ordinatentransformatie $\vec x^{~\prime} = A \vec x$ of
$\vec x = B \vec x^{~\prime}$ met $B = A^{-1}$ uit. Wat is de formule voor de
afstand $d(\vec x^{~\prime} ,\vec y^{~\prime} )$ in het getransformeerde systeem?

\medskip
\noindent
Hint, het antwoord is
\begin{equation}
d(\vec x, \vec y )
= \sqrt{ (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime})^T G (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime})}
= d(\vec x^{~\prime} , \vec y^{~\prime})
\end{equation}
met $G \equiv B^TB = (A^{-1})^TA^{-1} = (A^T)^{-1}A^{-1} = (AA^T)^{-1}$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Het is een kwestie van invullen. Dit levert
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
d(\vec x, \vec y )
& = & \sqrt{ (\vec x - \vec y)^T (\vec x - \vec y)} \\
& = & \sqrt{ (B \vec x^{~\prime} - B \vec y^{~\prime})^T (B \vec x^{~\prime} - B \vec y^{~\prime})} \\
& = & \sqrt{ (B (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime}))^T B (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime})} \\
& = & \sqrt{ (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime})^TB^T B (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime})} \\
& = & \sqrt{ (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime})^T G (\vec x^{~\prime} - \vec y^{~\prime})} \\
& = & d(\vec x^{~\prime} , \vec y^{~\prime}) , \\
\end{array}
\end{equation}
met $G \equiv B^TB = (A^{-1})^TA^{-1} = (A^T)^{-1}A^{-1} = (AA^T)^{-1}$.

\medskip
\noindent
We kunnen tensornotatie gebruiken en de productregel voor matrices om te bewijzen
dat geldt $(AB)^T = B^TA^T$. Het bewijs gaat als volgt
Stel dat $A \equiv \left[ a_{ij} \right]_{mn}$ (dus $m$ rijen en $n$ kolommen),
$B \equiv \left[ b_{ij} \right]_{nk}$, en
$AB \equiv \left[ c_{ij} \right]_{mk}$. Voor alle $i$ en $j$ hebben we
\begin{equation}
a_{ij}^\prime = a_{ji},~~~~
b_{ij}^\prime = b_{ji},~~~~
c_{ij}^\prime = c_{ji}.
\end{equation}
Er geldt dus $A^T = \left[ a_{ij}^\prime \right]_{nm}$,
$B^T = \left[ b_{ij}^\prime \right]_{kn}$, en
$(AB)^T = \left[ c_{ij}^\prime \right]_{km}$.
We moeten laten zien dat $B^TA^T = \left[ c_{ij}^\prime \right]_{km}$.
De definitie van het matrixproduct geeft
$B^TA^T = \left[ b_{ir}^\prime a_{rj}^\prime \right]_{km}$, en omdat
\begin{equation}
b_{ir}^\prime a_{rj}^\prime = b_{ri} a_{jr} = a_{jr} b_{ri} = c_{ji} = c_{ij}^\prime
\end{equation}
vinden we het gewenste resultaat.

\vfill
\eject

\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 4 - Oplossingen}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Welke van de onderstaande uitdrukkingen zijn consistent
met de sommatieconventie en welke niet.
Geef altijd de reden voor uw keuze. Laat u niet afleiden door de
keuze voor de symbolen.

\medskip
\noindent
\begin{enumerate}
\item{} $g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta = g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\gamma$

\noindent
De vrije indices zijn niet in evenwicht (er moeten links en rechts van het =-teken
altijd dezelfde vrije indices staan).
\item{} $g_{\alpha \beta} a^\alpha b^\beta = g_{\beta \gamma}a^\beta b^\gamma$

\noindent
OK, alle indices zijn sommatie indices en we hebben links en rechts dezelfde
dubbele sommatie.
\item{} $g_{\alpha \beta}a^\alpha b^\beta = g_{\alpha \beta} a^\alpha c^\beta$

\noindent
OK, er zou kunnen gelden dat $b^\alpha = c^\alpha$.
\item{} $T_{\alpha \gamma}^\alpha a^\gamma = g_{\alpha \beta}a^\alpha b^\beta$

\noindent
OK, alle sommaties staan aan beide kanten.
\item{} $T_{\beta \gamma}^\alpha a^\alpha c^\beta c^\gamma = b^\alpha$

\noindent
Herhaalde indices komen niet voor in boven-beneden paren.
\item{} $\partial x^\alpha / \partial x^\beta = \delta_{\beta}^\alpha$

\noindent
OK en waar; een bovenindex in een noemer telt als een benedenindex.
\item{} $\partial g_{\alpha \beta} / \partial x^\gamma = 0$

\noindent
OK, dit zijn 40 vergelijkingen die uitdrukken dat alle eerste-orde afgeleiden van
de metrische tensor gelijk zijn aan nul.
\item{} $ g_{\alpha \beta} {\partial x^\alpha \over \partial x^{\gamma^\prime}}
{\partial x^\beta \over \partial x^{\delta^\prime}} = g_{\gamma \delta}
{\partial x^\gamma \over \partial x^{\alpha^\prime}}
{\partial x^\delta \over \partial x^{\beta^\prime}}$

\noindent
$\alpha$ en $\beta$ zijn vrije indices aan een kant, maar sommatie indices
aan de andere kant.
\item{} $ g_{\alpha^\prime \beta^\prime} a^{\alpha^\prime} b^{\beta^\prime}
= g_{\alpha \beta} a^\alpha b^\beta$

\noindent
OK.
\item{} $a^\alpha (g_{\beta \gamma} b^\beta b^\gamma ) = b^\gamma$

\noindent
De vrije indices zijn niet in evenwicht.
\item{} $T_{\alpha \beta}^\alpha = T_{\beta \beta}^\beta$

\noindent
Herhaalde indices komen niet voor in boven-beneden paren.
\item{} $g_{\alpha \beta} = \eta_{\beta \alpha}$

\noindent
OK
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} Deze opgave is bedoeld om uit te vinden of u op correcte
wijze indices naar boven of beneden kunt halen. We beschouwen twee dimensies,
waarbij de indices $A$, $B$, ... de waarden 1 of 2 kunnen aannemen. De metrische
tensor wordt gegeven door
\begin{equation}
g_{AB} = \left(
\begin{array}{cc}
F & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
met $F$ een constante. Beschouw de vectoren
\begin{equation}
a_A = (1,0),~~~~b_A=(0,1),~~~~c^A=(1,0),~~~~d^A=(0,1) .
\end{equation}

\medskip
\noindent
(a) Bepaal de inverse van de metrische tensor $g^{AB}$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De inverse metrische tensor is
\begin{equation}
g^{AB} = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & -F \\
\end{array}
\right) ,
\end{equation}
en $g_{AB} g^{AB} = 1$.
\medskip
\noindent
(b) Bepaal $a^A$, $b^A$, $c_A$, $d_A$, $\vec a \cdot \vec b$,
$\vec a \cdot \vec c$ en $\vec a \cdot \vec d$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt $a^A = (0,1)$ (gebruik $a^i = g^{ij} a_j$),
$b^A = (1,-F)$, $c_A = (F,1)$, $d_A = (1,0)$, $\vec a\cdot \vec b =1$
$\vec a \cdot \vec c = 1$ en $\vec a \cdot \vec d = 0$.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} In deze opgave gaan we co\"ordinatentransformaties bestuderen
(voor toelichting, zie sectie 4.4 op bladzijde 60).

\medskip
\noindent
(a) Bereken de transformatiematrix (zie vergelijking (88) voor
de co\"ordinatentransformatie $(x,y) \rightarrow (\xi , \eta )$
met $\xi = x$ en $\eta = 1$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt
\begin{equation}
\Lambda_{~\beta}^\alpha = \left(
\begin{array}{cc}
\partial \xi / \partial x & \partial \xi / \partial y \\
\partial \eta / \partial x & \partial \eta / \partial y \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}

\medskip
\noindent
(b) Bereken de jacobiaan (dat is de determinant van de transformatiematrix;
zie vergelijking (89)) en laat zien dat voor bovenstaande transformatie soms geldt $J = 0$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De jacobiaan is ${\rm det}~\Lambda_{~\beta}^\alpha$
en we vinden $J = 0$, onafhankelijk van $x$ en $y$.

\medskip
\noindent
(c) Het is belangrijk dat een afbeelding \'e\'en op \'e\'en is en
dat komt wiskundig tot uitdrukking in de eis dat de jacobiaan van
de co\"ordinatentransformatie $J \neq 0$.

\medskip
\noindent
Zijn de volgende co\"ordinatentransformaties goede afbeeldingen?
Bereken de jacobiaan en vermeld de punten waarvoor de afbeeldingen falen.
\begin{enumerate}
\item{} $\xi = (x^2 + y^2 )^{1 \over 2}$, $\eta = {\rm arctan}({y \over x})$;

\noindent
OK, behalve in de oorsprong ($x=y=0$). Het zijn de gebruikelijke uitdrukkingen
voor poolco\"ordinaten.
\item{} $\xi = \ln{x}$, $\eta = y$;

\noindent
Niet gedefinieerd voor $x < 0$. Niet OK voor $x=0$. OK voor $x>0$.
De transformatie beeldt de rechterkant van het $(x,y)$ vlak af op het
hele vlak $(\xi , \eta )$.
\item{} $\xi = {\rm arctan}({y \over x})$, $\eta = (x^2 + y^2 )^{-{1 \over 2}}$.

\noindent
OK, behalve voor de oorsprong en voor oneindig. De afbeelding stelt een inversie
van het vlak voor door de eenheidscirkel.
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Teken de volgende curven. Welke hebben hetzelfde pad? Bepaal
ook hun raakvectoren waar de parameter gelijk is aan nul (een curve die met
parameter $\lambda$ geparametriseerd is, heeft
raakvector $\vec V = V^\alpha \vec e_\alpha = {d \over d\lambda}$ met componenten $V^\alpha = {dx^\alpha \over d\lambda}$
en basis $\vec e_\alpha = {\partial \over \partial x^\alpha}$).

\medskip
\noindent
(a) $x = \sin{\lambda}$, $y=\cos{\lambda}$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De curve heeft het pad $x^2 + y^2 = 1$ en stelt de
eenheidscirkel voor.

\noindent
De raakvector heeft componenten
$V^\alpha = (\cos{\lambda} , -\sin{\lambda})$ en voor $\lambda = 0$
vinden we $V^\alpha = (1, 0)$.

\medskip
\noindent
(b) $x = \cos{(2\pi t^2)}$, $y=\sin{(2\pi t^2 + \pi )}$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt $y=\sin{(2\pi t^2 + \pi )} = -\sin{(2\pi t^2)}$.
Verder kwadrateren we $x$ en $y$ weer. Daarna optellen levert $x^2 + y^2 = 1$ en
we vinden hetzelfde pad als voor vraag 4a.

\noindent
De raakvector heeft componenten
$V^\alpha = (-4\pi t \sin{(2\pi t^2)} , 4\pi t \cos{(2\pi t^2 + \pi )})$ en voor $t = 0$
vinden we $V^\alpha = (0, 0)$.

\medskip
\noindent
(c) $x = s$, $y=s+4$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} We vullen de uitdrukking voor $x$ in die voor $y$ in,
en vinden $y=x+4$ en dat is de vergelijking van een lijn met helling 1,
die door het punt $(0,4)$ gaat.

\noindent
De raakvector heeft componenten
$V^\alpha = (1,1)$ en voor $s = 0$ vinden we $V^\alpha = (1, 1)$.

\medskip
\noindent
(d) $x = s^2$, $y=-(s-2)(s+2)$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt $y=-(s-2)(s+2) = -s^2 + 4$ en invullen van
$x=s^2$ levert $y = -x + 4$. Weer de vergelijking van een lijn die
door het punt $(0,4)$ gaat, maar nu met helling -1.

\noindent
De raakvector heeft componenten
$V^\alpha = (2s,-2s)$ en voor $s = 0$ vinden we $V^\alpha = (0, 0)$.

\medskip
\noindent
(e) $x = \mu$, $y=1$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Dit is de vergelijking van de lijn $y=1$, waarbij
$x$ geparametriseerd wordt door $\mu$.

\noindent
De raakvector heeft componenten
$V^\alpha = (1,0)$ en voor $\mu = 0$ vinden we $V^\alpha = (1, 0)$.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} De relatie tussen cartesische $(x,y)$ en poolco\"ordinaten
$(r,\theta )$ wordt gegeven door $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ en $\theta = {\rm arctan}({y \over x})$
en de inverse relaties $x = r\cos{\theta}$ en $y=r\sin{\theta}$.

\medskip
\noindent
(a)  Bereken alle elementen van de transformatiematrices $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime}$
en $\Lambda_{~\nu^\prime}^\mu$ voor de transformatie van cartesische (het stelsel
zonder accent) naar polaire (met accenten op de indices) co\"ordinaten.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt (gebruik $y = {\rm arctan}(x) \rightarrow y^\prime = {1 \over 1 + x^2}$)
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
\Lambda_{~1}^{1^\prime} & = & {\partial r \over \partial x} = {x \over r} \\
\Lambda_{~2}^{1^\prime} & = & {\partial r \over \partial y} = {y \over r} \\
\Lambda_{~1}^{2^\prime} & = & {\partial \theta \over \partial x}
=  {1 \over 1 + \left({y \over x}\right)^2}\cdot -{y \over x^2} = -{y \over r^2} \\
\Lambda_{~2}^{2^\prime} & = & {\partial \theta \over \partial y}
=  {1 \over 1 + \left({y \over x}\right)^2}\cdot {1 \over x} = {x \over r^2} \\
\end{array}
\right\}  ~~~
\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} = \left(
\begin{array}{cc}
{x \over r} & {y \over r} \\
-{y \over r^2} & {x \over r^2} \\
\end{array}
\right) ,~~{\rm en}~~
\Lambda_{~\nu^\prime}^\mu = \left(
\begin{array}{cc}
{x \over r} & -y \\
{y \over r} & x\\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
We hebben gebruik gemaakt van het feit dat voor elke $2 \times 2$ matrix geldt
\begin{equation}
A = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right) ~~~~\rightarrow ~~~~
A^{-1} = {1 \over ad - bc} \left(
\begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}

\medskip
\noindent
(b) Stel $f=x^2+y^2+2xy$ en in cartesische co\"ordinaten
$\vec V \rightarrow (x^2+3y,y^2+3x)$, $\vec W \rightarrow (1,1)$. Bereken $f$ als
functie van $r$ en $\theta$, en bepaal de componenten van $\vec V$ en $\vec W$
voor de polaire basis door ze uit te drukken als functies van $r$ en $\theta$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Invullen van $x=r\cos{\theta}$ en $y=r\sin{\theta}$
geeft direct $f = r^2 + 2r^2 \cos{\theta}\sin{\theta}$.

\noindent
Voor de vectorcomponenten geldt
\begin{equation}
V^{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} V^\beta = \left(
\begin{array}{cc}
{x \over r} & {y \over r} \\
-{y \over r^2} & {x \over r^2} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x^2 + 3y \\
y^2 + 3x \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
{x^3 \over r} + {y^3 \over r} + {6xy \over r} \\
- {x^2y \over r^2} - {3y^2 \over r^2} + {xy^2 \over r^2} + {3x^2 \over r^2}   \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
Weer gebruikmaken van $x=r\cos{\theta}$ en $y = r\sin{\theta}$ levert
$V^r = r^2 (\cos^3{\theta} + \sin^3{\theta} ) + 6r\sin{\theta}\cos{\theta}$,
en $V^\theta = 3\cos^2{\theta} - 3\sin^2{\theta} +r\cos{\theta}\sin{\theta}(\sin{\theta} - \cos{\theta})$.

\medskip
\noindent
Op dezelfde wijze gaat de vector $\vec W \rightarrow (1,1)$ over in
\begin{equation}
W^{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} W^\beta = \left(
\begin{array}{cc}
{x \over r} & {y \over r} \\
-{y \over r^2} & {x \over r^2} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
{x \over r} + {y \over r} \\
-{y \over r^2} + {x \over r^2} \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
Invullen van $x=r\cos{\theta}$ en $y = r\sin{\theta}$ levert
$W^r = \cos{\theta} + \sin{\theta}$ en
$W^\theta = (\cos{\theta} - \sin{\theta})/r$ .

\medskip
\noindent
(c) Bepaal de componenten van $\tilde{\rm d}f$ in cartesische co\"ordinaten
en verkrijg ze in poolco\"ordinaten door (i) directe berekening in
poolco\"ordinaten, en (ii) door transformeren van de cartesische componenten.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt $f = x^2 + y^2 +2xy$ en dus
\begin{equation}
\tilde{\rm d}f = \left( {\partial f \over \partial x} , {\partial f \over \partial y} \right)
= \left( 2x + 2y , 2y + 2x \right) .
\end{equation}
In poolco\"ordinaten hadden we $f = r^2 + 2r^2 \cos{\theta}\sin{\theta}$
en een directe berekening geeft
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\tilde{\rm d}f = \left( (\tilde{\rm d}f)_r , (\tilde{\rm d}f)_\theta \right)
= \left( {\partial f \over \partial r} , {\partial f \over \partial \theta} \right)
& = & \left( 2r + 4r \cos{\theta}\sin{\theta} , 2r^2 (\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}) \right) \\
& = & \left( 2r(1+\sin{2\theta}) , 2r^2\cos{2\theta} \right) .  \\
\end{array}
\end{equation}
We gebruiken de goniometrische relaties
$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$ en $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$.

\medskip
\noindent
We kunnen deze uitdrukking ook vinden door de cartesische componenten
te transformeren. Dit gaat als volgt
\begin{equation}
\tilde{\rm d}f_{\nu^\prime} = \tilde{\rm d}f_{\mu} \Lambda_{~\nu^\prime}^{\mu}
=
\left( 2x+2y , 2x+2y \right)
\left(
\begin{array}{cc}
{x \over r} & -y \\
{y \over r} & x \\
\end{array}
\right)
= \left(
{2x^2 \over r} + {2xy \over r} + {2xy \over r} + {2y^2 \over r} ,
-2xy -2y^2 + 2x^2 +2xy
\right) .
\end{equation}
Gebruikmaken van $x=r\cos{\theta}$ en $y=r\sin{\theta}$ levert
\begin{equation}
\tilde{\rm d}f_{\nu^\prime} =
\left( 2r+4r\cos{\theta}\sin{\theta},2r^2\cos^2{\theta}-2r^2\sin^2{\theta} \right)
=  \left( 2r(1+\sin{2\theta}) , 2r^2\cos{2\theta} \right) .
\end{equation}

\medskip
\noindent
(d) Gebruik de metrische tensor in poolco\"ordinaten om de polaire componenten
van de 1-vormen $\tilde{V}$ en $\tilde{W}$ geassocieerd met $\vec V$ en $\vec W$
te vinden.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De plaatsvector wordt gegeven door
$\vec r = r\cos{\theta} \vec i + r\sin{\theta}\vec j$. De eenheidsvectoren worden
gegeven door
\begin{equation}
\vec e_r = {\partial \vec r \over \partial r} =
\left(
\begin{array}{c}
\cos{\theta} \\
\sin{\theta} \\
\end{array}
\right),~~~~{\rm en}~~~~
\vec e_\theta = {\partial \vec r \over \partial \theta} =
\left(
\begin{array}{r}
-r\sin{\theta} \\
r\cos{\theta} \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
De componenten van de metrische tensor worden gegeven door
$g_{\alpha \beta} = {\bf g}(\vec e_\alpha , \vec e_\beta )$. Uitwerken levert
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
g_{\alpha \beta} & = & \left(
\begin{array}{cc}
\vec e_r \cdot \vec e_r & \vec e_r \cdot \vec e_\theta \\
\vec e_\theta \cdot \vec e_r & \vec e_\theta \cdot \vec e_\theta \\
\end{array}
\right) = \left (
\begin{array}{cc}
\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta} & -r\sin{\theta}\cos{\theta} +r\sin{\theta}\cos{\theta} \\
-r\sin{\theta}\cos{\theta} +r\sin{\theta}\cos{\theta} & r^2\cos^2{\theta} + r^2\sin^2{\theta} \\
\end{array}
\right) \\
& = & \left(
\begin{array}{cc}
1 &  0 \\
0 & r^2 \\
\end{array}
\right) .
\end{array}
\end{equation}
De componenten van de 1-vorm $\tilde{V}$ worden gegeven door
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
V_\alpha = g_{\alpha \beta} V^\beta & = & \left(
\begin{array}{cc}
1 &  0 \\
0 & r^2 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
r^2 (\cos^3{\theta} + \sin^3{\theta} ) + 6r\sin{\theta}\cos{\theta} \\
3\cos^2{\theta} - 3\sin^2{\theta} +r\cos{\theta}\sin{\theta}(\sin{\theta} - \cos{\theta}) \\
\end{array}
\right) \\
& & \\
& = & \left(
\begin{array}{c}
r^2 (\cos^3{\theta} + \sin^3{\theta} ) + 6r\sin{\theta}\cos{\theta} \\
3r^2\cos^2{\theta} - 3r^2\sin^2{\theta} +r^3\cos{\theta}\sin{\theta}(\sin{\theta} - \cos{\theta}) \\
\end{array}
\right) .
\end{array}
\end{equation}
Evenzo vinden we de componenten van de 1-vorm $\tilde{W}$ door
\begin{equation}
W_\alpha = g_{\alpha \beta} W^\beta = \left(
\begin{array}{cc}
1 &  0 \\
0 & r^2 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
\cos{\theta} + \sin{\theta} \\
(\cos{\theta} - \sin{\theta})/r \\
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{c}
\cos{\theta} + \sin{\theta}\\
r(\cos{\theta} - \sin{\theta}) \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
De componenten van vectoren kunnen uit 1-vormen gevonden worden met de inverse metriek. Er geldt
\begin{equation}
g^{\alpha \beta} = \left(
\begin{array}{cc}
1 &  0 \\
0 & r^{-2} \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}

\medskip
\noindent
(e) Bepaal de polaire componenten van $\tilde{V}$ en $\tilde{W}$ door transformatie
van de cartesische componenten.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} In cartesische co\"ordinaten hebben we de vectoren
\begin{equation}
V^\alpha = \left(
\begin{array}{c}
x^2 + 3y \\
y^2 + 3x \\
\end{array}
\right) ~~~~{\rm en}~~~~
W^\alpha = \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
De metrische tensor in cartesische co\"ordinaten is de eenheidsmatrix. We vinden
derhalve voor de componenten van de geassocieerde 1-vormen
\begin{equation}
V_\alpha = \left( x^2 + 3y , y^2 + 3x \right) ~~~~{\rm en}~~~~
W_\alpha = \left( 1 , 1 \right) .
\end{equation}
De polaire componenten worden vervolgens gevonden door de transformatie
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
V_{\nu^\prime} & = & \Lambda_{~\nu^\prime}^\mu V_\mu
= \left( x^2 + 3y , y^2 + 3x \right) \left(
\begin{array}{cc}
{x \over r} & -y \\
{y \over r} & x \\
\end{array}
\right) \\
& = &
\left(
   {x^3 \over r} + {3xy \over r} + {y^3 \over r} +{3xy \over r} ,
  - x^2y - 3y^2 + xy^2 + 3x^2
\right) \\
& = &
\left(
   {r^3\cos^3{\theta} \over r} + {3r^2\cos{\theta}\sin{\theta} \over r}
   + {r^3 \sin^3{\theta} \over r} +{3r^2 \cos{\theta}\sin{\theta} \over r} \right. , \\
& & \left. ~~~~ -r^3 \cos^2{\theta}\sin{\theta} - 3r^2\sin^2{\theta}
  + r^3\cos{\theta}\sin^2{\theta} + 3r^2\cos^2{\theta} \right) \\
& = &
\left(
   r^2 (\cos^3{\theta} + \sin^3{\theta} ) + 6r\sin{\theta}\cos{\theta} ,
   3r^2\cos^2{\theta} - 3r^2\sin^2{\theta} +r^3\cos{\theta}\sin{\theta}(\sin{\theta} - \cos{\theta})
\right) . \\
\end{array}
\end{equation}
Evenzo vinden we
\begin{equation}
W_{\nu^\prime} = \Lambda_{~\nu^\prime}^\mu W_\mu
= \left( 1 , 1 \right) \left(
\begin{array}{cc}
{x \over r} & -y \\
{y \over r} & x \\
\end{array}
\right) = \left( {x \over r} + {y \over r}, -y + x \right) =
\left(
   \cos{\theta} + \sin{\theta} , r(\cos{\theta} - \sin{\theta})
   \right) .
\end{equation}

\vfill
\eject

\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 5 en 6}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Een vrij deeltje beweegt met snelheid $v$ langs de y-as, zoals gezien in
een zeker lorentzstelsel. Op tijd $t=0$, gezien vanuit dit lorentzstelsel, is het deeltje
in de oorsprong.

\medskip
\noindent
(a) U kunt aannemen dat de snelheid $v$ van dit deeltje constant is. Waarom?

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Het deeltje is een vrij deeltje: er werken geen krachten op, en dus zal
het met constante snelheid blijven voortbewegen.

\medskip
\noindent
(b) Bereken de positie van het deeltje als functie van de eigentijd $\tau$ met behulp
van de tijddilatatieformule.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} In het gegeven inertiaalstelsel geldt dat het deeltje beweegt met
een snelheid $v$, en dus volgt in dit stelsel $y(t) = vt$ (plus eventueel een constante).
Hierin is $t$ de tijd zoals gemeten door de waarnemer in dit stelsel; deze tijd kunnen we
omschrijven naar de tijd $\tau$ zoals gemeten door een waarnemer die meebeweegt met het deeltje
via de tijddilatatieformule $t = \gamma \tau$ (overtuig uzelf dat de $\gamma$ correct is
geplaatst!). op deze manier volgt
\begin{eqnarray}
y(\tau) = \gamma v \tau. \nonumber
\end{eqnarray}

\medskip
\noindent
(c) Bereken nogmaal de positie van het deeltje als functie van de eigentijd, maar nu met
behulp van de lorentztransformaties.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Dezelfde conclusie volgt ook via de boosts: $y = \gamma (y'+v \tau)$,
waarin $y'$ en $\tau$ de positie en tijd zijn zoals gemeten door een waarnemer die meebewegen
met het deeltje. Voor deze waarnemer geldt $y' = 0$; ingevuld in de Lorentz-transformatie volgt
zo wederom
\begin{eqnarray}
y(\tau) = \gamma v \tau. \nonumber
\end{eqnarray}

\medskip
\noindent
(d) Gebruik uw antwoord uit (b) of (c) om de viersnelheid $u^\mu$ van het deeltje te berekenen.
Laat zien dat geldt $\eta_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = -c^2$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De viersnelheid $u^\mu$ is gedefinieerd als de afgeleide van $x^\mu$ naar
de eigentijd $\tau$; via het antwoord uit b) of c) volgt zo
\begin{eqnarray}
u^t = \gamma c, \quad \quad u^x = 0, \quad \quad u^y = \gamma v, \quad \quad u^z = 0. \nonumber
\end{eqnarray}
De contractie $\eta_{\mu \nu} u^\mu u^\nu$ levert dan op
\begin{eqnarray}
\eta_{\mu \nu}u^\mu u^\nu &=& -\gamma^2 c^2+\gamma^2v^2 \nonumber \\
&=& \frac{1}{1-\left( \frac{v}{c} \right)^2}(v^2-c^2) \nonumber \\
&=& -c^2 \nonumber
\end{eqnarray}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} Via het formalisme van Lagrange kunnen we aantonen dat het kortste pad tussen
twee punten in een euclidische ruimte, een rechte lijn is; dit is op het college voorgerekend.
We vragen ons in deze opgave af of iets analoogs geldt in een minkowskiruimtetijd.
Oftewel: is het kortste pad tussen twee {\sl puntgebeurtenissen} ook een rechte lijn?

\medskip
\noindent
(a) Laat zien dat de afstand tussen twee puntgebeurtenissen wordt gegeven door de
volgende integraal:
\begin{eqnarray}
S = \int \Bigg( -\left( \frac{dt}{dx}\right)^2
+1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{dz}{dx}^2\right)\Bigg)dx.
\end{eqnarray}

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Het lijnelement $ds^2$ kunnen we opvatten als de afstand (in het kwadraat)
tussen twee puntgebeurtenissen in de ruimtetijd, maar strikt genomen alleen wanneer deze
puntgebeurtenissen heel dicht bij elkaar liggen. Om de afstand $S$ te berekenen als de
puntgebeurtenissen niet heel dicht bij elkaar liggen, moet $ds$ geintegreerd worden:
\begin{eqnarray}
S &=&  \int ds \nonumber \\
&=& \int \Bigg( \eta_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu \Bigg)^{1/2} \nonumber \\
&=& \int \Bigg( -c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 \Bigg)^{1/2} \nonumber \\
&=& \int \Bigg( -c^2 \left( \frac{dt}{dx} \right)^2 + 1 +  \left( \frac{dy}{dx} \right)^2+ \left( \frac{dz}{dx} \right)^2 \Bigg)^{1/2}dx \nonumber
\end{eqnarray}
In de laatste stap is gekozen om $dx^2$ uit de integrand te halen; een van de andere
$dx^\mu$ was uiteraard ook correct geweest.

\medskip
\noindent
(b) Kies een lorentzstelsel waarin de twee gebeurtenissen plaatsvinden op hetzelfde tijdstip.
Gebruik daarna de Euler-Lagrange vergelijkingen om aan te tonen dat $S$ minimaal is wanneer
het pad tussen de twee gebeurtenissen een rechte lijn is.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Voor de waarnemer voor wie de puntgebeurtenissen op hetzelfde moment
plaatsvinden geldt $dt = 0$, en is de eerste term van de integrand gelijk aan nul. Er blijft over:
\begin{eqnarray}
S = \int \Bigg( 1 +  \left( \frac{dy}{dx} \right)^2+ \left( \frac{dz}{dx} \right)^2  \Bigg)^{1/2} \nonumber
\end{eqnarray}
Het minimaliseren van deze uitdrukking krijgen we voor elkaar door de
integrand $L = ( 1 +  \left( \frac{dy}{dx} \right)^2+ \left( \frac{dz}{dx} \right)^2  )^{1/2} $
in te vullen in de Euler-Lagrange vergelijkingen
\begin{eqnarray}
\frac{\partial L}{\partial x^\alpha} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial \frac{dx^\alpha}{dx}} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
Dit zijn vier vergelijkingen: voor elk van de $x^\alpha$ levert dit een differentiaalvergelijking
op. Die voor $x^\alpha = t$ is makkelijk: omdat onze $L$ niet van $t$ of $\frac{dt}{dx}$ afhangt,
zullen beide kanten nul opleveren. Hetzelfde geldt voor $x^\alpha = x$. Er blijven dan ook twee
vergelijkingen over: een voor $x^\alpha = y$, en een keer voor $x^\alpha = z$. Die voor $y$ ziet
er dan als volgt uit:
\begin{eqnarray}
0 = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{L} \frac{dy}{dx}\right) \nonumber
\end{eqnarray}
Dit leert ons dat de uitdrukking tussen haakjes een constante is met betrekking tot $x$:
\begin{eqnarray}
\left( \frac{1}{L} \frac{dy}{dx}\right) = A = constant \nonumber
\end{eqnarray}
Dezelfde analyse en conclusie volgt voor $x^\mu = z$:
\begin{eqnarray}
\left( \frac{1}{L} \frac{dz}{dx}\right) = B = constant \nonumber
\end{eqnarray}
Deze twee vergelijkingen zijn aan elkaar gekoppeld: de functie $L$ bevat zowel $\frac{dy}{dx}$
als $\frac{dz}{dx}$, en dit maakt dat de oplossing voor $y(x)$ van $z(x)$ afhangt en vice versa.
Dit maakt het gelijktijdig oplossen van de twee vergelijkingen wat lastig, maar we kunnen dit
probleem omzeilen door de twee vergelijkingen op elkaar delen. Op deze manier valt de functie $L$
er uit, en wordt gevonden
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} = \frac{A}{B} \frac{dz}{dx} \nonumber
\end{eqnarray}
Hier staat dat de afgeleides van de functies $z(x)$ en $y(x)$ slechts een constante $A/B $
schelen met elkaar. Dit verband kunnen we gebruiken om de twee eerdere vergelijkingen te
ontkoppelen. Vul hiertoe dit verband in, en gevonden wordt voor (zeg) $\frac{dy}{dx}$:
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& A \Bigg( 1 +  \left( \frac{dy}{dx} \right)^2+ \left( \frac{dz}{dx} \right)^2  \Bigg)^{1/2} \nonumber \\
&=& A \Bigg( 1 +  \left( \frac{dy}{dx} \right)^2+ \left( \frac{B}{A} \right)^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2  \Bigg)^{1/2} \nonumber
\end{eqnarray}
Dit is een vergelijking voor de afgeleide $\frac{dy}{dx}$, en kan eenvoudig worden herschreven tot
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} = \pm \frac{A}{\sqrt{1-A^2-B^2}} = constant \nonumber
\end{eqnarray}
Deze vergelijking is makkelijk op te lossen: hij zegt dat de functie $y$ en $x$ een lineair
verband kennen: zo is gevolgd dat $y(x)$ een rechte lijn is. Op dezelfde manier kan de analyse
gedaan worden voor $z$ om te vinden dat ook $z$ en $x$ een lineair verband kennen, en dus dat
$z(x)$ een rechte lijn is. De conclusie is dan ook dat het pad $\vec{x} = (x,y(x),z(x))$ tussen
de twee gebeurtenissen een rechte lijn is, en dit is wat moest worden aangetoond.

\medskip
\noindent
(c) De conclusie uit opgave (b) is dat voor deze {\sl specifieke} waarnemer inderdaad geldt
dat de afstand tussen twee puntgebeurtenissen een rechte lijn is. Beargumenteer, zonder opnieuw
de Euler-Lagrange vergelijkingen op te lossen, dat dezelfde conclusie ook moet gelden
voor \emph{alle waarnemers} in minkowksistelsels.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Gekeken naar het lijnelement, is er geen wezenlijk verschil tussen de
term $c^2dt^2$ en de termen $dx^2$, $dy^2$, $dz^2$: zij schelen onderling een minteken en
een paar factoren $c^2$, maar dit verandert alleen de waarde van de constantes in de uitwerking
van (b); de conclusie dat alle verbanden rechte lijnen zijn, blijft dan ook ongewijzigd.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} In Stanford, Californie, staat een lineaire deeltjesversneller genaamd
SLAC (Stanford Linear Accelator Center) Two-mile Accelator.
Dit is een instrument van ongeveer 2 mijl lang waarin
een constant elektrisch veld $\mathscr{E}$ is aangebracht, dat sterk genoeg is om elektronen
vanuit rust te doen versnellen tot zij een energie $E$ hebben van 40 GeV (zoals gemeten in het
ruststelsel van het apparaat). We nemen aan dat het ruimtelijk deel van de relativistische impuls
$\vec{p}$ voldoet aan de volgende bewegingsvergelijking:
\begin{eqnarray}
\frac{d\vec{p}}{dt} = e\vec{\mathscr{E}}, \nonumber \\
\end{eqnarray}
waarin $t$ de tijd is zoals gemeten in het ruststelsel van de pijp, en $e$ de elektrische
lading van het elektron (hierdoor is $e\vec{\mathscr{E}}$ niets anders dan de kracht
$\vec{F}$ op het elektron).

\medskip
\noindent
(a) Neem aan dat het elektron start vanuit rust aan een kant van het apparaat, en dat het
elektrisch veld langs de $x$-as is. Gebruik de bewegingsvergelijking om uit te rekenen
wat de positie $x$ is van het elektron als functie van de tijd $t$. Hint: bereken eerst $v(t)$;
wanneer deze gevonden is, integreer deze om $x(t)$ te vinden. U houdt een integratieconstante
over; kies deze zodanig dat geldt dat het elektron een positie $x = 0$ heeft op tijdstip $t=0$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De snelheid $v(t)$ ten opzichte van de pijp kunnen we uitrekenen met behulp
van de gegeven bewegingsvergelijking. De relativistische impuls $\vec{p}$ is gelijk aan
$\gamma mv$ (waarbij $\gamma$ geen constante is, omdat de snelheid van het deeltje toeneemt
in de tijd), en de bewegingsvergelijking wordt dan
\begin{eqnarray}
\gamma(v) m v = e \mathscr{E} t \nonumber
\end{eqnarray}
De linkerkant van de vergelijking bevat $v$, en we kunnen deze uit de vergelijking oplossen. Wat
simpele algebra levert op
\begin{eqnarray}
v =  \pm \frac{e \mathscr{E} ct}{\sqrt{m^2c^2+e^2\mathscr{E}^2t^2}} \nonumber
\end{eqnarray}
(plusmin-teken komt voort uit het nemen van een wortel; het definieert hier niets anders dan de
richting waarin het deeltje beweegt. We kiezen vanaf nu de plus-richting). Nu de functie $v(t)$
is gevonden, kan deze worden geintegreerd om de positie $x(t)$ te vinden. Dit is niet zo moeilijk
als het lijkt: de afgeleide van een wortel is 1 gedeeld door die wortel, en zo kunnen we al
vermoeden dat de integraal van deze uitdrukking ongeveer de wortel van de noemer zal opleveren.
Er geldt dan ook in het algemeen
\begin{eqnarray}
\int \frac{\theta}{\sqrt{A+\theta^2}}d\theta  = \sqrt{A+\theta^2}+B \nonumber
\end{eqnarray}
waarin $A$ en $B$ twee willekeurige constanten zijn. Als we dit gebruiken om de functie $v(t)$
te integreren, vinden we voor de positie $x(t)$:
\begin{eqnarray}
x(t) =\frac{1}{e \mathscr{E}} \sqrt{m^2c^4 + e^2 \mathscr{E}^2 c^2 t^2} +B \nonumber
\end{eqnarray}
De constante $B$ kiezen we zo, dat op tijdstip $t=0$ het elektron op positie $x=0$ is. Vul hiertoe
de waarde $t=0$ in, eis dat $x=0$, en gevonden wordt dat dit alleen waar kan zijn als de constante
de volgende waarde heeft:
\begin{eqnarray}
B = - \frac{mc^2}{e \mathscr{E}} \nonumber
\end{eqnarray}

\medskip
\noindent
(b) Laat zien dat de elektronen, ten opzichte van het apparaat, niet sneller kunnen gaan dan het licht.
(Opmerking: via opgave 4b, volgt hieruit dat de elektronen niet sneller kunnen gaan dan het licht
ten opzichte van \emph{elke} waarnemer.)

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Het elektrisch veld geeft het elektron een (constante) versnelling, en dus zou het elektron
zijn maximale snelheid bereiken na oneindig veel tijd. Als we de limiet nemen $t \rightarrow \infty$
in de uitdrukking voor de snelheid $v(t)$, vinden we een maximale snelheid van $c$:
\begin{eqnarray}
\lim_{t \rightarrow \infty}  \frac{e \mathscr{E} ct}{\sqrt{m^2c^2+e^2\mathscr{E}^2t^2}} = c. \nonumber
\end{eqnarray}
Sneller dan het licht is blijkbaar niet mogelijk, en de lichtsnelheid zelf wordt pas bereikt na
oneindig lang versnellen.

\medskip
\noindent
(c) De elektronen versnellen door de aanwezigheid van het elektrisch veld $\mathscr{E}$, en
winnen daardoor aan energie, zoals gezien vanuit het apparaat. Schrijf de uitdrukking op voor deze
energie als functie van de tijd $t$. Schrijf ook de energie op gezien vanuit het elektron.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De relativistische energie van een deeltje wordt gegeven door $E^2 = \vec{p}^2 c^2+m^2c^4$,
waar $\vec{p}$ het ruimtelijke deel is van de relativistische impuls. Een uitdrukking voor de
laatste, zoals gemeten in het stelsel van de pijp, kunnen we direct vinden uit de gegeven
bewegingsvergelijking: $\frac{d \vec{p}}{dt} = e \mathscr{E}$ geeft $\vec{p}(t) = e \mathscr{E} t$
(merk op dat dit geldt omdat het elektrisch veld constant is). De relativistische energie is dan
\begin{eqnarray}
E = \sqrt{e^2 \mathscr{E}^2 c^2 t^2+m^2 c^4} \nonumber
\end{eqnarray}
Deze energie neemt toe in de tijd; dit is, uiteraard, omdat het elektrisch veld het elektron een
steeds hogere snelheid geeft; hierdoor neemt de kinetische energie van het elektron toe.
De energie gezien vanuit het elektron is simpelweg $E = mc^2$, omdat het elektron zich altijd in
zijn eigen ruststelsel bevindt. Merk op dat het niet toegestaan is om de Lorentz-transformaties
tussen energie en impuls te gebruiken om deze energie te vinden omdat het elektron zich niet in een
inertiaalstelsel bevindt (het versnelt!): de Lorentz-transformaties gelden voor coordinaattransformaties
tussen inertiaalstelsels!

\medskip
\noindent
(d) De lengte van de versneller is twee mijl. Gebruik uw antwoorden uit (a) en (c) om te bepalen hoe
groot het elektrisch veld moet zijn opdat de elektronen een energie (ten opzichte van het apparaat)
van $E = 40$ GeV hebben wanneer zij aan de andere kant van de versneller uitkomen (opmerking: de
wetten van de elektrodynamica dicteren dat de elektronen een beetje energie verliezen ten
gevolge van hun versnelling; dit effect mag u verwaarlozen).

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Wanneer we de gevonden uitdrukkingen bekijken voor de positie $x(t)$ en de energie $E(t)$
van het
elektron gezien vanuit de pijp, is te zien dat zij beide dezelfde wortel bevatten. Dit is handig, want
dat betekent dat we $x$ en $E$ in elkaar kunnen uitdrukken:
\begin{eqnarray}
x = \frac{1}{e \mathscr{E}}E-\frac{mc^2}{e \mathscr{E}} \nonumber
\end{eqnarray}
Het elektrisch veld $\mathscr{E}$ benodigd om te zorgen dat het elektron een energie $E$ heeft op
positie $x$, wordt dan gegeven door
\begin{eqnarray}
\mathscr{E}=\frac{1}{e x}(E-mc^2) \approx \frac{E}{ex} \nonumber
\end{eqnarray}
(waar in de laatste stap de rustenergie $mc^2$ van het elektron is verwaarloosd: deze is namelijk
ongeveer 0.5 MeV, wat veel kleiner is dan de energie $E$).
We vullen de volgende getallen in: $E = 40$ GeV $= 6.4 \cdot 10^{-9} $ J, $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ C,
$x = 2$ mijl $= 3$ km, en zo wordt een elektrisch veld gevonden van $\mathscr{E} = 1.3 \cdot 10^7$ N/C.


\medskip
\noindent
(e) Welke snelheid, ten opzichte van het apparaat, hebben de elektronen, wanneer
zij de versneller uitkomen?

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Het verband tussen snelheid en energie wordt gegeven door de uitdrukking $E = \gamma mc^2$. Deze
kan worden omgeschreven tot
\begin{eqnarray}
v = c \sqrt{1-\frac{m^2c^4}{E^2}}.
\end{eqnarray}
Invullen van de getallen $E = 40$ GeV (energie van het elektron op het eind van de pijp) en $mc^2 = 0.5$
MeV geeft een snelheid van nagenoeg de lichtsnelheid: $v = 0.999999999922 c$.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} In het college is de regel voor het optellen van snelheden afgeleid: wanneer
twee waarnemers in lorentzstelsels bewegen ten opzichte van elkaar met snelheid $v$ in de
$x-$richting en beiden kijken naar de snelheid van een voorbijvliegend deeltje, dan gelden de
volgende relaties tussen de snelheden $\vec{u}$ en $\vec{u}'$ van het deeltje, zoals gemeten
door de twee waarnemers:
\begin{eqnarray}
u'_x &=& \frac{u_x+v}{1+\frac{u_x v}{c^2}}, \nonumber \\
u'_y &=& \frac{1}{\gamma} \frac{u_y}{1+\frac{vu_x}{c^2}}, \nonumber \\
u'_z &=& \frac{1}{\gamma} \frac{u_z}{1+\frac{vu_x}{c^2}}, \nonumber
\end{eqnarray}
waarin
\begin{eqnarray}
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}. \nonumber
\end{eqnarray}

\medskip
\noindent
(a) Bewijs deze formules met behulp van de lorentztransformaties.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De lorentztransformaties tussen twee waarnemers die een onderlingen snelheid
hebben van $v$ in $x$-richting, worden gegeven voor $dt' = \gamma (dt+\frac{v}{c^2}dx)$,
$dx' = \gamma (dx+vdt)$, $dy' = dy$, $dz' = dz$. Wanneer de waarnemer (zonder accentje) kijkt
naar een deeltje dat beweegt in zijn stelsel met snelheid $u_x = \frac{dx}{dt}$in $x$-richting,
volgt voor de snelheid $u'_x = \frac{dx'}{dt'}$ van het deeltje zoals gemeten door de andere
waarnemer (met accentje):
\begin{eqnarray}
u'_x &=& \frac{dx'}{dt'} \nonumber \\
&=& \frac{\gamma(dx+v dt)}{\gamma(dt+\frac{v}{c^2}dx)} \nonumber
\end{eqnarray}
waar de lorentztransformaties zijn ingevuld om $dx'$ en $dt'$ te vervangen door $dx$ en $dt$.
Door nu teller en noemer te delen door $\gamma dt$ volgt
\begin{eqnarray}
&=& \frac{\frac{dx}{dt}+v}{1+\frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}} \nonumber \\
&=&  \frac{u_x+v}{1+\frac{u_x v}{c^2}} \nonumber
\end{eqnarray}
Dit bewijst de eerste van de gegeven vergelijkingen. De twee anderen zijn op dezelfde manier te
vinden: schrijf de snelheden $u'_y = \frac{dy'}{dt'}$, $u'_z = \frac{dz'}{dt'}$ op van het deeltje
zoals gemeten door de waarnemer met accentje, vervang $dy', dz'$ door $dy,dz$ en $dt'$ door $dt$
met behulp van de lorentztransformaties, en werk uit. Het resultaat zijn de twee overgebleven
vergelijkingen, die dan bewezen zijn.

\medskip
\noindent
(b) Laat zien dat als een van de twee waarnemers (zeg: de waarnemer die we aanduiden
zonder accentje) het deeltje ziet bewegen met een snelheid $\vec{u}$ lager dan de
lichtsnelheid $c$, elke andere waarnemer (met accentje) ook een snelheid $\vec{u}'$ zal
meten kleiner dan $c$. Neem hierbij niet zondermeer aan dat het deeltje in $x-$richting beweegt.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} We beschouwen nu een deeltje dat in willekeurige richting beweegt ten
opzichte van de waarnemers, en dit doet ten opzichte van de waarnemer zonder accentje, met
een snelheid $\vec{u}$ lager dan die van het licht. We nemen dus aan
\begin{eqnarray}
\vec{u}^2 < c^2 \nonumber
\end{eqnarray}
We dienen nu aan te tonen dat dan voor de snelheid $\vec{u}'$, zoals gemeten door de waarnemer
met accentje, eveneens geldt dat $\vec{u}^{\prime 2} < c^2$. Hiertoe schrijven we deze snelheid op en
werken hem uit met behulp van de transformatieregels gevonden in (a).
\begin{eqnarray}
\vec{u}^{^\prime 2} &=& u^{\prime 2}_x + u^{\prime 2}_y + u^{\prime 2}_z \nonumber \\
&=& \left( \frac{u_x+v}{1+\frac{u_x v}{c^2}} \right)^2 + \left( \frac{1}{\gamma} \frac{u_y}
{1+\frac{vu_x}{c^2}} \right)^2 + \left( \frac{1}{\gamma} \frac{u_z}{1+\frac{vu_x}{c^2}} \right)^2 \nonumber
\end{eqnarray}
Het is nu een kwestie van algebra geworden. Een aantal stappen staat hieronder
\begin{eqnarray}
&=& \frac{1}{\left( 1+\frac{u_x v}{c^2} \right)^2} \left( u_x^2+v^2+2u_x v +
\left( 1-\frac{v^2}{c^2}\right)(u_y^2+u_z^2) \right) \nonumber \\
&=& \frac{1}{\left( 1+\frac{u_x v}{c^2} \right)^2} \left( \vec{u}^2 +v^2 + 2u_xv-
\frac{v^2}{c^2}u_y^2-\frac{v^2}{c^2}u_z^2 \right) \nonumber
\end{eqnarray}
(waar is gebruikt dat $\vec{u}^2 = u_x^2+u_y^2+u_z^2$.) We dienen nu aan te tonen dat dit
kleiner is dan $c^2$, oftewel: aangetoond moet worden
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\left( 1+\frac{u_x v}{c^2} \right)^2} \left( \vec{u}^2 +v^2 + 2u_xv-\frac{v^2}{c^2}u_y^2
-\frac{v^2}{c^2}u_z^2 \right) < c^2 \nonumber
\end{eqnarray}
Dat dit waar is kunnen we aantonen door beide kanten te vermenigvuldigen met
$\left( 1+\frac{u_x v}{c^2} \right)^2$ en wederom wat algebra te doen. Het resultaat is dat we
moeten laten zien dat
\begin{eqnarray}
\vec{u}^2+v^2-\frac{v^2}{c^2}\vec{u}^2-c^2 < 0 \nonumber
\end{eqnarray}
Linkerkant kunnen we schrijven als $(\vec{u}^2-c^2)(1-\frac{v^2}{c^2})$. De tweede factor hierin
is positief (omdat $v$ altijd kleiner is dan $c$); de eerste factor hierin is negatief, omdat
we hadden aangenomen dat de eerste waarnemer het deeltje een snelheid $u$ ziet hebben
kleiner dan $c$. De linkerkant van ons laatste resultaat is dus inderdaad kleiner dan nul,
en hiermee is het gestelde aangetoond: als $\vec{u}^2 < c^2$, dan geldt eveneens
$\vec{u}^{\prime 2} < c^2$.

\medskip
\noindent
(c) Dezelfde opgave als (b), maar deze keer voor snelheden $\vec{u}$ groter dan $c$,
oftewel: laat zien dat als voor een waarnemer geldt $\vec{u} > c$, dan voor elke andere
waarnemer eveneens geldt $\vec{u}' > 0$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Deze opgave gaat helemaal hetzelfde als de vorige, alleen is de aanname nu
dat $\vec{u}^2 > c^2$ en moet worden aangetoond (na precies dezelfde algebra als bij (b)) dat er geldt:
\begin{eqnarray}
\vec{u}^2+v^2-\frac{v^2}{c^2}\vec{u}^2-c^2 > 0 \nonumber
\end{eqnarray}
Dat dit waar is, volgt door op te merken dat de linkerkant geschreven kan worden als
$(\vec{u}^2-c^2)(1-\frac{v^2}{c^2})$, en in te zien dat de tweede factor positief is omdat
$v > c$, en de eerste factor eveneens positief is vanwege de aanname $\vec{u}^2 > c^2$. Hiermee
is het gestelde aangetoond: als $\vec{u}^2 > c^2$, dan geldt eveneens $\vec{u}^{\prime 2} > c^2$.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} Deze opgave gaat over een van de beroemde {\sl paradoxen} uit de speciale
relativiteitstheorie. Doel is aan te tonen dat, wanneer netjes en consequent gewerkt wordt,
er geen tegenstrijdigheden blijken te bestaan.

\medskip
\noindent
We beschouwen in deze opgave een boer die een ladder die hij graag wil opbergen, maar op het
probleem stuit dat zijn ladder langer is dan zijn schuur. De boer besluit heel hard te gaan
rennen met zijn ladder, omdat hij uit de relativiteitstheorie heeft begrepen dat dan, voor zijn
vrouw gezien die stilstaat naast de schuur, de ladder verkort zal lijken. Als hij maar hard
genoeg rent, beredeneert hij, ondervindt de ladder een lorentzcontractie en zal de ladder
wel degelijk netjes in de schuur passen. Echter, onder het rennen bemerkt hij dat voor {\sl hem},
juist de {\sl schuur} korter is geworden: de ladder past er nu al helemaal niet meer in!
De paradox is dan ook de volgende: de boerin claimt dat de ladder wel degelijk in de schuur
past, en tegelijkertijd claimt de boer dat de ladder niet past. Kunnen ze beiden gelijk hebben,
of is er sprake van een tegenstrijdigheid?

\medskip
\noindent
We stellen ons voor dat de ladder lampjes heeft op de voor en achterkant, en beschouwen de
volgende puntgebeurtenissen: de lampjes geven beide een flits af op hetzelfde moment
zoals gezien door de boerin. Het lorentzframe van de boerin zullen we aanduiden met
coordinaten zonder accentje, en het lorentzframe van de boer zullen we aanduiden met
coordinaten met accentje.

\medskip
\noindent
(a) Schrijf de viervectoren $dx^\mu$ respectievelijk $dx^{\prime~\mu}$ op die het verschil in
tijd en afstand aangeven tussen de twee puntgebeurtenissen, zoals gezien door boerin
respectievelijk boer. Noem hierbij de lengte van de ladder $L$ respectievelijk $L'$. Neem
hierbij aan dat beiden hun assenstelsels zo hebben gekozen, dat de boer in de $x$-richting
aan het rennen is. Let op: met de gegeven informatie kan nog niet elke component van de
viervectoren een waarde toegekend worden. Laat deze componenten onbepaald.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} In het stelsel van de boerin geldt dat de twee lampjes op hetzelfde moment
flitsen: $cdt = 0$; de afstand tussen deze twee gebeurtenissen is voor haar precies de lengte
$L$ van de ladder: $dx = L$; in $y$ en $z$-richtingen vinden de gebeurtenissen plaats op dezelfde
plek $dy = 0$, $dz = 0$. Voor de boer geldt dat de tijdsduur tussen het flitsen van de lampjes
niet gelijk is aan nul (wat de waarde wel is, kunnen we op basis van de gegeven informatie niet
vaststellen); de afstand tussen de posities van de twee gebeurtenissen is voor hem precies de
lengte $L'$ van de ladder (de lampjes bevinden zich immers op de twee uiteinden van de ladder):
$dx'=L'$; in $y'$ en $z'$-richtingen vinden de gebeurtenissen plaats op dezelfde plek $dy' = 0$,
$dz' = 0$.

\medskip
\noindent
(b) Schrijf de lorentztransformaties op tussen de twee viervectoren. Neem hierbij aan
dat de boer rent met constante snelheid $v$ in $x-$richting. Hoe zijn de lengtes $L$ en $L'$
aan elkaar gerelateerd?

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Omdat de twee waarnemers beide in lorentzstelsels bevinden, zijn hun gemeten
afstanden en tijdsduren aan elkaar gerelateerd via de lorentztransformaties.
\begin{eqnarray}
dt' &=& \gamma (dt+\frac{v}{c^2}dx) \nonumber \\
dx' &=& \gamma (dx+vdt) \nonumber
\end{eqnarray}
Met de antwoorden uit (a) ingevuld, nemen deze de volgende vorm aan
\begin{eqnarray}
dt' &=& \gamma \frac{v}{c^2}L \nonumber \\
L' &=& \gamma L
\end{eqnarray}
De tweede hiervan geeft de relatie aan tussen de lengte van de ladder zoals gezien door
boer ( $L'$ ) en boerin ( $L$ ); omdat $\gamma > 1$, volgt hieruit dat de ladder korter lijkt
voor de boerin dan voor de boer. Dit is, natuurlijk, precies lorentzcontractie.

\medskip
\noindent
(c) Bepaal uit de lorentztransformaties eveneens het tijdsverschil tussen de twee gebeurtenissen.
Laat zien dat deze niet gelijk is aan nul voor de boer, ook al is deze het wel voor de boerin.

\medskip
\noindent
Het feit dat de boer een tijdsverschil ongelijk nul ziet tussen de twee puntgebeurtenissen, is
de kern van de oplossing van de paradox. Het betekent fysisch het volgende: vanuit zijn stelsel
gezien, heeft de boerin de voor en achterkant van de ladder {\sl niet op hetzelfde moment
geregistreerd}, en is, aldus de boer, haar ruimtelijke afstand tussen de twee puntgebeurtenissen
niet de juiste lengte van de ladder. Immers, zo beredeneert hij, in de tijd (door u uitgerekend in (c))
die zij te lang heeft gewacht tussen registratie van voor en achterkant van de ladder, was hij al
een stukje verder gerend met snelheid $v$: uiteraard komt daar dan een lengte van de ladder uit
die te kort is! Hij oppert daarom dat zij moet corrigeren voor het feit dat ze te lang gewacht
heeft om de voor en achterkant te registeren.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De eerste van de twee vergelijkingen gevonden bij (c) geeft aan dat de twee
gebeurtenissen niet op hetzelfde moment plaatsvinden, zoals gezien door de boer: $dt' \neq 0$.

\medskip
\noindent
(d) Wat is de afstand die de boer oppert dat zijn vrouw zou moeten optellen bij haar
gevonden lengte?

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De boer denkt dat zijn vrouw een tijd $\gamma \frac{v}{c^2}L$ te lang gewacht
heeft tussen meten van voor en achterkant van de ladder, en zij om die reden een te korte ladder
gemeten heeft: in de tussentijd is de ladder immers een stukje verder gevlogen met snelheid $v$.
De boer oppert daarom dat daarvoor gecompenseerd moet worden met een afstand gelijk aan deze
snelheid maal de tijd die zij, voor hem gezien, te lang heeft gewacht. Dit geeft dan
$\gamma \frac{v^2}{c^2}L$.

\medskip
\noindent
(e) Wat is de lengte van de ladder, zoals de boer denkt dat hij zijn vrouw heeft zien meten?
(denk goed over deze vraag na, en overtuig uzelf dat u deze niet al heeft beantwoord in opgave (b)!).

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De boerin heeft een lengte $L$ gemeten, wat korter is dan de boer zelf meet
als lengte $L$ van zijn ladder. De vraag is hier wat de lengte is die de boer ziet dat zijn
vrouw gemeten heeft. Dit is \emph{niet} hetzelfde als de vraag wat de boerin gemeten heeft!
Stelt u zich voor dat de boerin haar gemeten lengte van de ladder, $L$ (een lorentzcontractie
kleiner dan wat de boer gemeten heeft als lengte van zijn ladder), weergeeft door twee streepjes
te zetten op de vloer van de schuur. De boer, die nog altijd voorbij rent met snelheid $v$,
bekijkt nu op zijn beurt de afstand tussen de twee streepjes en ziet deze afstand
{\sl lorentzgecontraheerd}. De boer denkt dus dat zijn vrouw een lengte $\frac{1}{\gamma}L$
gemeten heeft.

\medskip
\noindent
(f) Het is bij de lengte uit opgave (e) dat de boer denkt dat zijn vrouw de correctie van
opgave (d) zou moeten optellen. Doe deze correctie, en beargumenteer dat de paradox nu is opgelost.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Het is bij de lengte van (e) dat de boer denkt dat zijn vrouw de
correctie van (d) moet optellen: pas dan, zo beredeneert de boer in zijn stelsel,
heeft zij gecompenseerd voor het feit dat ze de voor en achterkant van de ladder
niet tegelijkertijd gemeten heeft. Als we deze correctie doen vinden we
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\gamma}L + \gamma \frac{v^2}{c^2}L
\end{eqnarray}
Of, alles uitgedrukt in de lengte $L'$ van de ladder zoals de boer hem zelf meet
in zijn stelsel (via $L = \gamma^{-1}L'$ ) is dit
\begin{eqnarray}
&=& \frac{1}{\gamma^2}L' + \frac{v^2}{c^2}L' \nonumber \\
&=& \left( 1- \frac{v^2}{c^2}+\frac{v^2}{c^2} \right) \nonumber \\
&=& L'
\end{eqnarray}
Dit is precies de lengte van de ladder zoals gemeten door de boer! Hieruit volgt, dat de
verwarring over de 'werkelijke' lengte van de ladder, puur veroorzaakt is door het feit
dat boer en boerin van mening verschillen over of de voor en achterkant van de ladder wel
netjes op hetzelfde moment gemeten zijn. Beide waarnemers hebben gelijk in hun eigen stelsel:
in dat van de boerin heeft zij wel degelijk voor en achterkant van ladder op hetzelfde moment
gemeten en is haar gevonden lengte dus correct; ook in het stelsel van de boer is de lengte
correct gemeten. Het verschil in antwoord komt er uit voort dat gelijktijdigheid voor de
boerin niet hetzelfde is als voor de boer, maar dat euvel wordt netjes opgelost door het
verschil in gelijktijdigheid te compenseren zoals we nu hebben gedaan in de stappen d) t/m f).
Geen paradox!

\vfill
\eject

\medskip
\noindent
{\sl OPGAVEN WEEK 7 - Oplossingen}\hfill Naam: \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

\bigskip

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 1:} Stel voor dat we leven op het oppervlak van een bol. We introduceren
de gebruikelijke sferische co\"ordinaten $(r, \theta , \phi )$ en laten
$(\hat{e}_r , \hat{e}_\theta , \hat{e}_\phi )$ de gebruikelijke set orthonormale
sferische basisvectoren zijn. Het lijnelement in sferische co\"ordinaten wordt
dan gegeven door
\begin{equation}
d\vec s = dr~\hat{e}_r + rd\theta ~\hat{e}_\theta + r\sin{\theta}d\phi ~ \hat{e}_\phi .
\end{equation}
We beperken ons nu tot het oppervlak van de bol en leggen de conditie
$r = {\rm constant}$ op. We kiezen de co\"ordinaten $(x^1, x^2) = (\theta , \phi )$
op het boloppervlak. Het lijnelement op het oppervlak van de bol kan in termen
van de {\sl natuurlijke basisvectoren} geschreven worden als
\begin{equation}
d\vec s = d\theta \vec e_\theta + d\phi \vec e_\phi ,~~~~{\rm met}~~~~
\vec e_\theta = r \hat{e}_\theta , ~\vec e_\phi =r\sin{\theta} ~\hat{e}_\phi .
\label{eq:bases}
\end{equation}
Met deze definitie wordt het kwadratische lijnelement gegeven door
\begin{equation}
ds^2 = (r d\theta )^2 + (r\sin{\theta}d\phi )^2.
\end{equation}

\medskip
\noindent
(a) In termen van sferische co\"ordinaten $(r, \theta , \phi )$ kunnen we
de positievector schrijven als
\begin{equation}
\vec r = r\sin{\theta}\cos{\phi} \vec i + r\sin{\theta}\sin{\phi} \vec j
+r \cos{\theta} \vec k .
\label{eq:r}
\end{equation}
De drie natuurlijke basisvectoren worden gegeven door
$\vec e_r = \partial \vec r / \partial r$,
$\vec e_\theta = \partial \vec r / \partial \theta$ en
$\vec e_\phi = \partial \vec r / \partial \phi$. Bepaal deze vectoren
en geef de lengte van elke vector. Merk op dat in het volgende
alleen de basisvectoren op het oppervlak, $\vec e_\theta$ en $\vec e_\phi$,
relevant zijn.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} We vinden de drie natuurlijke basisvectoren door afgeleiden
te nemen van vergelijking (\ref{eq:r}). Dit geeft
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\vec e_r & = & \partial \vec r / \partial r
= \sin{\theta}\cos{\phi} \vec i + \sin{\theta}\sin{\phi} \vec j + \cos{\theta} \vec k , \\
\vec e_\theta & = & \partial \vec r / \partial \theta
= r\cos{\theta}\cos{\phi} \vec i + r\cos{\theta}\sin{\phi} \vec j - r\sin{\theta} \vec k ,\\
\vec e_\phi & = & \partial \vec r / \partial \phi
= -r\sin{\theta}\sin{\phi} \vec i +r\sin{\theta}\cos{\phi} \vec j . \\
\end{array}
\label{eq:natbas}
\end{equation}
De lengte van deze vectoren zijn
$\vert \vec e_r \vert = 1$, $\vert \vec e_\theta \vert = r$ en $\vert \vec e_\phi \vert = r\sin{\theta}$.
De vectoren voldoen aan $\vec e_r \cdot \vec e_\theta = \vec e_\theta \cdot \vec e_\phi
=\vec e_\phi \cdot \vec e_r = 0$, en de co\"ordinaten zijn orthogonaal.

\medskip
\noindent
(b) Bepaal de metrische tensor en haar inverse.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} In een specifieke basis $\{ \vec e_\alpha \}$
heeft de metrische tensor componenten die gegeven zijn door
\begin{equation}
g_{\alpha \beta} = g(\vec e_\alpha ,\vec e_\beta) = \vec e_\alpha \cdot \vec e_\beta .
\end{equation}
Hiermee vinden we
\begin{equation}
g_{\alpha \beta} = \left(
\begin{array}{cc}
g_{\theta \theta} & g_{\theta \phi} \\
g_{\phi \theta} & g_{\phi \phi} \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
\vec e_\theta \cdot \vec e_\theta & \vec e_\theta \cdot \vec e_\phi \\
\vec e_\phi \cdot \vec e_\theta & \vec e_\phi \cdot \vec e_\phi \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
r^2 & 0 \\
0 & r^2\sin^2{\theta} \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
Voor de inverse metriek geldt
\begin{equation}
g^{\alpha \beta} = \left(
\begin{array}{cc}
1/r^{2} & 0 \\
0 & 1/r^{2}\sin^{2}{\theta} \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}

\medskip
\noindent
(c) Bereken alle Christoffelsymbolen $\Gamma_{ij}^k$ waarbij de indices
lopen over de verzameling $(\theta , \phi )$.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Vergelijking (303) uit het dictaat geeft de uitdrukking voor de
christoffelsymbolen in termen van de
parti\"ele afgeleiden van de componenten van $g$. Er geldt dus
\begin{equation}
\Gamma_{~\beta \mu}^\gamma = {1 \over 2} g^{\alpha \gamma}
(g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} -g_{\beta \mu, \alpha}) ,
\end{equation}
waarbij de indices lopen over de verzameling $\{ \theta , \phi \}$;
de komma stelt een parti\"ele afgeleide voor. Merk op dat de metrische
tensor en haar inverse diagonaal zijn, en dat de enige functionele
afhankelijkheid in de metriek gegeven wordt door $g_{\phi \phi}(\theta )$.
Dit betekent dat de christoffelsymbolen twee $\phi$'s en \'e\'en $\theta$
dienen te hebben om een resultaat te krijgen dat van nul verschilt.
Er geldt bijvoorbeeld
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\Gamma_{\theta \theta}^\theta & = & \Gamma_{\phi \phi}^\phi = 0 \\
\Gamma_{\phi \theta}^\theta  & = & \Gamma_{\theta \phi}^\theta =
{1 \over 2}g^{\theta \theta} \left( {\partial g_{\theta \phi} \over \partial \theta}
+ {\partial g_{\theta \theta} \over \partial \phi}
- {\partial g_{\phi \theta} \over \partial \theta} \right) = 0 \\
\Gamma_{\theta \theta}^\phi & = & {1 \over 2} g^{\phi \phi} \left(
{\partial g_{\phi \theta} \over \partial \theta}
+ {\partial g_{\phi \theta} \over \partial \theta}
- {\partial g_{\theta \theta} \over \partial \phi} \right) = 0 \\
\end{array}
\end{equation}
De van nul verschillende elementen worden berekend als
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\Gamma_{\phi \phi}^\theta & = & {1 \over 2} g^{\theta \theta} \left(
{\partial g_{\theta \phi} \over \partial \phi}
+{\partial g_{\theta \phi} \over \partial \phi}
-{\partial g_{\phi \phi} \over \partial \theta} \right) =
-{1 \over 2r^2}{\partial \over \partial \theta} \left( r^2 \sin^2{\theta} \right) \\
\Gamma_{\theta \phi}^\phi = \Gamma_{\phi \theta}^\phi & = & {1 \over 2} g^{\phi \phi} \left(
{\partial g_{\phi \theta} \over \partial \phi}
+{\partial g_{\phi \phi} \over \partial \theta}
-{\partial g_{\theta \phi} \over \partial \phi} \right) =
{1 \over 2r^2 \sin^2{\theta}}{\partial \over \partial \theta} \left( r^2 \sin^2{\theta} \right) \\
\end{array}
\end{equation}
De enige christoffelsymbolen op het oppervlak van de bol die niet gelijk zijn aan
nul, worden gegeven door
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\Gamma_{\phi \phi}^\theta & = & -\sin{\theta}\cos{\theta} \\
\Gamma_{\theta \phi}^\phi = \Gamma_{\phi \theta}^\phi & = &
{\cos{\theta} \over \sin{\theta}} \\
\end{array}
\label{eq:chris1}
\end{equation}

\medskip
\noindent
(d) Hoeveel onafhankelijke componenten heeft de Riemanntensor? Gebruik hierbij
de symmetrie-eigenschappen van dit object.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Omdat de Riemantensor antisymmetrisch is in zowel het eerste
als het tweede paar indices, moeten deze indices verschillen om een resultaat
te krijgen dat ongelijk aan nul is (bijvoorbeeld $R_{11kl} = -R_{11kl} = 0$).
Het enige element van de Riemanntensor dat van nul verschilt is hiermee
$R_{\theta \phi \theta \phi}$ (en ook de elementen die met de
symmetrie eigenschappen hieraan verbonden zijn).

\medskip
\noindent
(e) Bereken de componenten van de Riemanntensor.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Voor de Riemanntensor geldt
de definitie (340) uit het dictaat,
\begin{equation}
R_{~\alpha \mu \nu}^\beta = \left(
  {\partial \Gamma_{\alpha \nu}^\beta \over \partial x^\mu}
- {\partial \Gamma_{\alpha \mu}^\beta \over \partial x^\nu}
+ \Gamma_{\alpha \nu}^\gamma \Gamma_{\gamma \mu}^\beta
- \Gamma_{\alpha \mu}^\gamma \Gamma_{\gamma \nu}^\beta \right) .
\end{equation}
We halen de eerste index naar beneden met behulp van de metriek en er geldt
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
R_{\theta \phi \theta \phi} & = & g_{\theta \theta} R_{~\phi \theta \phi}^\theta
= r^2 \left[ \left( {\partial \over \partial \theta} \Gamma_{\phi \phi}^\theta
+ \Gamma_{\alpha \theta}^\theta \Gamma_{\phi \phi}^\alpha \right) -
\left( {\partial \over \partial \phi} \Gamma_{\phi \theta}^\theta
+\Gamma_{\alpha \phi}^\theta \Gamma_{\phi \theta}^\alpha \right) \right] \\
& & \\
& = & r^2 \left[ -{1 \over 2} {\partial \over \partial \theta} \sin{2\theta}
-(-\sin{\theta}\cos{\theta} ) {\cos{\theta} \over \sin{\theta}}\right]
= r^2 \left[ -\cos{2\theta} + \cos^2{\theta} \right] \\
& & \\
& = & r^2 \sin^2{\theta} . \\
\end{array}
\end{equation}
We vinden dus
\begin{equation}
R_{\theta \phi \theta \phi} = r^2 \sin^2{\theta} = R_{\phi \theta \phi \theta}
\end{equation}
op het oppervlak van de bol. We kunnen indices weer naar boven halen met
de metriek en er geldt
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
R_{~\phi \theta \phi}^\theta & = & g^{\theta \theta} R_{\theta \phi \theta \phi}
= {1 \over r^2} r^2 \sin^2{\theta} \sin^2{\theta} \\
R_{~\theta \phi \theta}^\phi & = & g^{\phi \phi} R_{\phi \theta \phi \theta}
= {1 \over r^2 \sin^2{\theta}} r^2 \sin^2{\theta} = 1 \\
\end{array}
\end{equation}

\medskip
\noindent
(f) Bereken de componenten van de Riccitensor.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De van nul verschillende elementen van de Riccitensor volgen
uit bovenstaande vergelijkingen as
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
R_{ij} & = & R_{~ikj}^k \\
R_{\phi \phi} & = & R_{~\phi \theta \phi}^\theta = \sin^2{\theta} \\
R_{\theta \theta} & = & R_{~\theta \phi \theta}^\phi = 1 \\
\end{array}
\end{equation}
op het oppervlak van een bol.

\medskip
\noindent
We kunnen indices weer naar boven halen met behulp van de metriek en vinden
\begin{equation}
R_{~\phi}^\phi = g^{\phi \phi} R_{\phi \phi} = {1 \over r^2} ~~~~{\rm en}~~~~
R_{~\theta}^\theta = g^{\theta \theta} R_{\theta \theta} = {1 \over r^2} .
\end{equation}

\medskip
\noindent
(g) Bereken de scalaire kromming (Riccikromming).

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De Riccikromming wordt gegeven door de som van deze twee
termen. We vinden
\begin{equation}
R = R_{~i}^i = {2 \over r^2}
\end{equation}
voor het oppervlak van een bol. Het oppervlak van een bol is een ruimte met
constante kromming, en de kromming gaat naar nul als de straal van de
bol naar oneindig gaat.

\medskip
\noindent
(h) Bereken de componenten van de Einsteintensor op het oppervlak van de bol.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De Einsteintensor is gelijk aan nul op het oppervlak van
een bol. Er geldt
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
G_{~\theta}^\theta & = & R_{~\theta}^\theta - {1 \over 2}R = 0 \\
G_{~\phi}^\phi & = & R_{~\phi}^\phi - {1 \over 2}R = 0 \\
\end{array}
\end{equation}
op het oppervlak van een bol.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 2:} In deze opgave testen we onze kennis van het berekenen van
covariante afgeleiden. We gebruiken de geometrie van het oppervlak van
een twee-dimensionale bol,
\begin{equation}
ds^2 = a^2 (d\theta^2 +\sin^2{\theta}d\phi^2 ) ,
\end{equation}
en een vector $\vec V$ met componenten $V^A = (0,1)$. Bereken de vier
componenten van $\nabla_A v^B$ en bereken dan de twee grootheden
$\nabla_\theta \nabla_\phi v^\theta$ en $\nabla_\phi \nabla_\theta v^\theta$
en onderzoek of deze covariante afgeleiden commuteren.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} We hebben allereerst de christoffelsymbolen nodig. De
enige die niet gelijk zijn aan nul, zijn
$\Gamma_{\phi \phi}^\theta = -\sin{\theta}\cos{\theta}$ en
$\Gamma_{\theta \phi}^\theta = \Gamma_{\phi \theta}^\theta = \cot{\theta}$.
De van nul verschillende afgeleiden van $\vec V$ zijn
$\nabla_\phi V^\theta = -\sin{\theta}\cos{\theta}$ en
$\nabla_\theta V^\phi = \cos{\theta}$. De gevraagde tweede afgeleiden zijn
$\nabla_\phi \nabla_\theta V^\theta = 0$ en
$\nabla_\theta \nabla_\phi V^\theta = \sin^2{\theta}$. We zien dat
covariante afgeleiden niet commuteren.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 3:} Bereken de componenten van de divergentie voor sferische
co\"ordinaten in de drie-dimensionale euclidische ruimte. Hint: voor de
covariante divergentie van vector $\vec V$ geldt $\nabla \cdot \vec V$ en
voor de componenten ervan $V_{~; i}^i$. Zie bladzijde 111 van het dictaat voor
een voorbeeld.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} De divergentie wordt gegeven door $V_{~; i}^i$. Er geldt
\begin{equation}
V_{~; i}^i = {\partial V^i \over \partial x^i} + \Gamma_{~j i}^i V^j =
{\partial V^r \over \partial r} + {\partial V^\theta \over \partial \theta}
+ {\partial V^\phi \over \partial \phi} + \Gamma_{~j i}^i V^j .
\label{eq:ub}
\end{equation}
De laatste term kunnen we uitschrijven en vinden
\begin{equation}
\Gamma_{~j i}^i V^j = \Gamma_{ri}^iV^r + \Gamma_{\theta i}^i V^\theta
+ \Gamma_{\phi i}^i V^\phi .
\end{equation}
Er geldt
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\Gamma_{ri}^i V^r & = &
( \underline{\Gamma_{rr}^r} + \Gamma_{r \theta}^\theta + \Gamma_{r \phi}^\phi ) V^r \\
\Gamma_{\theta i}^i V^\theta & = &
( \underline{\Gamma_{\theta r}^r} + \underline{\Gamma_{\theta \theta}^\theta} + \Gamma_{\theta \phi}^\phi ) V^\theta \\
\Gamma_{\phi i}^i V^\phi & = &
( \underline{\Gamma_{\phi r}^r} + \underline{\Gamma_{\phi \theta}^\theta} + \underline{\Gamma_{\phi \phi}^\phi} ) V^\phi \\
\end{array}
\end{equation}
De christoffelsymbolen die gelijk zijn aan nul worden aangeduid met een streep eronder.
We dienen de volgende christoffelsymbolen te berekenen:
$\Gamma_{r \theta}^\theta$, $\Gamma_{r \phi}^\phi$ en $\Gamma_{\theta \phi}^\phi$.
De laatste hebben we reeds berekend (zie vergelijking (\ref{eq:chris1})) en
er geldt $\Gamma_{\theta \phi}^\phi = {\cos{\theta} \over \sin{\theta}}$.
Verder volgt uit vergelijking (\ref{eq:natbas}) dat geldt
\begin{equation}
{\partial \vec e_r \over \partial \theta} =
\cos{\theta}\cos{\phi} \vec i + \cos{\theta} \sin{\phi} \vec j - \sin{\theta}\vec k
= {\vec e_\theta \over r} \rightarrow \Gamma_{r \theta}^\theta = {1 \over r}.
\end{equation}
Evenzo vinden we
\begin{equation}
{\partial \vec e_r \over \partial \phi} =
-\sin{\theta}\sin{\phi} \vec i + \sin{\theta} \cos{\phi} \vec j
= {\vec e_\phi \over r} \rightarrow \Gamma_{r \phi}^\phi = {1 \over r}.
\end{equation}
Invullen in vergelijking (\ref{eq:ub}) levert
\begin{equation}
V_{~; i}^i = {\partial V^i \over \partial x^i} + \Gamma_{~j i}^i V^j =
{\partial V^r \over \partial r} + {\partial V^\theta \over \partial \theta}
+ {\partial V^\phi \over \partial \phi} + {2 \over r}V^r + \cot{\theta} V^\theta .
\label{eq:tsja}
\end{equation}
Het zal de oplettende lezer opvallen dat dit niet lijkt op de `gebruikelijke'
uitdrukking voor de divergentie in sferische co\"ordinaten. De reden is
dat we de componenten $V^i$ van het vectorveld $\vec V$ uitgedrukt hebben in
een {\sl natuurlijke} basis, terwijl men de `gebruikelijke' uitdrukking
geeft in een {\sl orthonormale} basis. Het verband wordt gegeven
door vergelijking (\ref{eq:bases}). Merk op dat $\vec e_r = \hat{e}_r$.
Onze contravariante vector heeft componenten
\begin{equation}
V^r = {V^{\hat{r}} \over 1}, ~~~
V^\theta = {V^{\hat{\theta}} \over r}, ~~~{\rm en}~~~
V^\phi = {V^{\hat{\phi}} \over r\sin{\theta}}.
\end{equation}
Invullen in vergelijking (\ref{eq:tsja}) levert
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
V_{~; i}^i = {\rm div}{V} & = &
{\partial V^{\hat{r}} \over \partial r}
+ {\partial \over \partial \theta} \left( {V^{\hat{\theta}} \over r} \right)
+ {\partial \over \partial \phi} \left( {V^{\hat{\phi}} \over r\sin{\theta}} \right)
+ {2 \over r}V^{\hat{r}}
+ \cot{\theta} {V^{\hat{\theta}} \over r} \\ & = &
{\partial V^{\hat{r}} \over \partial r}
+ {1 \over r}{\partial V^{\hat{\theta}} \over \partial \theta}
+ {1 \over r\sin{\theta}} {\partial V^{\hat{\phi}} \over \partial \phi}
+ {2 \over r}V^{\hat{r}}
+ {\cot{\theta} \over r} V^{\hat{\theta}} \\ & = &
{1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \left( r^2 V^{\hat{r}} \right)
+ {1 \over r\sin{\theta}} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin{\theta} ~V^{\hat{\theta}} \right)
+ {1 \over r \sin{\theta}} {\partial V^{\hat{\phi}} \over \partial \phi} . \\
\end{array}
\end{equation}
Overigens kunnen we hiermee nu ook de uitdrukking voor de Laplace operator
$\nabla^2 \phi = \nabla \cdot \nabla \phi = {\rm div}~(\nabla \phi )$
vinden door in vergelijking (\ref{eq:tsja})
voor de contravariante vector $V^i$ de gradi\"ent van een
scalaire functie $\nabla \phi$ te gebruiken. Let er dan wel op dat de
gradi\"ent een 1-vorm is, terwijl we de vector-uitdrukking nodig
hebben. Voor de overgang gebruiken we dan weer de metrische tensor.
Verder moeten we de uitdrukking daarna in de orthonormale basis schrijven.

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 4:} Geef een afleiding van onderstaande uitdrukking voor de
christoffelsymbolen in termen van de parti\"ele afgeleiden van de componenten van
metrische tensor $g$,
\begin{equation}
\Gamma_{~\beta \mu}^\gamma = {1 \over 2} g^{\alpha \gamma}
(g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} -g_{\beta \mu, \alpha}) .
\end{equation}
Geef alle ontbrekende stappen tussen vergelijkingen (299) en (303) van het
dictaat.

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Er geldt
\begin{equation}
g_{\alpha \beta ; \mu} = g_{\alpha \beta , \mu}
- \Gamma_{~\alpha \mu}^\nu g_{\nu \beta} - \Gamma_{~\beta \mu}^\nu g_{\alpha \nu} ,
\label{eq:metrica}
\end{equation}
waarbij de indices algemene co\"ordinaten voorstellen. We hebben ook laten zien
dat $g_{\alpha \beta ; \mu} = 0$ in {\sl elk} co\"ordinatenstelsel en ook
in gekromde ruimtetijd. We vinden dus
\begin{equation}
g_{\alpha \beta , \mu} =
\Gamma_{~\alpha \mu}^\nu g_{\nu \beta} + \Gamma_{~\beta \mu}^\nu g_{\alpha \nu} .
\label{eq:metrica1}
\end{equation}
Verder geldt in elk co\"ordinatenstelsel
\begin{equation}
\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \equiv \Gamma_{~\beta \alpha}^\mu ,
\end{equation}
en we gebruiken dit om vergelijking (\ref{eq:metrica}) te inverteren.
We schrijven vergelijking (\ref{eq:metrica1}) in drie permutaties van
de indices,
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
g_{\alpha \beta , \mu} & = & \Gamma_{~\alpha \mu}^\nu g_{\nu \beta} + \Gamma_{~\beta \mu}^\nu g_{\alpha \nu}, \\
g_{\alpha \mu, \beta} & = & \Gamma_{~\alpha \beta}^\nu g_{\nu \mu} + \Gamma_{~\mu \beta}^\nu g_{\alpha \nu}, \\
-g_{\beta \mu, \alpha} & = & -\Gamma_{~\beta \alpha}^\nu g_{\nu \mu} - \Gamma_{~\mu \alpha}^\nu g_{\beta \nu}. \\
\end{array}
\end{equation}
We tellen deze op, groeperen termen, gebruiken de symmetrie $g_{\beta \nu} = g_{\nu \beta}$
en vinden
\begin{equation}
g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} - g_{\beta \mu, \alpha} =
(\Gamma_{~\alpha \mu}^\nu - \Gamma_{~\mu \alpha}^\nu ) g_{\nu \beta}
+ (\Gamma_{~\alpha \beta}^\nu - \Gamma_{~\beta \alpha}^\nu ) g_{\nu \mu}
+ (\Gamma_{~\beta \mu}^\nu + \Gamma_{~\mu \beta}^\nu ) g_{\alpha \nu}.
\end{equation}
In deze vergelijking vallen de eerste twee termen rechts weg vanwege de
symmetrie van $\Gamma$ en vinden we
\begin{equation}
g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} -g_{\beta \mu, \alpha} =
2 g_{\alpha \nu} \Gamma_{~\beta \mu}^\nu .
\end{equation}
Delen door 2, vermenigvuldigen met $g^{\alpha \gamma}$ (en sommeren over
$\alpha$), en gebruik maken van
$g^{\alpha \gamma} g_{\alpha \nu} \equiv \delta_{~\nu}^\gamma$ levert
\begin{equation}
\Gamma_{~\beta \mu}^\gamma = {1 \over 2} g^{\alpha \gamma}
(g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} -g_{\beta \mu, \alpha}) .
\label{eq:chrissietje}
\end{equation}

\bigskip
\noindent
{\bf Opgave 5:} Bewijs vergelijkiging (359) in het dictaat,
\begin{equation}
\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi = - {\bf R}(\_, \vec U, \vec \xi , \vec U ) ,
\label{eq:dev}
\end{equation}
met ${\bf R}$ de krommingstensor van Riemann en $\vec U$ de viersnelheid,
door uit te gaan van de definitie van de Riemanntensor gegeven in vergelijking (338),
\begin{equation}
A_{\alpha ; \mu \nu} - A_{\alpha ; \nu \mu}
=[ \nabla_\mu , \nabla_\nu ] A_\alpha \equiv
R_{~\alpha \mu \nu}^\beta A_{\beta} ,
\label{eq:riemann}
\end{equation}
met $A_\alpha$ de componenten van een willekeurige 1-vorm. (Dit is een
uitdagende opgave.)

\medskip
\noindent
{\sl Antwoord:} Vergelijking (\ref{eq:dev}) beschrijft de geodetische afwijking
en relateert de versnelling van de separatievector $\vec \xi$ tussen twee
naburige geodeten met de Riemann kromming. De separatie viervector $\vec \xi (\tau)$
verbindt een punt $x^\alpha (\tau )$ op een geodeet $A$ met een punt
$x^\alpha (\tau ) + \xi^\alpha (\tau)$  op een naburige geodeet $B$ op dezelfde
eigentijd $\tau$. Omdat er geen unieke manier is om de eigentijd op een
geodeet te relateren aan de eigentijd op een andere geodeet, zijn er veel
verschillende separatievectoren. De precieze keuze is niet belangrijk, zolang
het verschil tussen de nabijgelegen geodeten klein is en dus $\vec \xi$ klein is.

\medskip
\noindent
De separatie versnelling vormt de linkerkant van de vergelijking voor de
geodetische afwijking en wordt gegeven door
\begin{equation}
\vec w \equiv \nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi = \nabla_{\vec U} \vec v ,
\end{equation}
met $\vec U$ de viersnelheid van geodeet $A$ en $\vec v$ de snelheid van
separatie $\vec v \equiv \nabla_{\vec U} \vec \xi$. De componenten van $\vec w$
en $\vec v$ in de co\"ordinatenbasis kunnen we berekenen en we vinden
\begin{equation}
v^\alpha \equiv \left( \nabla_{\vec U} \vec \xi \right)^\alpha = U^\beta \nabla_\beta \xi^\alpha
= {d \xi^\alpha \over d\tau} + \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha U^\beta \xi^\gamma ,
\label{eq:2}
\end{equation}
\begin{equation}
w^\alpha \equiv \left( \nabla_{\vec U} \vec v \right)^\alpha = U^\beta \nabla_\beta v^\alpha
= {d v^\alpha \over d\tau} + \Gamma_{\delta \epsilon}^\alpha U^\delta v^\epsilon .
\label{eq:3}
\end{equation}
Merk op dat we uitdrukkingen als $U^\beta \left( \partial \xi^\alpha / \partial x^\beta \right)$
geschreven hebben als $d\xi^\alpha / d\tau$, omdat voor elke functie $f$ geldt
\begin{equation}
{df \over d\tau} = {df(x^\alpha (\tau )) \over d\tau}
= {\partial f \over \partial x^\alpha}{dx^\alpha \over d\tau}
= U^\alpha {\partial f \over \partial x^\alpha} .
\label{eq:4}
\end{equation}
De afleiding bestaat uit het berekenen van $w^\alpha$ door vergelijking
(\ref{eq:2}) in vergelijking (\ref{eq:3}) te substitueren en vervolgens
gebruik te maken van de geodetische vergelijking voor geodeten $A$ en $B$.
Invullen levert
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
w^\alpha & = & {d^2 \xi^\alpha \over d\tau^2} +{d \over d\tau} \left(
\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha U^\beta \xi^\gamma \right) + \Gamma_{\delta \epsilon}^\alpha
U^\delta \left( {d \xi^\epsilon \over d\tau} + \Gamma_{\beta \gamma}^\epsilon
U^\beta \xi^\gamma \right) \\
& = & {d^2 \xi^\alpha \over d\tau^2} + 2\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha
U^\beta {d\xi^\gamma \over d\tau} + {\partial \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha
\over \partial x^\delta} U^\delta U^\beta \xi^\gamma
+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha {dU^\beta \over d\tau} \xi^\gamma
+ \Gamma_{\delta \epsilon}^\alpha \Gamma_{\beta \gamma}^\epsilon
U^\beta U^\delta \xi^\gamma . \\
\end{array}
\label{eq:5}
\end{equation}
We hebben hierbij ook vergelijking (\ref{eq:4}) gebruikt, alsmede de vrijheid
om dummy indices te herlabelen om gelijke termen te groeperen, bijvoorbeeld
\begin{equation}
\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha U^\beta {d\xi^\gamma \over d\tau}
=\Gamma_{\delta \epsilon}^\alpha U^\delta {d\xi^\epsilon \over d\tau} .
\end{equation}
Om vergelijking (\ref{eq:5}) uit te rekenen, merken we op dat
$x^\alpha (\tau ) + \xi^\alpha (\tau )$ aan de geodetische
vergelijking, ${d^2 x^\alpha \over d\tau^2} = -\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha
{dx^\beta \over d\tau}{dx^\gamma \over d\tau}$, voldoet. Er geldt dus
\begin{equation}
{d^2 (x^\alpha + \xi^\alpha ) \over d\tau^2}
+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha (x^\delta +\xi^\delta )
{d(x^\beta+\xi^\beta )\over d\tau}{d(x^\gamma +\xi^\gamma ) \over d\tau} = 0.
\label{eq:7}
\end{equation}
Als $\xi$ naar nul gaat, dan gaat bovenstaande vergelijking over in de
geodetenvergelijking voor geodeet $A$. Omdat $\xi$ klein is, hoeven we
enkel de eerste-orde term van vergelijking (\ref{eq:7}) te bewaren in
een expansie in $\xi^\alpha$.
We gebruiken $U^\alpha = dx^\alpha / d\tau$, vergelijking (\ref{eq:4})
en de symmetrie-eigenschap $\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha = \Gamma_{\gamma \beta}^\alpha$
en vinden
\begin{equation}
{d^2\xi^\alpha \over d\tau^2}
+2\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha U^\beta {d\xi^\gamma \over d\tau}
+{\partial \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \over \partial x^\delta}
U^\beta U^\gamma \xi^\delta = 0.
\label{eq:8}
\end{equation}
We hebben weer de vrijheid genomen om dummy indices te herlabelen en
gelijke termen bij elkaar geplaatst.

\medskip
\noindent
We kunnen vergelijking (\ref{eq:8}) gebruiken om de tweede afgeleide
van $\xi^\alpha$ uit vergelijking (\ref{eq:5}) voor $w^\alpha$ te
elimineren.  We gebruiken de geodetenvergelijking om de afgeleide van
$U^\beta$ te elimineren. Het resultaat is
\begin{equation}
w^\alpha = -{\partial \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \over \partial x^\delta}
U^\beta U^\gamma \xi^\delta +{\partial \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha
\over \partial x^\delta}U^\beta U^\delta \xi^\gamma
-\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \Gamma_{\delta \epsilon}^\beta
U^\delta U^\epsilon \xi^\gamma + \Gamma_{\delta \epsilon}^\alpha
\Gamma_{\beta \gamma}^\epsilon U^\beta U^\delta \xi^\gamma .
\end{equation}
Alle termen met $d\xi^\alpha / d\tau$ vallen tegen elkaar weg.
We gebruiken weer de vrijheid om dummy indices te herlabelen en
we vinden een gemeenschappelijke factor $U^\beta \xi^\gamma U^\delta$
voor elke term. Het resultaat is
\begin{equation}
w^\alpha = - \left( {\partial \Gamma_{\beta \delta}^\alpha \over \partial x^\gamma}
-{\partial \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \over \partial x^\delta}
+ \Gamma_{\gamma \epsilon}^\alpha \Gamma_{\beta \delta}^\epsilon
-\Gamma_{\delta \epsilon}^\alpha \Gamma_{\beta \gamma}^\epsilon \right)
U^\beta \xi^\gamma U^\delta
\equiv
-R_{~\beta \gamma \delta}^\alpha U^\beta \xi^\gamma U^\delta .
\end{equation}

\vfill
\eject






