\section{Appendix - Lineaire algebra}\label{wi1}

\subsection{Vectorrekening over de re\" ele ruimte}\label{sec:vector}

\subsubsection{Scalaren en vectoren}

We onderscheiden
\begin{itemize}
\item{} {\sl scalaren} (of {\sl scalaire grootheden}): door een {\sl getal}
bepaalde grootheden, zoals massa en temperatuur.
\item{} {\sl vectoren}: door een {\sl richting} \` en een {\sl getal}
bepaalde grootheden, zoals snelheid en kracht. Dit getal heet de {\sl grootte}
of de {\sl absolute waarde} van de vector.
\end{itemize}

\noindent
{\sl Notaties}

$a, b, p, x$, $\sl etc.$ zijn {\sl scalaren}

{\bf A}, {\bf B}, $\vec A$, $\vec B$, {\bf x}, {\bf y},
\underline{x}, \underline{y} zijn {\sl vectoren}

$\vert {\bf A} \vert = A$ is de {\sl absolute waarde} van ${\bf A}$.

${\bf a}$ heet een {\sl eenheidsvector} als $\vert {\bf a} \vert = 1$.

${\bf A} \parallel {\bf B} $ betekent:
${\bf A}$ en ${\bf B}$ hebben dezelfde richting.
Er geldt dan ook ${\bf B} \parallel {\bf A}$.

${\bf A}$ en $-{\bf A}$ zijn vectoren met
gelijke grootte en tegengestelde richtingen.

\bigskip
\noindent
{\sl Opmerkingen}
\begin{itemize}
\item{} Vectoren kunnen door {\sl pijlen} gerepresenteerd worden.
Alle evenwijdige, gelijkgerichte, even lange pijlen stellen
\' e\' enzelfde `vrije' vector voor.
\item{} De {\sl nulvector} {\bf 0} is een vector met onbepaalde
richting en met grootte 0.
\item{} Uit ${\bf A} \parallel {\bf B}$ en
$A=B$ volgt ${\bf A} = {\bf B}$ en
omgekeerd.
\end{itemize}

\subsubsection{Product van een scalar en een vector}

Voor het product van een scalar en een vector geldt de volgende
definitie:

als $c>0$, dan $(c{\bf A}) \parallel {\bf A}$ en $\vert c{\bf A} \vert = cA$;

als $c<0$, dan $(c{\bf A}) \parallel -{\bf A}$ en $\vert c{\bf A} \vert = -cA$;

als $c=0$, dan $c{\bf A} = {\bf 0}$;

\noindent
met als gevolg dat wanneer ${\bf a}$ de eenheidsvector is in de richting
van ${\bf A}$ dan is ${\bf A} = A{\bf a}$.

\subsubsection{Som en verschil van vectoren}
 
Elke twee vectoren ${\bf A}$ en ${\bf B}$ hebben een som,
${\bf A} + {\bf B}$. Als het beginpunt van de pijl die {\bf B} representeert
samenvalt met het eindpunt van de pijl die ${\bf A}$ voorstelt, dan wordt
${\bf A} + {\bf B}$ gerepresenteerd door de pijl vanaf het beginpunt van
de ${\bf A}$-pijl naar het eindpunt van de ${\bf B}$-pijl. Dit wordt
weergegeven in Fig.~\ref{fig:vectorsom}.

\medskip
\noindent
Voor optellen van vectoren gelden de {\sl axioma's}
\begin{enumerate}
\item{} $\forall_{{\bf A},{\bf B}} [ {\bf A} + {\bf B} = {\bf B} + {\bf A} ]$
\hfill commutatieve eigenschap
\item{} $\forall_{{\bf A},{\bf B},{\bf C}} [ ({\bf A} + {\bf B}) + {\bf C} =
{\bf A} + ({\bf B} + {\bf C}) ]$
\hfill associatieve eigenschap
\item{} $\exists_{\bf 0} \forall_{\bf A} [ {\bf A} + {\bf 0} = {\bf A} ]$
\hfill ${\bf 0}$ heet het neutrale element
\item{} $\forall_{\bf A} \exists_{- \bf A} [ {\bf A} + (-{\bf A}) = {\bf 0} ]$
\hfill inversiteits eigenschap
\end{enumerate} 

\medskip
\noindent
Voor vermenigvuldigen van vectoren met scalaren gelden de {\sl axioma's}
\begin{enumerate}
\item{} $\forall_{p,q,{\bf A}} [ (p+q){\bf A} = p{\bf A} + q{\bf A} ]$
\hfill eerste distributieve eigenschap
\item{} $\forall_{p,{\bf A},{\bf B}} [ p({\bf A} + {\bf B}) = p{\bf A} + p{\bf B} ]$
\hfill tweede distributieve eigenschap
\item{} $\forall_{p,q,{\bf A}} [ p(q{\bf A}) = (pq){\bf A} ]$
\hfill associatieve eigenschap
\item{} $\forall_{\bf A} [ 1{\bf A} = {\bf A} ]$
\hfill neutraliteitseigenschap van het getal 1.
\end{enumerate} 

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{vectorsom}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Representatie van het optellen van twee vectoren {\bf A}
en {\bf B}. Het resultaat is de vector {\bf A+B}.}
\label{fig:vectorsom}
\end{figure}

\noindent
Verder geldt de definitie 

${\bf A} - {\bf B} = {\bf A} + (-{\bf B})$ en 
${\bf A} - {\bf B}$ heet het verschil van ${\bf A}$ en ${\bf B}$.

\subsubsection{Lineaire afhankelijkheid; ontbinden van vectoren, kentallen}

De som $p{\bf A} + q{\bf B}$ heet een lineaire combinatie van ${\bf A}$
en ${\bf B}$, terwijl $p{\bf A} + q{\bf B} + r{\bf C}$ een lineaire
combinatie heet van ${\bf A}$, ${\bf B}$ en ${\bf C}$.

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: een stelsel vectoren heet {\sl lineair onafhankelijk} als
geen van die vectoren gelijk is aan een lineaire combinatie van andere
vectoren uit dat stelsel.

\medskip
\noindent
{\sl Stelling}: ${\bf A}$, ${\bf B}$ en ${\bf C}$ zijn lineair onafhankelijk
dan en slechts dan als uit $p{\bf A} + q{\bf B} + r{\bf C} = {\bf 0}$ volgt
dat $p=q=r=0$.

\medskip
\noindent
Als ${\bf A} + {\bf B} = {\bf C}$, dan heten ${\bf A}$ en ${\bf B}$ de
componenten van ${\bf C}$ in de richtingen van ${\bf A}$ en ${\bf B}$.

\medskip
\noindent
Als ${\bf i}$, ${\bf j}$ en ${\bf k}$ de {\sl eenheidsvectoren} zijn in
de richtingen van de positieve $x$-, $y$- en $z$-as van een cartesiaans
co\" ordinatenstelsel, dan is
\begin{equation}
{\bf A} = A_1 {\bf i} + A_2 {\bf j} + A_3 {\bf k}.
\end{equation}

\noindent
Elke vector ${\bf A}$ is dus gelijk aan een lineaire combinatie van
de onderling lineair onafhankelijke vectoren ${\bf i}$, ${\bf j}$ 
en ${\bf k}$. De getallen $A_1$, $A_2$ en $A_3$ noemen we de {\sl kentallen}
van ${\bf A}$ ten opzichte van de {\sl basis} $\{ {\bf i}, {\bf j},{\bf k} \}$.

\begin{figure}[h]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/basis.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De vector ${\bf A}$ kan ontbonden worden in een lineaire combinatie van
de onderling lineair onafhankelijke vectoren ${\bf i}$ en ${\bf j}$ die een basis vormen.
Dit kan zowel in het co\"ordinatenstelsel $\{ x_J, y_J \}$ als in $\{x_M , y_M \}$.}
\label{fig:basis}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Blijkbaar geldt
\begin{enumerate}
\item{} ${\bf A} + {\bf B} = (A_1+B_1){\bf i} + (A_2 + B_2){\bf j}
+(A_3 + B_3){\bf k}$,
\item{} $c{\bf A} = cA_1{\bf i} + cA_2{\bf j} + cA_3{\bf k}$,
\item{} $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2}$.
\end{enumerate}

\subsubsection{Inwendig of scalair product van vectoren}

{\sl Definitie} 
\begin{equation}
{\bf A} \cdot {\bf B} \equiv A \cdot B \cdot \cos{\angle{({\bf A};{\bf B})}}
\end{equation}
Het {\sl inwendig product} van vectoren is dus een {\sl scalar}.

\noindent
Eigenschappen
\begin{enumerate}
\item{} $\forall_{{\bf A},{\bf B}} [ {\bf A} \cdot {\bf B} = {\bf B} \cdot {\bf A} ]$
\hfill commutatieve eigenschap
\item{} $\forall_{{\bf A},{\bf B},{\bf C}} [ {\bf A} \cdot ({\bf B} + {\bf C})
= {\bf A} \cdot {\bf B} + {\bf A} \cdot {\bf C} ]$
\hfill distributieve eigenschap
\end{enumerate}

\noindent
Uit de definitie volgt
\begin{equation}
{\bf A} \cdot {\bf A} = A^2~~~~{\rm en}~~~~{\bf A} \cdot {\bf B} = 0~~~~{\rm als}~~~
{\bf A} \perp {\bf B}.
\end{equation}

\noindent
Dus ook ${\bf i} \cdot {\bf i} = {\bf j} \cdot {\bf j} = {\bf k} \cdot {\bf k} =1$
en ${\bf i} \cdot {\bf j} = {\bf j} \cdot {\bf k} = {\bf k} \cdot {\bf i} =0$ en dus
\begin{equation}
{\bf A} \cdot {\bf B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3 = \sum_{i=1}^{3} A_iB_i.
\end{equation}
Merk op dat als ${\bf A} \cdot {\bf B} = 0$, dan is $A=0$ of $B=0$
of ${\bf A} \perp {\bf B}$.

\subsubsection{Voorbeelden}

\begin{enumerate}
\item{} Als ${\bf A} = 2{\bf i} -3{\bf j} + {\bf k}$, dan
is $A = \sqrt{ 2^2 +(-3)^2 + 1^2 } = \sqrt{14}$.

\item{} Gegeven: ${\bf A} = 2{\bf i} -3{\bf j} + {\bf k}$ en
${\bf B} = 5{\bf i} +{\bf j} -7{\bf k}$.

\noindent
Te bewijzen: ${\bf A} \perp {\bf B}$.

\medskip
\noindent
Bewijs: 
\begin{equation}
\begin{array}{rl}
{\bf A} \cdot {\bf B} & = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3 \\
& = 2\cdot 5 + (-3)\cdot 1 +1 \cdot (-7) \\
& = 10 -3 -7 = 0, \\
\end{array}  
\end{equation}
dus ${\bf A} \perp {\bf B}$.

\item{} Gegeven: ${\bf A} = 3{\bf i} -4{\bf j} + 5{\bf k}$ en
${\bf B} = {\bf i} +2{\bf j} -{\bf k}$.

\noindent
Te berekenen: $\cos{\angle{ ({\bf A};{\bf B}) }}$.

\medskip
\noindent
Oplossing:
\begin{equation}
\begin{array}{rl}
{\bf A} \cdot {\bf B} & = AB \cdot \cos{\angle{ ({\bf A};{\bf B}) }} \\
& = \sqrt{3^2 + (-4)^2 +5^2} \cdot \sqrt{ 1^2 + 2^2 +(-1)^2}
\cdot \cos{\angle{ ({\bf A};{\bf B}) }} \\
& = \sqrt{50} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos{\angle{ ({\bf A};{\bf B}) }}. \\
\end{array}  
\end{equation}
Verder geldt
\begin{equation}
{\bf A} \cdot {\bf B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3 = 3 -8 -5 = -10.
\end{equation}
Dus $10 \sqrt{3} \cdot \cos{\angle{ ({\bf A};{\bf B}) }} = -10$,
ofwel $\cos{\angle{ ({\bf A};{\bf B}) }} = -{1 \over 3} \sqrt{3}$.
\end{enumerate}

\vfill
\eject

\subsection{Lineaire ruimten en lineaire afbeeldingen}

\subsubsection{Lineaire ruimten}

Elke verzameling, waarbinnen de elementen `opgeteld' en `met een
scalar vermenigvuldigd' kunnen worden,
wordt een {\sl lineaire ruimte} ofwel een {\sl vectorruimte}
genoemd en de elementen ervan heten vectoren.

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: Een verzameling $L$ heet een {\sl lineaire ruimte}
over een getallenlichaam $K$ als geldt
\begin{itemize}
\item{} $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L} \exists !_{{\bf c} \in L} 
[ {\bf a} + {\bf b} = {\bf c} ]$
\item{} $\forall_{p \in K,{\bf a} \in L } \exists !_{b \in L}
[ p{\bf a} = {\bf b} ]$, 
\end{itemize}
terwijl de volgende acht axioma's gelden
\begin{enumerate}
\item{} $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L} [ {\bf a} + {\bf b} = {\bf b} + {\bf a} ]$
\item{} $\forall_{{\bf a},{\bf b},{\bf c} \in L} 
[ ({\bf a} + {\bf b}) + {\bf c}= {\bf a} + ({\bf b} + {\bf c}) ]$
\item{} $\exists_{{\bf 0} \in L} \forall_{{\bf a} \in L}
[ {\bf a} + {\bf 0} = {\bf a} ]$
\item{} $\forall_{{\bf a} \in L} \exists_{{- \bf a} \in L}
[ {\bf a} + (-{\bf a}) = {\bf 0} ]$
\item{} $\forall_{p,q \in K, {\bf a} \in L} 
[ (p+q){\bf a} = p{\bf a} + q{\bf a} ]$
\item{} $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L, p \in K} 
[ p({\bf a} + {\bf b}) = p{\bf a} + p{\bf b}$ 
\item{} $\forall_{p,q \in K, {\bf a} \in L} 
[ p(q{\bf a}) = (pq){\bf a} ]$
\item{} $\forall_{{\bf a} \in L} [ 1{\bf a} = {\bf a} ]$
\end{enumerate}
We hebben in hoofdstuk \ref{sec:vector} reeds gezien dat
vectoren aan bovenstaande axioma's voldoen. Hier bekijken
we een en ander op meer abstractie wijze en 
het getallenlichaam $K$ kan $K \in {\mathbb{R}}$, respectievelijk
$K \in {\mathbb{C}}$, zijn. Men spreekt dan van een {\sl re\" ele},
respectievelijk {\sl complexe}, vectorruimte $L$. In paragraaf \ref{sec:vector}
hebben we ons beperkt tot een discussie van re\" ele vectorruimten.
Ook in deze paragraaf beschouwen we enkel re\" ele vectorruimten.
Later zullen we de discussie uitbreiden tot complexe vectorruimten.
 
\subsubsection{Eigenschappen}

Als $L$ een lineaire ruimte is gelden de volgende

\noindent
{\sl Stellingen}
\begin{enumerate}
\item{} $\exists !_{{\bf 0} \in L} \forall_{{\bf a} \in L}
[ {\bf a} + {\bf 0} = {\bf a} ]$
\item{} $\forall_{{\bf a} \in L} \exists !_{{- \bf a} \in L}
[ {\bf a} + (-{\bf a}) = {\bf 0} ]$
\end{enumerate}
{\sl Definitie} ${\bf a} - {\bf b} \equiv {\bf a} + (-{\bf b})$

\noindent
{\sl Stellingen}
\begin{enumerate}
\item{} $\forall_{{\bf a},{\bf b},{\bf c} \in L} 
[ {\bf a} + {\bf b} = {\bf c} \Leftrightarrow {\bf a} = {\bf c} - {\bf b} ]$
\item{} $\forall_{{\bf a} \in L} [ 0{\bf a} = {\bf 0} ]$
\item{} $\forall_{{\bf a} \in L} [ (-1){\bf a} = -{\bf a} ]$
\item{} $\forall_{p \in {\mathbb{R}}} [ p{\bf 0} = {\bf 0} ]$
\end{enumerate}

\subsubsection{Lineaire onafhankelijkheid, basis, dimensie}

{\sl Definitie}: Een deelverzameling $S$ van een lineaire ruimte $L$
heet een {\sl onafhankelijke stelsel vectoren} als $S \neq \{ {\bf 0} \}$,
terwijl geen enkel element van $S$ gelijk is aan een lineaire combinatie
van andere elementen van $S$.

\medskip
\noindent
{\sl Stelling 1}: Als ${\bf 0} \in S$, dan is $S$ een afhankelijk
stelsel.

\medskip
\noindent
{\sl Stelling 2}: $S = \{ {\bf a}_1, .., {\bf a}_n \}$ is dan en 
slechts dan een onafhankelijk stelsel als uit
$\sum_{i=1}^n c_i {\bf a}_i = {\bf 0}$ volgt dat $c_i = 0$ voor
alle $i=1,..,n$.

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: $B$ heet een {\sl basis} van de lineaire ruimte $L$ als
\begin{enumerate}
\item{} $B \subset L$,
\item{} $B$ een onafhankelijk stelsel is,
\item{} elk element van $L$ gelijk is aan een lineaire combinatie van 
elementen van $B$.
\end{enumerate}
Als $B=\{ {\bf e}_1,..{\bf e}_n \}$ dan geldt
\begin{equation}
\forall_{{\bf a} \in L} \exists_{{\bf a}_1, .., {\bf a}_n \in {\mathbb{R}}}
\left[ {\bf a} = \sum_{i=1}^n a_i {\bf e}_i \right] .
\end{equation}
Deze getallen $a_1$ tot en met $a_n$ heten de {\sl kentallen} van ${\bf a}$
ten opzichte van de basis $B$. We noemen $({\bf i},{\bf j},{\bf k})$
`de' basis van $R_3$ van de drietallige getalgrepen.

\medskip
\noindent
{\sl Stelling 3}: Als de lineaire ruimte $L$ een basis heeft die uit
$n$ elementen bestaat, dan bestaat elke basis van $L$ uit $n$ elementen.

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: De {\sl dimensie} van $L$ is het aantal elementen 
van de basis van $L$.

\subsubsection{Inwendig product, norm en orthogonaliteit van vectoren}

{\sl Definitie}: Een {\sl inwendig product} binnen een vectorruimte $L$
is een afbeelding van $L \times L$ naar ${\mathbb{R}}$, waarvoor, als
$({\bf a}, {\bf b}) \in {\mathbb{R}}$ het aan ${\bf a} \in L$ en
${\bf b} \in L$ toegevoegde getal is, geldt
\begin{enumerate}
\item{} $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L} 
[ ({\bf a},{\bf b}) = ({\bf b}, {\bf a}) ]$
\item{} $\forall_{{\bf a},{\bf b},{\bf c} \in L} 
[ ({\bf a},{\bf b} + {\bf c} ) = ({\bf a},{\bf b})+({\bf a}, {\bf c}) ]$
\item{} $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L, p \in {\mathbb{R}}} 
[ (p{\bf a},{\bf b}) = p({\bf a}, {\bf b}) ]$
\item{} $\forall_{{\bf a} \in L} 
[ ({\bf a},{\bf a}) \geq 0 ]; ({\bf a},{\bf 0}) = 0$
\end{enumerate}
Het getal ${\bf A} \cdot {\bf B} = AB \cos{\angle{({\bf A};{\bf B})}}$
zullen we `het' inwendig product in $V_3$ noemen. Met `het' inwendig
product in ${\mathbb{R}}_n$ duiden we aan
\begin{equation}
({\bf a},{\bf b}) = (a_1, .., a_n) \left(
\begin{array}{ccccc}
b_1 \\
. \\
. \\
. \\
b_n \\
\end{array}
\right) = \sum_{i=1}^n a_i b_i .
\end{equation}
Dit inwendig product noteren we dus door de eerste vector als {\sl rijvector}
en de tweede als {\sl kolomvector} te schrijven.

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: De {\sl norm} $\vert {\bf a} \vert$ van de vector ${\bf a}$
is het getal $\sqrt{({\bf a},{\bf a})}$.

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: De vectoren ${\bf a}$ en ${\bf b}$ zijn {\sl onderling
orthogonaal} dan en slechts dan als $({\bf a},{\bf b}) = 0$.

\subsubsection{Lineaire afbeeldingen}

Een {\sl afbeelding} van de verzameling $A$ naar de verzameling $B$ is 
een relatie waarvan $A$ de originelenverzameling is en $B$ de 
beeldverzameling omvat, terwijl elk origineel \' e\' en beeld heeft
(een functie is dus een afbeelding).

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: Een afbeelding ${\mathcal{F}}$ van de lineaire ruimte
$L_1$ naar de lineaire ruimte $L_2$ heet een {\sl lineaire afbeelding}
als
\begin{enumerate}
\item{} $\forall_{{\bf a},{\bf b} \in L_1} 
[ {\mathcal{F}} ({\bf a} + {\bf b}) 
= {\mathcal{F}}({\bf a}) + {\mathcal{F}} ({\bf b}) ]$ en
\item{} $\forall_{{\bf a} \in L_1, p \in {\mathbb{R}}} 
[ {\mathcal{F}} (p{\bf a}) = p {\mathcal{F}}({\bf a}) ]$ .
\end{enumerate}
Merk op dat als $B = \{ {\bf e}_1,..,{\bf e}_n \}$ een basis is van $L$
dan is de afbeelding van $L$ naar ${\mathbb{R}}_n$, waarvoor geldt dat
het beeld van ${\bf a} = \sum_{i=1}^n a_i {\bf e}_i$ de `kentalvector'
$(a_1,..,a_n)$ is, een lineaire afbeelding.


\vfill
\eject

\subsection{Matrixrekening}\label{matrix}

\subsubsection{Matrices}
\label{sec:621}

Het stelsel van $k$ lineaire vergelijkingen met $n$ onbekenden 
$x_1$ tot en met $x_n$,
\begin{equation}
\begin{array}{ccccc}
a_{11}x_1 ~~+ & a_{12}x_2 ~~+ &... ~~+ & a_{1n}x_n = & b_1 \\
a_{21}x_1 ~~+ & a_{22}x_2 ~~+ &... ~~+ & a_{2n}x_n = & b_2 \\
. & & & . & . \\
. & & & . & . \\
. & & & . & . \\
a_{k1}x_1 ~~+ & a_{k2}x_2 ~~+ &... ~~+ & a_{kn}x_n = & b_k \\
\end{array}
\end{equation}
is volkomen gekarakteriseerd door de getalverzamelingen
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
. & & & . \\
. & & & . \\
. & & & . \\
a_{k1} & a_{k2} & ... & a_{kn} \\
\end{array}
\right) , \left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
. \\
. \\
. \\
x_n \\
\end{array}
\right) ~~~~{\rm en}~~~~ \left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
. \\
. \\
. \\
b_k \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}
Het eerste van deze getallenschema's heet een {\sl matrix van de orde k $\times$ n};
deze matrix bevat namelijk $k$ rijen en $n$ kolommen. De andere twee getalgroepen
zijn blijkbaar kolomvectoren, die ook opgevat kunnen worden als matrices van
de orde $n \times 1$, respectievelijk $k \times 1$.

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: Een matrix is een in rijen en kolommen gesorteerde
getalverzameling.

\medskip
\noindent
De getallen van die verzameling heten de {\sl elementen} van de matrix.
Ze worden bij voorkeur met twee indices genoteerd, waarvan de eerste
het rangnummer van de rij en de tweede dat van de kolom aangeeft.

\noindent
Als het aantal rijen $k$ en het aantal kolommen $n$ is dan heet
$k \times n$ de orde van de matrix. Als $k=n$ dan heet de matrix
een {\sl vierkante matrix} van de orde $n$ ofwel een $n \times n$
matrix.

\medskip
\noindent
De matrix met elementen $a_{ij}, (i=1, .., k; j=1, .., n)$ wordt
dan wel kortweg aangeduid met
\begin{equation}
{\bf A} = (a_{ij}), (k \times n).
\end{equation}

\medskip
\noindent
{\sl Opmerkingen}:
\begin{enumerate}
\item{} Elke rij van een matrix is op zichzelf beschouwd een rijvector
en elke kolom van de matrix een kolomvector.
\item{} ${\bf A} = {\bf B}$ betekent dat ${\bf A}$ en ${\bf B}$ van
dezelfde orde, $k \times n$, zijn en dat $a_{ij} = b_{ij}$ voor elke
$i = 1, .., k$ en elke $j=1, .., k$.
\end{enumerate}

\subsubsection{Determinant van een matrix}

De {\sl determinant} van de matrix ${\bf A} = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array} \right)$ is het getal
\begin{equation}
\vert {\bf A} \vert = {\rm det} ~{\bf A} = \left|
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right| = ad - bc.
\end{equation}

\medskip
\noindent
De {\sl ondermatrix} ${\bf A}_{ij}$ van de matrix ${\bf A}$ is de matrix
die ontstaat als uit ${\bf A}$ de $i^{\rm de}$ rij en de $j^{\rm de}$
kolom weggelaten worden.

\medskip
\noindent
{\sl Voorbeeld}: Als ${\bf A} = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 6 \\
1 & 9 & 2 \\
\end{array}
\right) $, dan is ${\bf A}_{21} = \left(
\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
9 & 2 \\
\end{array} \right)$.

\medskip
\noindent
De determinant van de vierkante matrix ${\bf A}, (n \times n)$
is het getal
\begin{equation}
{\rm det}~{\rm A} = \vert {\bf A} \vert =
\sum_{j=1}^n \left( -1 \right)^{i+j} a_{ij} \vert {\bf A}_{ij} \vert ,
(i=1, \ldots , n),
\end{equation}
en ook
\begin{equation}
{\rm det}~{\rm A} = \vert {\bf A} \vert =
\sum_{i=1}^n \left( -1 \right)^{i+j} a_{ij} \vert {\bf A}_{ij} \vert ,
(j=1, \ldots , n).
\end{equation}
Dit zijn de formules voor het {\sl ontwikkelen} van det ${\bf A}$ volgens
de $i^{\rm de}$ rij, respectievelijk volgens de $j^{\rm de}$ kolom.

\medskip
\noindent
{\sl Voorbeeld}: We ontwikkelen volgens de eerste rij.
\begin{equation}
\left|
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
-1 & 0 & 5 \\
2 & -3 & 1 \\
\end{array}
\right| = 1 \cdot \left|
\begin{array}{rr}
0 & 5 \\
-3 & 1 \\
\end{array}
\right| -2 \cdot \left|
\begin{array}{rr}
-1 & 5 \\
2 & 1 \\
\end{array}
\right| +3 \cdot \left|
\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
2 & -3 \\
\end{array} \right| = 15 + 22 + 9 = 46.
\end{equation}

\subsubsection{Product van een matrix met een kolomvector}

{\sl Definitie}: Het product van een $k \times n$-matrix ${\bf A}$ met
een $n$-dimensionale kolomvector ${\bf x}$ is gelijk aan de $k$-dimensionale
kolomvector ${\bf b}$ waarvan het $i^e$-element, $(i=1,..,k)$, gelijk
is aan het inwendig product van de $i^e$-rijvector van de matrix ${\bf A}$
met de kolomvector ${\bf x}$.

\medskip
\noindent
Dus als ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times n)$ en ${\bf x} = (x_i),(n \times 1)$,
dan is ${\bf b} = (b_i), (k\times 1)$, waarbij
$b_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, (i=1,..,k)$.

\medskip
\noindent
Het hele vergelijkingenstelsel van de paragraaf \ref{sec:621} kan dus genoteerd
worden als ${\bf Ax} = {\bf b}$.

\subsubsection{Matrix als transformatie-operator}

Als ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times n)$, dan definieert ${\bf Ax} = {\bf y}$
een afbeelding van ${\bf x}$ naar ${\mathbb{R}}_k$,
\begin{equation}
{\bf A}: x( \in {\mathbb{R}}_n) \rightarrow {\bf Ax}(={\bf y} \in {\mathbb{R}}_k).
\end{equation}
Deze afbeelding is blijkbaar een {\sl lineaire afbeelding}, want
\begin{enumerate}
\item{} $\forall_{{\bf x},{\bf y} \in {\mathbb{R}}_n}
[{\bf A}({\bf x} + {\bf y}) = {\bf Ax} + {\bf Ay} ]$ en
\item{} $\forall_{{\bf x} \in {\mathbb{R}}_n, p \in {\mathbb{C}}}
[{\bf A}(p{\bf x}) = p {\bf Ax} ]$.
\end{enumerate}

\medskip
\noindent
{\sl Stellingen}:
\begin{enumerate}
\item{} Als ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times n)$, terwijl 
$\{ {\bf e}_1, .., {\bf e}_n \}$ de basis van ${\mathbb{R}}_n$ is,
dan is ${\bf Ae}_i$ de $i^e$-kolomvector van ${\bf A}, (i=1,..,n)$.
\item{} Als $T$ een lineaire afbeelding is van ${\mathbb{R}}_n$
naar ${\mathbb{R}}_k$, dan bestaat er een matrix ${\bf A}, (k \times n)$,
zodanig , dat voor elke ${\bf x} \in {\mathbb{R}}_n$ geldt, dat het
beeld van ${\bf x}$ onder de transformatie $T$ (dus $T{\bf x}$) gelijk
is aan het product ${\bf Ax}$.

\noindent
Deze matrix ${\bf A}$ is de matrix waarvan de $i^e$-kolomvector,
$(i=1,..,n)$, het $T$-beeld van de $i^e$ basisvector ${\bf e}_i$
van ${\mathbb{R}}_n$ (dus $T{\bf e}_i$)
is. Deze ${\bf A}$ heet de {\sl transformatiematrix} van de
afbeelding $T$.
\end{enumerate}

\subsubsection{Som van matrices}

Als ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times n)$ en ${\bf B} = (b_{ij}),(k \times n)$, 
dan is de afbeelding ${\bf C}$ die aan ${\bf x} \in {\mathbb{R}}_n$ als
beeld toevoegt ${\bf Cx} = {\bf Ax} + {\bf Bx}$ een lineaire
afbeelding. De transformatiematrix van deze afbeelding is
\begin{equation}
{\bf C} = (c_{ij}),(k \times n),~~~~{\rm met}~~~~
c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, (i=1,..,k;j=1,..,n).
\end{equation}
Deze matrix ${\bf C}$ noemen we de {\sl som} van matrices ${\bf A}$
en ${\bf B}$. Merk op dat enkel matrices van gelijke orde een som hebben.
De vermenigvuldiging met een kolomvector is distributief ten opzichte
van matrixoptelling. Bovendien is matrixoptelling commutatief en
associatief. 

\medskip
\noindent
{\sl Voorbeeld}: Als 
${\bf A} = \left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
\end{array}
\right) $ en 
${\bf B} = \left(
\begin{array}{rrr}
2 & 3 & 0 \\
-1 & 2 & 5 \\
\end{array}
\right) $, dan
\begin{equation}
{\bf A} + {\bf B} = \left( 
\begin{array}{rrr}
1+2 & 2+3 & 3+0 \\
0 +(-1) & 1+2 & 4+5 \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{rrr}
3 & 5 & 3 \\
-1 & 3 & 9 \\
\end{array}
\right)
\end{equation}
en
\begin{equation}
{\bf A} - {\bf B} = \left( 
\begin{array}{rrr}
1-2 & 2-3 & 3-0 \\
0 -(-1) & 1-2 & 4-5 \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{rrr}
-1 & -1 & 3 \\
1 & -1 & -1 \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}

\subsubsection{Product van scalar met matrix}

Als ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times n)$, dan is 
${\bf A} + {\bf A} = (a_{ij} + a_{ij}) = (2a_{ij})$. Deze matrix
van orde $k \times n$ noemen we $2{\bf A}$. Analoog kan het
product van een matrix met een willekeurige scalar gedefinieerd
worden als
\begin{equation}
p{\bf A} = (pa_{ij}).
\end{equation}
Zowel ten opzichte van optellen van matrices als van scalaren is
deze vermenigvuldiging distributief,
$(p+q){\bf A} = p{\bf A} + q{\bf A}$ en 
$p({\bf A} + {\bf B}) = p{\bf A} + p{\bf B}$. Bovendien geldt
de associatieve eigenschap $(pq){\bf A} = p(q{\bf A})$, terwijl
kennelijk $1{\bf A} = {\bf A}$.

\medskip
\noindent
Samenvattend concluderen we dat de verzameling van matrices
van een bepaalde orde een lineaire ruimte is. 

\subsubsection{Product van matrices}

{\sl Definitie}: Het product ${\bf AB} = {\bf C}$ van de matrix
${\bf A} = (a_{ij}),(k \times m)$ met de matrix 
${\bf B} = (b_{ij}),(m \times n)$, is de matrix
${\bf C} = (c_{ij}),(k \times n)$, waarvan 
\begin{equation}
c_{ij} = \sum_{h=1}^m a_{ih}b_{hj}, (i=1,..,k;j=1,..,n).
\end{equation}
Het element $c_{ij}$ van ${\bf C}$ is dus gelijk aan het inwendig
product van de $i^e$ rijvector van ${\bf A}$ met de $j^e$ kolomvector
van ${\bf B}$.

\medskip
\noindent
{\sl Voorbeeld}: Als 
${\bf A} = \left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1 \\
4 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right) $ en 
${\bf B} = \left(
\begin{array}{rr}
3 & -4 \\
1 & 5 \\
-2 & 2 \\
\end{array}
\right) $, dan
\begin{equation}
{\bf A}{\bf B} = \left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1 \\
4 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{rr}
3 & -4 \\
1 & 5 \\
-2 & 2 \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{rr}
1(3)+2(1)+1(-2) & 1(-4) + 2(5) +1(2) \\
4(3) + 0(1) + 2(-2) & 4(-4) + 0(5) +2(2) \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{rr}
3 & 8 \\
8 & -12 \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}

\medskip
\noindent
{\sl Opmerkingen}
\begin{enumerate}
\item{} De vermenigvuldiging van een matrix met een kolomvector is
een bijzonder geval van deze matrixvermenigvuldiging: een kolomvector
is immers een matrix van de orde $m \times 1$.
\item{} Het product ${\bf AB}$ bestaat slechts dan als het aantal
kolommen van ${\bf A}$ gelijk is aan het aantal rijen van ${\bf B}$.
\end{enumerate}
Matrix vermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, 
${\bf AB} \neq {\bf BA}$. Het verschil tussen deze twee volgordes noemen
we de {\sl commutator},
\begin{equation}
[ {\bf A}, {\bf B} ] \equiv {\bf AB} - {\bf BA} .
\end{equation}
Tenslotte merken we op dat matrixvermenigvuldiging wel associatief is
($({\bf AB}){\bf C} = {\bf A}({\bf BC}) = {\bf ABC}$)
en distributief ($({\bf A} + {\bf B}){\bf C} = {\bf AC} + {\bf BC}$
en ${\bf A}({\bf B} + {\bf C}) = {\bf AB} + {\bf AC}$).
   
\subsubsection{Diagonale matrices}

Onder de {\sl hoofddiagonaal} van een vierkante matrix ${\bf A} = (a_{ij})$
van de $n$-de orde verstaan we de getallenrij $(a_{11}, a_{22}, ..,a_{nn})$.
Een {\sl diagonale matrix} is een vierkante matrix ${\bf A} = (a_{ij})$,
waarvoor geldt, dat $a_{ij} = 0$ als $i \neq j$, terwijl er minstens \' e\' en
$i$ is waarvoor $a_{ii} \neq 0$. Alleen in de hoofddiagonaal staan dus
elementen die ongelijk nul zijn.

\medskip
\noindent
Als ${\bf P}$ een diagonale matrix is waarvan alle diagonaalelementen gelijk
aan $p$ zijn en ${\bf B}$ een zodanige matrix is, dat ${\bf PB}$, 
respectievelijk ${\bf BP}$ bestaat, dan is volgens de definitie van
matrixvermenigvuldiging en vermenigvuldigen met een scalar
\begin{equation}
{\bf PB} = p{\bf B}, ~~~~{\rm respectievelijk}~~~~ {\bf BP} = p{\bf B}.
\end{equation}
Een diagonale matrix, waarvan alle diagonaaltermen onderling gelijk zijn
heet daarom een {\sl scalaire matrix}. Een scalaire matrix, waarvan
alle diagonaaltermen gelijk zijn aan 1 wordt aangeduid met de letter ${\bf I}$.
Zo een {\sl eenheidsmatrix} {\bf I} is {\sl neutraal element} ten opzichte
van matrixvermenigvuldiging.

\subsubsection{Geadjugeerde en inverse matrices}

{\sl Definitie}: De {\sl geadjugeerde} matrix adj 
${\bf A} = (\alpha_{ij}),(n \times n)$,
van de matrix ${\bf A} = (a_{ij}), (n \times n)$, is de matrix, waarvan het
algemene element gelijk is aan
$\alpha_{ij} = \left( -1 \right)^{i+j} \vert {\bf A}_{ji} \vert$.

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: Als ${\bf AB} = {\bf I}$, dan heet ${\bf B}$ een
{\sl rechterinverse} van ${\bf A}$ en ${\bf A}$ een {\sl linkerinverse}
van ${\bf B}$.

\medskip
\noindent
{\sl Voorbeeld}: Omdat
$\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{rrr}
6 & -2 & -3 \\
-1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) = {\bf I}$, is iedere matrix in het product de inverse van de ander.

\medskip
\noindent
{\sl Stelling 1}: Als ${\bf A}$ een $(k \times n)$-matrix is, 
${\bf AB} = {\bf I}_{k \times k}$ en ${\bf CA} = {\bf I}_{n \times n}$,
dan ${\bf B} = {\bf C},(n \times k)$. 

\noindent
Bewijs: ${\bf B} = {\bf I}_{n \times n}{\bf B} = ({\bf CA}){\bf B} = {\bf C}({\bf AB})
= {\bf C}{\bf I}_{k \times k} = {\bf C}$. 

\medskip
\noindent
{\sl Stelling 2}: Als ${\bf AB} = {\bf I}$ en ${\bf BA} = {\bf I}$, dan is
${\bf A}$ vierkant.
 
\noindent
Bewijs: Als ${\bf A} = (a_{ij}),(k \times n)$, dan
${\bf B} = (b_{ij}),(n \times k)$, ${\bf AB} = {\bf I}, (k \times k)$,
en ${\bf BA} = {\bf I}, (n \times n)$.

\noindent
De som van de diagonaalelementen van respectievelijk ${\bf AB}$ en ${\bf BA}$
is dan
$k = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$ en
$n = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^k a_{ij}b_{ji}$, dus $n=k$.

\medskip
\noindent
{\sl Definitie}: Als ${\bf AB} = {\bf BA} = {\bf I}$ dan heten ${\bf A}$
en ${\bf B}$ elkaars {\sl inverse matrix}: ${\bf A} = {\bf B}^{-1}$ en
${\bf B} = {\bf A}^{-1}$.

\noindent
Een matrix die een inverse heeft heet {\sl regulier}, terwijl een matrix
die geen inverse heeft {\sl singulier} heet. Iedere reguliere matrix is
vierkant. Als ${\bf A}$ regulier is dan heeft ${\bf Ax} = {\bf b}$ juist
\' e\' en oplossing, namelijk ${\bf x} = {\bf A}^{-1}{\bf b}$.

\medskip
\noindent
Door gebruik te maken van de definities van de determinant, kan men
laten zien dat
\begin{equation}
{\bf A}({\rm adj}~{\bf A}) = ({\rm adj}~{\bf A}){\bf A} 
= ({\rm det}~{\bf A}){\bf I},
\end{equation}
dus als det ${\bf A} \neq 0$ en 
${\bf B} = {{\rm adj}~{\bf A} \over {\rm det}~{\bf A}}$, dan
${\bf AB} = {\bf BA} = {\bf I}$. We vinden dus dat als det ${\bf A} \neq 0$,
dan is ${\bf A}$ regulier en 
${\bf A}^{-1} = {{\rm adj}~{\bf A} \over {\rm det}~{\bf A}}$.

\medskip
\noindent
Een matrix is dan en slechts dan regulier als zijn determinant ongelijk
is aan nul. Een vierkante matrix is dan en slechts dan singulier als zijn
determinant gelijk is aan nul.

\medskip
\noindent
{\sl Voorbeeld}: Als ${\bf A} = \left(
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 4 \\
-3 & 1 & 2 \\
5 & 4 & -3 \\
\end{array}
\right)$, dan
\begin{equation}
\vert {\bf A} \vert = \left|
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 4 \\
-3 & 1 & 2 \\
5 & 4 & -3 \\
\end{array}
\right| = 1 \left|
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
4 & -3 \\
\end{array}
\right| -(-2) \left|
\begin{array}{rr}
-3 & 2 \\
5 & -3 \\
\end{array}
\right| +(4) \left|
\begin{array}{rr}
-3 & 1 \\
5 & 4 \\
\end{array}
\right| = -81,
\end{equation}
terwijl
\begin{equation}
\vert {\bf A}_{11} \vert = \left|
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
4 & -3 \\
\end{array}
\right| = -11, ~~~~
\vert {\bf A}_{12} \vert = \left|
\begin{array}{rr}
-3 & 2 \\
5 & -3 \\
\end{array}
\right| = -1, ~~~~
\vert {\bf A}_{13} \vert = \left|
\begin{array}{rr}
-3 & 1 \\
5 & 4 \\
\end{array}
\right| = -17,
\end{equation}
\begin{equation}
\vert {\bf A}_{21} \vert = \left|
\begin{array}{rr}
-2 & 4 \\
4 & -3 \\
\end{array}
\right| = -10, ~~~~
\vert {\bf A}_{22} \vert = \left|
\begin{array}{rr}
1 & 4 \\
5 & -3 \\
\end{array}
\right| = -23, ~~~~
\vert {\bf A}_{23} \vert = \left|
\begin{array}{rr}
1 & -2 \\
5 & 4 \\
\end{array}
\right| = 14,
\end{equation}
\begin{equation}
\vert {\bf A}_{31} \vert = \left|
\begin{array}{rr}
-2 & 4 \\
1 & 2 \\
\end{array}
\right| = -8, ~~~~
\vert {\bf A}_{32} \vert = \left|
\begin{array}{rr}
1 & 4 \\
-3 & 2 \\
\end{array}
\right| = 14, ~~~~
\vert {\bf A}_{33} \vert = \left|
\begin{array}{rr}
1 & -2 \\
-3 & 1 \\
\end{array}
\right| = -5,
\end{equation}
zodat
\begin{equation}
{\rm adj}~{\bf A} = \left(
\begin{array}{rrr}
-11 & 10 & -8 \\
1 & -23 & -14 \\
-17 & -14 & -5 \\
\end{array}
\right) ,~~~~{\rm dus}~~~~
{\bf A}^{-1} = {1 \over 81} \left(
\begin{array}{rrr}
11 & -10 & 8 \\
-1 & 23 & 14 \\
17 & 14 & 5 \\
\end{array}
\right) .
\end{equation}

\subsubsection{De getransponeerde van een matrix; symmetrische en alternerende matrices}

Als ${\bf A} = (a_{ij})$ een $(k \times n)$-matrix is en
${\bf B} = (b_{ij})$ een $(n \times k)$-matrix, terwijl $b_{ij} = a_{ji}$
voor elke $i=1,..,n$ en elke $j=1,..,k$, dan heten ${\bf A}$ en ${\bf B}$
elkaars {\sl getransponeerde}, ${\bf B} = {\bf A}^{\rm T}$ en
${\bf A} = {\bf B}^{\rm T}$.

\medskip
\noindent
{\sl Voorbeeld}: De getransponeerde van ${\bf A} = \left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{array}
\right) $ is ${\bf A}^{\rm T} = \left(
\begin{array}{rr}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6 \\
\end{array}
\right) $.

\medskip
\noindent
\begin{enumerate}
\item{} De getransponeerde van een vierkante matrix wordt dus verkregen door
die matrix te `spiegelen ten opzichte van de hoofddiagonaal'.
\item{} De getransponeerde van een kolomvector is een rijvector en omgekeerd.
\end{enumerate}

\medskip
\noindent
{\sl Stellingen}: 
\begin{enumerate}
\item{} $({\bf A}^{\rm T})^{\rm T} = {\bf A}$.
\item{} $({\bf A} + {\bf B})^{\rm T} = {\bf A}^{\rm T} + {\bf B}^{\rm T}$.
\item{} $({\bf AB})^{\rm T} = {\bf B}^{\rm T} {\bf A}^{\rm T}$.
\item{} Als ${\bf x}$ een kolomvector is dan is 
${\bf x}^{\rm T}{\bf x} = \vert {\bf x} \vert^2$.
\end{enumerate}

\medskip
\noindent
{\sl Definities}: ${\bf A}$ heet een {\sl symmetrische matrix} als 
${\bf A} = {\bf A}^{\rm T}$.

\noindent 
${\bf A}$ heet een {\sl alternerende} ({\sl anti-symmetrische}
of {\sl scheefsymmetrische}) matrix als ${\bf A}^{\rm T} = - {\bf A}$.

\medskip
\noindent
{\sl Voorbeeld}: De matrix ${\bf A} = \left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & -5 \\
3 & -5 & 6 \\
\end{array}
\right) $ is symmetrisch, terwijl de matrix ${\bf A} = \left(
\begin{array}{rrr}
0 & -2 & 3 \\
2 & 0 & 4 \\
-3 & -4 & 0 \\
\end{array}
\right) .$ anti-symmetrisch is.

\subsubsection{Orthogonale matrices}

{\sl Definitie}: De matrix ${\bf A}$ heet {\sl orthogonaal} als
${\bf AA}^{\rm T} = {\bf A}^{\rm T}{\bf A} = {\bf I}$,
dus als ${\bf A}^{\rm T} = {\bf A}^{-1}$.

\medskip
\noindent
{\sl Stelling 1}: Een orthogonale matrix is een matrix waarvan
de rijvectoren zowel als de kolomvectoren een {\sl orthonormaal}
stelsel vormen (dit wil zeggen dat elke twee onderling verschillende
rijvectoren, respectievelijk kolomvectoren, onderling
orthogonaal zijn, terwijl al die vectoren de norm 1 hebben.

\medskip
\noindent
{\sl Stelling 2}: Als ${\bf A}$ orthogonaal is, dan geldt voor
elke ${\bf x}$ (van de juiste dimensie) dat 
$\vert {\bf Ax} \vert = \vert {\bf x} \vert$.

\noindent
We concluderen dat de norm van een vector invariant is voor een 
transformatie waarvan de transformatiematrix orthogonaal is. Het 
omgekeerde van deze stelling geldt ook: als voor een lineaire
afbeelding de norm invariant is, dan is de transformatiematrix
orthogonaal.

\medskip
\noindent
Bewijs: $\vert {\bf Ax} \vert^2 = ({\bf Ax})^{\rm T} ({\bf Ax}) 
= ({\bf x}^{\rm T} {\bf A}^{\rm T} )({\bf Ax})
= {\bf x}^{\rm T} ( {\bf A}^{\rm T} {\bf A} ) {\bf x} 
= {\bf x}^{\rm T} {\bf I} {\bf x} = {\bf x}^{\rm T}{\bf x} 
= \vert {\bf x} \vert^2$.

\medskip
\noindent
{\sl Voorbeeld}: De lineaire transformatie ${\bf y} = {\bf Ax} =
\left(
\begin{array}{rrr}
{1 \over \sqrt{3}} & {1 \over \sqrt{6}} & -{1 \over \sqrt{2}} \\
{1 \over \sqrt{3}} & -{2 \over \sqrt{6}} & 0 \\
{1 \over \sqrt{3}} & {1 \over \sqrt{6}} & {1 \over \sqrt{2}} \\
\end{array}
\right) {\bf x}$ is orthogonaal. Het beeld van ${\bf x} = (a,b,c)$
is ${\bf y} = \left( 
{a \over \sqrt{3}} + {b \over \sqrt{6}} - {c \over \sqrt{2}},
{a \over \sqrt{3}} - {2b \over \sqrt{6}},
{a \over \sqrt{3}} + {b \over \sqrt{6}} + {c \over \sqrt{2}} \right)$
en beide vectoren hebben lengte $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
\vfill
\eject
$~$
\vfill
\eject
