\appendix
\section{Appendix - Meetkunde}\label{appendixa}

Het begrip differentieerbare vari\"eteit komt voort uit het werk van
Gauss en Riemann. In de `Elementen' van Euclides wordt de meetkunde
opgebouwd uitgaande van postulaten en axioma's. E\'en van deze postulaten,
het vijfde, lijkt minder vanzelfsprekend dan de overige, en men heeft
in de loop der eeuwen gepoogd dit postulaat te bewijzen met behulp van de
andere postulaten. Het vijfde postulaat stelt het volgende: laat $l_1$ en
$l_2$ rechten zijn die de rechte $l$ snijden met hoeken $\beta$ en $\alpha$,
dan impliceert $\alpha + \beta < 180^\circ$ dat $l_1$ en $l_2$ elkaar
snijden, aan die kant van de rechte $l$ waar ook de hoeken $\beta$ en $\alpha$
liggen. Er is een aantal equivalente formuleringen van het vijfde postulaat.
Twee ervan luiden als volgt:
\begin{itemize}
\item{} Door een punt $P$ buiten een rechte $l$ is precies \' e\' en rechte te
trekken die $l$ niet snijdt (parallellenpostulaat).
\item{} De som van de hoeken van een driehoek is $180^\circ$.
\end{itemize}
De pogingen om het parallellenpostulaat te bewijzen uit de overige faalden alle
en gaandeweg kwam met tot het inzicht dat meetkunde waarbij het parallellenpostulaat
niet geldig is tot de logische mogelijkheden behoort. Een dergelijke meetkunde
heet een niet-euclidische meetkunde.

\subsection{Niet-euclidische meetkunde}

Uit brieven blijkt dat C.F. Gauss (1777 - 1855) al in 1824 een vergaand
inzicht in de niet-euclidische meetkunde had. Hij maakte dit echter niet
publiek omdat hij hiervan teveel opschudding verwachtte. De niet-euclidische meetkunde
werd ook onafhankelijk door J. Bolyai (1802 - 1860) en N.I. Lobachevski (1793 - 1856)
geformuleerd.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/curve.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{De raakvector in een punt van een kromme. Voor $\Delta \lambda \rightarrow 0$
naders ${\Delta \vec r \over \Delta \lambda}$ tot de raakvector.}
\label{fig:curve}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:curve} toont dat
een kromme is voor te stellen door de vergelijking $\vec r =  \vec r(\lambda )$,
met $\lambda$ de {\sl parameter} van de kromme. Voor de componenten $(x, y, z)$ van
de vector $\vec r$ geldt $x = x(\lambda )$, $y = y(\lambda )$ en $z = z(\lambda )$.
Een raakvector aan de kromme wordt gegeven door
\begin{equation}
{d\vec r \over d\lambda} = \lim_{\Delta \lambda \rightarrow 0}
{\vec r(\lambda + \Delta \lambda ) - \vec r (\lambda ) \over \Delta \lambda}.
\end{equation}
De booglengte langs de kromme tussen de punten $\vec r(\lambda_1)$ en $\vec r(\lambda_2)$
wordt gegeven door
\begin{equation}
s \equiv \int_{\vec r(\lambda_1)}^{\vec r(\lambda_2)} \left| d\vec r \right| =
\int_{\lambda_2}^{\lambda_1} \left| {d\vec r \over d\lambda} \right| d\lambda =
\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \sqrt{ {d\vec r \over d\lambda}\cdot{d\vec r \over d\lambda}} d\lambda .
\end{equation}
De booglengte $s$ tot een vast punt op de kromme is ook te gebruiken als parameter
in plaats van $\lambda$, immer $s = s(\lambda )$. Men schrijft $\vec r = \vec r(s)$,
en de raakvector is dan
\begin{equation}
\vec t \equiv {d\vec r \over ds}.
\end{equation}
Merk op dat dit een eenheidsvector is, $\vec t \cdot \vec t = {d\vec r \over ds} \cdot
{d\vec r \over ds} =1$, omdat $(ds)^2 = d\vec r \cdot d\vec r$.
Uit $\vec t \cdot \vec t = 1$ volgt door differentiatie naar $s$, dat $\vec t \cdot \dot{\vec t} = 0$,
zodat $\dot{\vec t} = {d\vec t \over ds}$ loodrecht op $\vec t$, dus op de raaklijn staat.
De hoofdnormaal $\vec n$ is per definitie de eenheidsvector in de richting van
$\dot{\vec t}$, dus
\begin{equation}
\dot{\vec t} = \kappa \vec n~~~~~~~~~~{\rm met~\kappa = \kappa (s)}.
\label{eq:tpunt}
\end{equation}
Uit het bovenstaande volgt $\vec t \cdot \vec n = 0$ en uit vergelijking (\ref{eq:tpunt})
met $\vec n^2 = 1$, dat $\kappa = \left| \dot{\vec t} \right|$, waarbij $\kappa$ de
{\sl kromming} van de curve is. Tenslotte wordt de binormaal $\vec b$ gedefinieerd door
\begin{equation}
\vec b = \vec t \times \vec n .
\label{eq:bpunt}
\end{equation}
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Figures/frenet.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Meebewegend orthonormaal co\"ordinatenstelsel $\{\vec t, \vec n, \vec b\}$ van een kromme.
De triade bestaat uit de tangentvector $\vec t$, de normaalvector $\vec n$ en de binormaalvector
$\vec b$.}
\label{fig:frenet}
\end{figure}
Fig. \ref{fig:frenet} toont dat in
ieder punt $\vec r(s)$ van de kromme er nu een drietal vectoren {$\vec t, \vec n, \vec b$} bestaat.
Dit stelsel heet de meebewegende triade. Ze vormen een orthonormaal stelsel.

\medskip
\noindent
Uit vergelijking ($\ref{eq:bpunt}$) volgt $\vec b \cdot \vec t = 0$. Differentiatie naar $s$
geeft, met vergelijkingen ($\ref{eq:tpunt}$) en ($\ref{eq:bpunt}$)
\begin{equation}
0 = \dot{\vec b} \cdot \vec t + \vec b \cdot \dot{\vec t}
= \dot{\vec b} \cdot \vec t + \kappa \vec b \cdot \vec n = \dot{\vec b} \cdot \vec t .
\end{equation}
Uit $\vec b \cdot \vec b = 1$ volgt $\dot{\vec b} \cdot \vec b = 0$ en we zien
dat $\dot{\vec b}$ parallel is aan vector $\vec n$. Men definieert $\tau = \tau (s)$
met $\dot{\vec b} = -\tau \vec n$, waarbij $\tau$ de {\sl torsie} van de kromme wordt genoemd.
Tenslotte volgt uit $\vec n = \vec b \times \vec t$ dat
\begin{equation}
\dot{\vec n} = \dot{\vec b} \times \vec t + \vec b \times \dot{\vec t}
= -\tau \vec n \times \vec t + \kappa \vec b \times \vec n = \tau \vec b - \kappa \vec t .
\end{equation}
Samenvattend geldt
\begin{equation}
\begin{array}{ccccc}
\dot{\vec t} & = & & \kappa \vec n & \\
\dot{\vec n} & = & -\kappa \vec t & & +\tau \vec b \\
\dot{\vec b} & = & & -\tau \vec n & \\
\end{array}
\end{equation}
en dit zijn de formules van Frenet (1847) en Serret (1850). Een gevolg hiervan is dat
bij gegeven kromming en torsie door integratie van deze eerste-orde differentiaalvergelijkingen
de kromme op een verplaatsing na (integratieconstanten) vastligt.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/plane.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Kromme door punt $P$ in het oppervlak $\Sigma$. Beschouw alle krommen
door $P$. De verzameling van alle raakvectoren in $P$ van al deze krommen
vormt de tangentenvectorruimte $T_P$.}
\label{fig:plane}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Vervolgens beschouwen we gebogen oppervlakken in $E^3$. In de tijd voor Gauss
werd een gebogen oppervlak voorgesteld door $z = f(x,y)$ of $w(x,y,z) = 0$. In het
bijzonder kan men krommen in een dergelijk oppervlak beschouwen en voor deze
krommen kan men uiteraard de bovenstaande begrippen invoeren.
Fig. \ref{fig:plane} toont dat $\gamma$ een
kromme in het oppervlak $\Sigma$ is met $P$ een punt op $\gamma$. Dan heeft $\gamma$
een raakvector ${d\vec r \over d\lambda}$ in het punt $P$. Beschouw nu alle mogelijke
krommen in $\Sigma$ door $P$, dan vormt de verzameling van alle bijbehorende
raakvectoren ${d \vec r \over d\lambda}$ een twee-dimensionale vectorruimte $T_P$,
de raakvectorruimte, tangentenvectorruimte of raakvlak genoemd. De normaal $\vec n$
in $P$ op het oppervlak $\Sigma$ is de eenheidsvector in $P$ loodrecht op $T_P$.
Het volgende resultaat was reeds v\' o\' or Gauss bekend.

\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/euler1.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Door $P$ gaat een vlak $X$ dat normaalvector $\vec n$ bevat. Het vlak $X$
snijdt gebogen oppervlak $\Sigma$ langs curve $\gamma$. De eenheidsvector $\vec t$
is tangentiaal aan $\gamma$ en geeft de richting van deze snede. De vector $\vec t$
ligt in het tangentenvlak $T_P$.}
\label{fig:euler1}
\end{figure}

\medskip
\noindent
\underline{Stelling van Euler (1760):} Zij $P$ een punt van het oppervlak $\Sigma$ en
zij $\vec n$ de normaal in $P$ op $\Sigma$ (zie Fig. \ref{fig:euler1}).
Zij $X$ een vlak door $\vec n$ en zij
$\gamma$ de doorsnijding van $X$ en $\Sigma$ (dit is een kromme) en laat $\kappa$
de kromming van $\gamma$ in $P$ zijn. Dan bestaat er een vlak $X_1$ (respectievelijk $X_2$)
door $\vec n$ waarvoor $\kappa_\gamma$ maximaal (respectievelijk minimaal) is en men
noemt deze kromming dan $\kappa_1$ (respectievelijk $\kappa_2$). Als het vlak $X$
een hoek $\theta$ maakt met $X_1$, dan geldt
\begin{equation}
\kappa_\gamma = \kappa_1 \cos^2{\theta} + \kappa_2 \sin^2{\theta} .
\end{equation}
De krommingen $\kappa_1$ en $\kappa_2$ heten de hoofdkrommingen.
Fig. \ref{fig:zadel} geeft een beeld van de kromming van ruimte
met negatieve kromming (dit lijkt op een zadeloppervlak).
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/zadel.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Schets van een gebogen oppervlak waarbij de vlakken met hoofdkrommingen
zijn aangegeven, evenals het tangentenvlak.}
\label{fig:zadel}
\end{figure}
\medskip
\noindent
De theorie van de gebogen oppervlakken werd aanzienlijk verder ontwikkeld door
C.F. Gauss in zijn artikel `Disquisitiones generales circa superficies curvas' uit
1827. Gauss beschreef hierin een oppervlak met behulp van de parametervoorstelling
$x = x(u,v)$, $y=y(u,v)$ en $z=z(u,v)$ of samengevat $\vec r = \vec r (u,v)$ en
zoals Fig. \ref{fig:gauss} toont
ontstaan hiermee op het oppervlak krommen $u = {\rm constant}$ en $v={\rm constant}$.
We benadrukken dat een punt op het oppervlak $\Sigma$ wordt vastgelegd door twee
re\"ele parameters $u$ en $v$, namelijk $\vec r = \vec r(u,v)$.
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Figures/gauss.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Co\"ordinaten van Gauss voor de beschrijving van een gebogen oppervlak.}
\label{fig:gauss}
\end{figure}
Een kromme $\vec r = \vec r(\lambda )$ in het oppervlak $\Sigma$ is dus ook te
geven door een parametervoorstelling $u = u(\lambda )$ en $v=v(\lambda )$. De
afstand $ds$ tussen twee infinitesimaal van elkaar verwijderde punten
$\vec r(u,v)$ en $\vec r(u+du, v+dv)$ wordt gegeven door $(ds)^2 = d\vec r\cdot d\vec r$
met
\begin{equation}
d\vec r = \vec r(u+du, v+dv) - \vec r(u,v) = {\partial \vec r \over \partial u} du
+{\partial \vec r \over \partial v} dv = \vec r_u du + \vec r_v dv .
\end{equation}
We vinden hiermee voor de afstand
\begin{equation}
(ds)^2 = \left( \vec r_u du + \vec r_v dv \right) \cdot \left( \vec r_u du + \vec r_v dv \right)
=\vec r_u \cdot \vec r_u (du)^2 + 2\vec r_u \cdot \vec r_v du dv + \vec r_v \cdot \vec r_v (dv)^2.
\end{equation}
Met de traditionele afkortingen $E \equiv \vec r_u \cdot \vec r_u$,
$F \equiv \vec r_u \cdot \vec r_v$ en $G \equiv \vec r_v \cdot \vec r_v$ vinden we
\begin{equation}
(ds)^2 = E(du)^2 + 2Fdudv +G(dv)^2,
\end{equation}
met $E$, $F$ en $G$ functies van $u$ en $v$. Deze kwadratische vorm voor $(ds)^2$
heet de eerste fundamentaalvorm of de {\sl metriek}. Als het oppervlak $\Sigma$
een plat vlak is dan geldt bijvoorbeeld
\begin{equation}
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 = (dr)^2 + r^2(d\phi )^2,
\end{equation}
naar gelang men voor $(u,v)$ cartesische co\"ordinaten of poolco\"ordinaten
kiest. Tegenwoordig noteert men voor $(u,v)$ ook wel $(x^1, x^2)$, dus
\begin{equation}
(ds)^2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} dx^idx^j,~~~~~~~~g_{ij}=g_{i,j}(x^1,x^2),
\end{equation}
met
\begin{equation}
g_{11}(x^1,x^2) \equiv E(x^1,x^2)=\vec e_1 \cdot \vec e_1, ~~
g_{12} = g_{21} \equiv F=\vec e_1 \cdot \vec e_2, ~~{\rm en}~~
g_{22} \equiv G=\vec e_2 \cdot \vec e_2,
\end{equation}
waarbij $\vec e_1 \equiv {\partial \vec r \over \partial x^1} = \vec r_u$ de raakvector
aan de co\"ordinaatlijn $x^2 = {\rm constant}$ en
$\vec e_2 \equiv {\partial \vec r \over \partial x^2} = \vec r_v$ de raakvector
aan de co\"ordinaatlijn $x^1 = {\rm constant}$ is. Dus $g_{ij}=\vec e_i \cdot \vec e_j = g_{ji}$.
De vectoren $\vec e_1$ en $\vec e_2$ vormen een basis van de twee-dimensionale
raakvectorruimte in $\vec r = \vec r (u,v)$ aan $\Sigma$. Iedere raakvector in dit
punt is een lineaire combinatie van $\vec e_1$ en $\vec e_2$,
\begin{equation}
\vec a = \sum_{i=1}^{2} a^i \vec e_i~~~~~{\rm en~ook}~~~~~
\vec b = \sum_{i=1}^{2} b^i \vec e_i .
\end{equation}
Voor het inproduct in de raakvectorruimte geldt
\begin{equation}
\vec a \cdot \vec b = \sum_{i=1}^{2} a^i \vec e_i \cdot \sum_{j=1}^{2} b^j \vec e_j
=a^1b^1\vec e_1 \cdot \vec e_1 + a^1b^2\vec e_1 \cdot \vec e_2 +
a^2b^1\vec e_2 \cdot \vec e_1 + a^2b^2\vec e_2 \cdot \vec e_2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} a^ib^j.
\end{equation}

\medskip
\noindent
Zij $\gamma$ een kromme in het oppervlak $\Sigma$ en laat $A$ en $B$ twee punten op
$\gamma$ zijn, dan definieert men de booglengte $s_\gamma$ langs $\gamma$ tussen
$A$ en $B$ als $s_\gamma = \int_{A}^{B} ds$. Als de kromme $\gamma$ wordt voorgesteld
door $u = u(\lambda )$ en $v=v(\lambda )$, dan volgt in verband met $ds = {ds \over
d\lambda}d\lambda$ dat
\begin{equation}
s_\lambda = \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ E \left( {du \over d\lambda} \right)^2
+ 2F \left( {du \over d\lambda}{dv \over d\lambda} \right)
+ G \left( {dv \over d\lambda} \right)^2 } d\lambda
= \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} (x^1, x^2)
{dx^i \over d\lambda}{dx^j \over d\lambda} } d\lambda .
\label{eq:afstand}
\end{equation}
Laat $A$ en $B$ twee punten van het oppervlak $\Sigma$ zijn, dan is de {\sl geodeet}
door $A$ en $B$ die kromme $\gamma$ in $\Sigma$ waarvoor de booglengte $s_\gamma$
tussen $A$ en $B$ minimaal (of extremaal) is. In het euclidische vlak is een rechte
een geodeet en omgekeerd. Op de bol is een grote cirkel (dit is een cirkel waarvan
het vlak door het middelpunt van de bol gaat) een geodeet en omgekeerd. Merk op
dat de intrinsieke meetkunde van het oppervlak, dat is de meetkunde van
twee-dimensionale wezens die in het oppervlak leven en die geen weet hebben van
de drie-dimensionale ruimte, geheel bepaald wordt door de metriek $(ds)^2$. De
hoofdkrommingen $\kappa_1$ en $\kappa_2$ van een punt $P$ in $\Sigma$ zijn
intrinsieke eigenschappen van het oppervlak. Dit is eenvoudig in te zien aan de hand
van het volgende voorbeeld. Voor een plat vlak (bijvoorbeeld een vel papier)
geldt $\kappa_1 = \kappa_2 = 0$ en $(ds)^2=(dx)^2 + (dy)^2$. Als het vel papier
tot een cylinder wordt gevouwen, dan gebeurt er niets met de metriek, maar $\kappa_2$
wordt ongelijk aan nul. Het opmerkelijke is nu, dat er een combinatie van $\kappa_1$
en $\kappa_2$ bestaat die ongewijzigd blijft bij het vouwen van het papier. Dit
is de gausskromming.

\medskip
\noindent
\underline{Theorema egregium van Gauss:} De gausskromming $\kappa \equiv \kappa_1\kappa_2$
is een intrinsieke grootheid, dit wil zeggen geheel bepaald door de metriek, namelijk
\begin{equation}
\kappa = -{1 \over 4W^4} \left|
\begin{array}{ccc}
E & E_u & E_v \\
F & F_u & F_v \\
G & G_u & G_v \\
\end{array}
\right| - {1 \over 2W} \left\{ {\partial \over \partial v} \left( { E_v - F_u \over W}
\right) - {\partial \over \partial u} \left( {F_v - G_u \over W} \right) \right\} ,
\end{equation}
met $W \equiv \sqrt{ EG - F^2}$.

\medskip
\noindent
Merk op dat $\kappa$ slechts afhangt van de metriek via $E$, $F$ en $G$ en eerste en
tweede orde afgeleiden hiervan, waardoor $\kappa$ inderdaad een intrinsieke grootheid
is. De hoofdkrommingen hangen bovendien nog af van de wijze waarop het oppervlak
is ingebed in de drie-dimensionale ruimte. De gausskromming is een functie van $u$ en $v$,
$\kappa = \kappa (u,v)$. Oppervlakken van constante kromming zijn oppervlakken waarvoor
$\kappa (u,v) = {\rm constant}$. Hiervan bestaan drie typen, namelijk
\begin{enumerate}
\item{} het sferische vlak (eenheidsbol) met metriek
\begin{equation}
(ds)^2 = (du)^2 + \sin^2{u}(dv)^2~~~~~{\rm met}~~~~~\kappa = +1;
\end{equation}
\item{} het euclidische vlak (in poolco\"ordinaten) met metriek
\begin{equation}
(ds)^2 = (du)^2 + u^2(dv)^2~~~~~{\rm met}~~~~~\kappa = 0;
\end{equation}
\item{} het hyperbolische vlak met metriek
\begin{equation}
(ds)^2 = (du)^2 + \sinh^2{u}(dv)^2~~~~~{\rm met}~~~~~\kappa = -1.
\end{equation}
\end{enumerate}
Het laatste geval is de niet-euclidische meetkunde van Gauss-Lobachevski-Bolyai.

\medskip
\noindent
In het volgende beschouwen we een infinitesimaal parallellogram in $\Sigma$
(zie Fig. \ref{fig:parallellogram}).
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/parallellogram.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Een infinitesimaal parallellogram in een gebogen oppervlak.}
\label{fig:parallellogram}
\end{figure}
De zijden $\vec r_udu$ en $\vec r_vdv$ resulteren in een oppervlakte
$d\sigma = \left| \vec r_ \times \vec r_v \right| du dv$.
Merk op dat $\left| \vec a \times \vec b \right|^2 = a^2b^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2$
omdat $\sin^2{\chi} + \cos^2{\chi} = 1$. Dus volgt
\begin{equation}
d\sigma = \sqrt{EG - F^2} dudv.
\end{equation}
De stelling uit de euclidische meetkunde die zegt dat de som van de hoeken van
een driehoek $\pi$ is kan nu worden gegeneraliseerd. Een driehoek in het oppervlak
$\Sigma$ is een drietal punten $A$, $B$ en $C$ in $\Sigma$ verbonden door de
geodeten tussen puntenparen (zie Fig. \ref{fig:driehoek}).
\begin{figure}[hbtp]
\renewcommand{\captionfont}{\sl}
\renewcommand{\captionlabelfont}{\bf}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/driehoek.eps}%
\end{center}
\renewcommand{\figurename}{Figuur}
\caption{Een geodetendriehoek.}
\label{fig:driehoek}
\end{figure}
Laat $\vec t_1$ en $\vec t_2$ eenheidsraakvectoren in $A$ zijn aan de twee geodeten
(de zijden $AB$ en $AC$ van de geodetendriehoek) door $A$, dan is de hoek $\alpha$
gedefinieerd met behulp van
\begin{equation}
\cos{\alpha} = \vec t_1 \cdot \vec t_2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} t_1^i t_2^j.
\end{equation}
Voor $B$ en $C$ analoog. Dan geldt
\begin{equation}
\alpha + \beta + \gamma -\pi = \int \kappa d\sigma ,
\end{equation}
waarbij de integraal over het oppervlak van de geodetendriehoek wordt
uitgevoerd en $\kappa$ de gausskromming is. In het bijzondere geval van een oppervlak met
constante kromming geldt $\alpha + \beta + \gamma - \pi = \kappa \Delta$,
waarin $\Delta$ het oppervlak van de driehoek is; voor $\kappa = 0$ wordt
inderdaad het resultaat uit de euclidische meetkunde teruggevonden.

\subsection{Riemannse meetkunde}

De tweede belangrijke stap in de ontwikkeling van de differentiaalmeetkunde
werd gezet door B. Riemann (1826 - 1866) in een colloqium, gehouden op 10
juni 1854, voor de filosofische faculteit van de universiteit van G\"ottingen,
waarvan de titel luidde `Ueber die hypothesen welche der Geometrie zu Grunde
liegen'. Hierin gaf hij aan hoe een twee-dimensionaal gekromd oppervlak kan
worden gegeneraliseerd tot `eind n fach ausgedehnte M\"anigfaltigkeit' en
bovendien introduceerde hij een afstandsbegrip voor de $n$-dimensionale
ruimte (riemannse meetkunde). De `n fach ausgedehnte M\"anigfaltigkeit' is wat
tegenwoordig een $n$-dimensionale differentieerbare vari\"eteit wordt genoemd.

\medskip
\noindent
De generalisatie is als volgt: Gauss beschreef de punten van een
twee-dimensionaal oppervlak met behulp van een tweetal re\"ele co\"ordinaten
$(u,v)\equiv (x^1, x^2)$. Riemann beschreef de punten van een
$n$-dimensionale differentieerbare vari\"eteit met behulp van re\"ele
co\"ordinaten $(x^1, x^2, ... , x^n)$. Bij Gauss is de afstand tussen twee
infinitesimaal verwijderde punten
\begin{equation}
(ds)^2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} (x^1,x^2)dx^idx^j
\end{equation}
en bij Riemann wordt dit gegeneraliseerd tot
\begin{equation}
(ds)^2 = \sum_{i,j=1}^{n} g_{ij} (x^1,...,x^n)dx^idx^j .
\end{equation}
De afstand tussen twee punten op een kromme $\gamma \equiv x^i = x^i(\lambda)
~~~(i=1,2,...,n)$ in een $n$-dimensionale ruimte wordt hiermee
gegeneraliseerd tot (zie vergelijking (\ref{eq:afstand})
\begin{equation}
s_\lambda = \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ \sum_{i,j=1}^{n} g_{ij} (x^1,..., x^n)
{dx^i \over d\lambda}{dx^j \over d\lambda} } d\lambda .
\label{eq:afstand1}
\end{equation}
Een kromme heet weer een geodeet als $s_\gamma$ extremaal is. In het bijzondere
geval van een euclidische ruimte geldt $g_{ij} = \delta_{ij}$, zodat
vergelijking (\ref{eq:afstand1}) overgaat in
\begin{equation}
s_\lambda = \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}
\left( {dx^i \over d\lambda} \right)^2 } d\lambda .
\end{equation}
Als $\gamma$ een rechte lijn is\footnote{In dat geval geldt $x^i = a^i \lambda + b^i$
en wordt bijvoorbeeld $\lambda_A = {x_A^i - b^i \over a^i}$. Dan geldt
${dx^i \over d\lambda } = a^i$ waardoor de afgeleide niet meer van $\lambda$
afhangt en buiten de integraal gehaald kan worden. Verder schrijven we $x_A^i = A^i$.}, krijgt men
\begin{equation}
s_\lambda^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( {dx^i \over d\lambda} \right)^2
\left\{ \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} d\lambda \right\}^2
= \sum_{i=1}^{n} \left( {dx^i \over d\lambda} \right)^2
\left( \lambda_B - \lambda_A \right)^2
%= \sum_{i=1}^{n} \left( {dx^i \over d\lambda}\lambda_B -
%{dx^i \over d\lambda}\lambda_A \right)^2
= \sum_{i=1}^{n} \left( B^i - A^i \right)^2 .
\end{equation}
Dit is de stelling van Pythagoras voor een $n$-dimensionale ruimte.

\medskip
\noindent
Een verdere belangrijke bijdrage van Riemann is zijn generalisatie van de
kromming van Gauss tot een $n$-dimensionale ruimte: {\sl de
krommingstensor van Riemann}. De krommingstensor speelt een uitermate
belangrijke rol in Einstein's gravitatietheorie.

\vfill
\eject

