\documentclass[11pt]{report}
\usepackage{geometry}                % See geometry.pdf to learn the layout options. There are lots.
\geometry{letterpaper}                   % ... or a4paper or a5paper or ... 
%\geometry{landscape}                % Activate for for rotated page geometry
%\usepackage[parfill]{parskip}    % Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{epstopdf}
\DeclareGraphicsRule{.tif}{png}{.png}{`convert #1 `dirname #1`/`basename #1 .tif`.png}
\usepackage{mathrsfs}

\title{Relativiteitscursus, hoofdstuk 4}
\author{Gideon Koekoek}
\date{}                                           % Activate to display a given date or no date

\begin{document}
\maketitle
%\section{}
%\subsection{}

\chapter{Relativistische kosmologie}

\section{Introductie}

In de vorige hoofdstukken hebben we de speciale en de algemene relativiteitstheorie behandeld. De concepten van gekromde ruime en tijd zijn bediscussieerd, we weten welk verband er bestaat tussen de metriek en de aanwezige massa en energie, en zijn in staat een verkregen metriek te gebruiken om fysisch meetbare grootheden (afstanden en tijden) te berekenen. De volgende stap die gemaakt kan worden, is het toepassen van de theorie op enkele specifieke problemen, en dit is precies waar we in dit hoofdstuk mee zullen beginnen. In dit hoofdstuk zullen we een van de meest voorkomende toepassingen van de Algemene Relativiteitstheorie behandelen: de theorie van de Oerknal. We zullen dan zien dat een gevolg van de Relativiteitstheorie is dat het heelal uitdijt, en dat de snelheid van uitdijing te berekenen is wanneer we massa en energie kennen waarmee het Heelal gevuld is. Verder zullen we zien dat het model niet compleet is: waarnemingen laten zien dat er enkele onvolkomenheden in de Oerknaltheorie zijn opgesloten. Deze zullen we behandelen, en daarna pogen op te lossen door de theorie uit te breiden met een nieuw idee: de kosmologische inflatie. 

\section{Het Kosmologisch Principe}

We zullen ons nu gaan bezighouden met de toepassing van de relativiteitstheorie op het heelal. Een vraag dringt zich dan meteen op: op welke grond nemen we aan dat louter relativiteitstheorie genoeg is om de evolutie van het heelal te beschrijven? Er zijn immers nog enkele andere natuurkrachten, die vele ordes van grootte krachtiger zijn dan de zwaartekracht. Dit is inderdaad het geval, maar we moeten ons bedenken dat deze krachten op kosmische schaal vrijwel geen invloed uitoefenen: de sterke en zwakke kernkracht werken alleen op schalen van de orde van femtometers, en de elektromagnetische kracht speelt een verwaarloosbare rol aangezien sterren, sterrenstelsels, en alle andere materie elektrisch neutraal is op macroscopische schaal. Het gevolg is dan ook dat alleen de zwaartekracht een rol kan spelen in de dynamica van het heelal, en dus dat we relativiteitstheorie kunnen gebruiken om deze dynamica te onderzoeken. \newline
Wat weten we van het Heelal? Een van de eerste dingen die opvalt wanneer we naar de nachthemel kijken, is dat het er in elke richting hetzelfde uit lijkt te zien. Wanneer iets beter bekeken, lijkt dit toch niet helemaal zo te zijn: planeten volgen een pad ten opzichte van de vaste sterren, meteorenregens verschijnen op gezette tijden op en verschillende plaatsen aan de hemel, en hier en daar lijkt de sterrendichtheid groter dan op een andere plek. Echter, al deze onregelmatigheden zijn alleen te ontwaren wanneer het heelal bekeken wordt op een schaal zo groot als wij kunnen zien in een enkel beeld van een telescoop of het blote oog; op een schaal gezien van enkele honderden megaparsecs zijn deze onregelmatigheden uitgesmeerd, en lijkt het heelal wel degelijk erg hetzelfde, gezien in alle richtingen. Deze eigenschap draagt de naam \emph{isotropie}. De isotropie van het heelal wordt veel meer kracht bijgezet wanneer niet alleen gekeken wordt naar de verdeling van materie in het heelal, maar ook naar de verdeling van licht en straling. Al in 1965 meetten Penzias en Wilson dat de aarde gebombardeerd wordt door enorme aantallen fotonen die, ongeacht uit welke richting zij komen, allemaal\footnote{Ook nu kijken we naar het heelal op zeer grote schaal; dit betekent dat we de lokale afwijkingen van de energie van de fotonen door lokale invloeden als sterren, gaswolken, etc, buiten beschouwing laten} dezelfde energie hebben (deze energie komt overeen met een temperatuur van ongeveer 2.7 Kelvin). Dit betekent dat alle zichtbare delen van het heelal dezelfde temperaturen hebben: blijkbaar is ook de stralingsenergie geheel isotroop verdeeld over het zichtbare heelal. \newline
Wanneer deze isotropie wordt samengevoegd met de gedachte dat de aarde geen speciale positie inneemt, dan moeten we aannemen dat het heelal er van \emph{elke} positie gezien er het zelfde uitziet (de zogenaamde aanname van \emph{homogeniteit}  ) in alle richtingen. Deze combinatie van isotropie en homogeniteit wordt vaak als startpunt genomen van de toepassing van Relativiteitstheorie op het heelal, en draagt als naam \emph{Het Kosmologisch Principe}: \newline
\newline
\emph{vanaf elke positie in het heelal, lijken materie en energie gelijkmatig verdeeld te zijn, wanneer bekeken op een schaal van ongeveer 100 Mpc}
\newline
\newline
Als wij een model willen bouwen dat de evolutie van het heelal succesvol beschrijft, dan moet dit het Kosmologisch Principe hebben ingebouwd, danwel een manier bevatten waarop het op een of andere manier een logisch gevolg is van de details van het model. Wij zullen in het vervolg het Kosmologisch Principe zelf inbouwen. \newline
Willen wij de algemene relativiteitstheorie gebruiken om het heelal te beschrijven, dan ligt het voor de hand een metriek te kiezen die een materie- en energieverdeling oplevert die in overeenstemming is met het Kosmologisch Principe. Dit blijkt niet een heel moeilijke taak te zijn. In de eerste plaats hadden we al opgemerkt dat zwaartekracht de enige kracht is die op deze schaal een rol speelt in de evolutie van het heelal, en dit betekent dat we geen rekening hoeven te houden met de ingewikkelde quantummechanische details van de andere drie krachten, danwel de wisselwerking van onze metriek met deze krachten opdat de gewenste homogeniteit en isotropie gevonden wordt. In plaats daarvan kunnen we de metriek en de verdeling van massa en energie als direct gecorreleerd zien zonder invloeden van de andere krachten. Zo volgt dan ook dat als de metriek zelf geen voorkeursrichting danwel voorkeurspositie kent, de energieverdeling dit ook niet zal hebben. \newline
Het is niet zo heel moeilijk om een metriek te vinden die aan deze eis voldoet. Alvorens dit te doen, zullen we nu even een paar van de ons al bekende metrieken beschouwen. De Schwarzschild-metriek, eq. X, is isotroop, maar niet homogeen; de metriek die Newtiaanse zwaartekracht opleverde, eq. X, is ook isotroop maar niet homogeen. De Minkowski-metriek, daarentegen, is zowel isotroop als homogeen! Maar de Minkowski-metriek zou tekort schieten om het heelal te beschrijven, aangezien we al gezien hadden in het vorige hoofdstuk dat deze metriek strict genomen alleen een oplossing is van de Einstein vergelijkingen in de afwezigheid van materie en energie: een leeg heelal dus. Bovendien beperken we ons met deze keuze van de metriek meer dan het Kosmologisch Principe verlangt: het principe zegt inderdaad dat het heelal er vanaf elke positie gezien, in alle richtingen er hetzelfde uit behoort te zien, maar niet dat dit uitzicht \emph{op elk tijdstip} hetzelfde hoeft te zijn. Het is dan ook toegestaan om een \emph{tijdsafhankelijkheid} aan de Minkowski-metriek toe te kennen, mits deze maar in alle ruimtelijke richtingen hetzelfde is. Deze tijdsafhankelijkheid voegt men toe door middel van een (op dit moment nog) onbekende functie $a(t)$, genaamd de \emph{schaalfactor}, en wel op de volgende manier:
\begin{equation}
g_{\mu \nu} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a^2(t) & 0 & 0 \\
0 & 0 & a^2(t) & 0 \\
0 & 0 & 0 & a^2(t)
\end{array}
\right)
\end{equation}
Deze metriek draagt de naam \emph{vlakke Robertson-Walker metriek}, en speelt een hoofdrol in de kosmologie\footnote{Er zijn nog twee andere metrieken denkbaar die voldoen aan het Kosmologisch Principe, te weten de sferische en de hyperbolische Robertson-Walker metrieken, en deze leiden tot een ruimte die niet alleen uitdijt, maar ook gekromd is. Deze beschrijven dan ook een heelal waarin aanvankelijk evenwijdige lopende lichtstralen convergeren respectievelijk divergeren. Echter, de theorie van \emph{kosmologische inflatie} leidt ertoe dat de vlakke Robertson-Walker metriek de beste beschrijving geeft van het heelal waarin wij leven; wij komen hierop terug op het eind van dit hoofdstuk,  }. De betekenis van de schaalfactor $a(t)$ is snel in te zien door het lijnelement $ds^2$ uit te schrijven:
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& -dt^2+a^2(t)dx^2+a^2(t)dy^2+a^2(t)dz^2 \nonumber \\
&=& a^2(t)dx^i dx_i \nonumber \\
&=& a^2(t)d \vec{x}^2
\end{eqnarray}
(waar de tweede stap geldt voor een waarnemer die een afstand wil meten), en dit te integreren om een eindige afstand $S$ te berekenen:
\begin{eqnarray}
S &=&  \int a(t)d\vec{x} \nonumber \\
&=& a(t) \int d\vec{x}.
\end{eqnarray}
Blijkbaar is de gemeten afstand $S$ in de vlakke Robertson-Walker ruimte niks anders dan de afstand $\int d\vec{x}$ zoals die gemeten zou zijn in een Minkowski-metriek, maal de functie $a(t)$. Dit verklaart de naam $schaal$factor: $a(t)$ geeft aan hoeveel groter (als $a(t) > 1$) of hoeveel kleiner (als $a(t) < 1$) een gemeten afstand is bij een gegeven coordinaatafstand, vergeleken met de overeenkomstige gemeten afstand in een Minkowski-metriek. Bovendien kunnen we nu de tijdsafhankelijkheid van de schaalfactor interpreteren: als $a(t)$ een stijgende functie is in de tijd, betekent dit dat gemeten afstanden steeds groter worden. De implicatie van dit is enorm: het betekent dat twee, zeg, sterren op vaste coordinaatafstand, zich van elkaar zullen verwijderen met een snelheid gelijk aan $\dot{a}(t)$. Vanaf de aarde gezien (of, overeenkomstig het Kosmologisch Principe, vanaf elk willekeurig punt in het heelal) lijken deze sterren zich van elkaar te verwijderen met een snelheid $\dot{a}(t)$. Dit geldt voor elke willekeurige twee sterren of alle andere materie of straling in het heelal: alles verwijdert zich van elkaar met een snelheid gedicteert door de tijdsafgeleide van de schaalfactor:  we spreken in dat geval van een \emph{uitdijend heelal}. Op dezelfde manier volgt dat als $a(t)$ een dalende functie in de tijd is, gemeten afstanden afnemen in de tijd, en het heelal krimpt. De tijdsafgeleide $\dot{a}(t)$ van de schaalfactor is daarom een maat voor de snelheid waarmee het heelal uitdijt of inkrimpt; de tweede tijdsafgeleide $\ddot{a}(t)$ van de schaalfactor is een maat voor de verandering van de uitdijingssnelheid. \newline

\section{De Wet van Hubble}


Een uitdijend of inkrimpend Heelal heeft als kenmerk dat de golflengte van het licht van de sterren, oprekt of inkrimpt, en daardoor de kleur van dit licht roder danwel blauwer wordt. Dit betekent dat, in een uitdijend Heelal, uitgezonden sterrelicht roder aankomt in onze telescopen dan het uitgezonden wordt door de sterren, en bovendien dat deze roodverschuiving een maat is voor de uitdijingssnelheid $\dot{a}(t)$ van het Heelal. Dit verband zullen we nu onderzoeken. We beschouwen hiertoe een lichtstraal in dit Heelal. Volgens de Relativiteitstheorie volgt deze lichtstraal een lichtachtig pad,
\begin{eqnarray}
ds^2 &=& -dt^2+a^2(t)dx^2 \nonumber \\
&\equiv& 0
\end{eqnarray}
(we nemen hier aan, zonder verlies van algemeenheid, dat het licht zich langs de $x$-richting voortbeweegt). Als deze lichtstraal is uitgezonden op tijdstip $t_e$ en gemeten is op het huidige tijdstip $t_0$, dan kunnen we deze relatie integreren om te zien hoeveel coordinaatafstand $R$ het licht aflegt tussen de emissie en ontvangst:
\begin{equation}
R = \int_{t_{e}}^{t_{0}} \frac{dt}{a(t)}
\end{equation}
We beschouwen nu een waarnemer op grote afstand die licht in pulsjes uitzendt, en een tweede waarnemer die deze pulsjes ontvangt; hun onderlinge coordinaatsafstand is $R$. De zender stuurt twee pulsjes weg, een tijd $\delta t_{e}$ van elkaar. De ontvanger zal de pulsjes iets later na elkaar ontvangen, aangezien het Heelal ondertussen uitdijt: hij meet dat de pulsjes een tijd $\delta t_{0}$ na elkaar aankomen. Aangezien de coordinaatafstand tussen de twee waarnemers niet verandert tijdens uitdijing van het Heelal, moet er  nu gelden:
\begin{equation}
\int_{t_{e}+\delta t_{e}}^{t_{0}+\delta t_{0}} \frac{dt}{a(t)} = \int_{t_{e}}^{t_{0}} \frac{dt}{a(t)}
\end{equation}
De rechterkant van deze vergelijking kunnen we schrijven als volgt:
\begin{equation}
\int_{t_{e}}^{t_{0}} \frac{dt}{a(t)} =   \int_{t_{e}}^{t_{e}+\delta t_{e}} \frac{dt}{a(t)} + \int_{t_{e}+\delta t_e}^{t_{0}+\delta t_0} \frac{dt}{a(t)} +  \int^{t_{0}}_{t_{0}+\delta t_{0}} \frac{dt}{a(t)}
\end{equation}
Wil dit gelijk zijn aan de linkerkant van de vergelijking, dan moet gelden
\begin{equation}
\int_{t_{e}}^{t_{e}+\delta t_{e}} \frac{dt}{a(t)} + \int^{t_{0}}_{t_{0}+\delta t_{0}} \frac{dt}{a(t)} =0
\end{equation}
Als we aannemen dat $\delta t_0$ en $\delta t_e$ zo klein zijn dat de schaalfactor maar weinig verandert in deze integralen (dit wil zeggen: we nemen aan dat het Heelal veel minder snel uitdijt dan de pulsen na elkaar uitgezonden worden), dan kunnen we $a(t)$ als constanten nemen, en zegt deze laatste eis dat
\begin{equation}
\frac{\delta t_0}{\delta t_e} = \frac{a(t_0)}{a(t_e)}
\end{equation}
Dit is een relatie tussen de tijden tussen pulsjes zoals gemeten en zoals verzonden; zoals verwacht wordt dit verschil direct bepaald door de grootte van het Heelal ten tijde van uitzending ($t_e$) en ontvangst ($t_0$). Als we duur tussen de pulsjes nu opvatten als de trillingstijd van een lichtgolf, dan kunnen we een uitspraak doen over het verschil in frequentie $\omega \equiv 2 \pi \delta t^{-1}$ (kleur) van het licht zoals verzonden en ontvangen. We vinden dan de formule voor de \emph{kosmologische roodverschuiving} $z$:
\begin{equation}
1+z \equiv \frac{\omega_e}{\omega_o} = \frac{a(t_0)}{a(t_e)}
\end{equation}
Zoals nu te zien is, is de roodverschuiving $z$ een maat voor de verandering van de kleur van het licht, ten gevolge van de uitdijing van het Heelal. Experimenteel gezien betekent dit, dat we door meting van de kleurverschuiving van sterrenlicht kunnen bepalen wat de huidige waarde is van de schaalfactor, ten opzichte van die ten tijde dat het licht uitgezonden werd. Dit geeft ons daarmee een maat voor de tijdsevolutie van de schaalfactor, en daarmee voor de uitdijingssnelheid van het Heelal.\newline
Voor sterren die bovendien niet te ver weg staan van onze telescopen heeft het licht niet veel tijd nodig om de afstand te overbruggen, en kan de schaalfactor nooit heel erg veranderd zijn tussen de momenten van uitzending en ontvangst van het sterrenlicht. Dit betekent dat we de schaalfactor ten tijde van uitzending, $a(t_e)$, goed kunnen benaderen door:
\begin{equation}
a(t_e) \approx a(t_0) + \dot{a}(t_0) (t_e-t_0)
\end{equation}
Ingevuld in de formule voor de kosmologische roodverschuiving, volgt op deze manier
\begin{eqnarray}
1+z = \frac{a(t_0)}{a(t_e)} &\approx& a(t_0) \Big( a(t_0) + \dot{a}(t_0) (t_e-t_0) \Big)^{-1}  \nonumber \\
&\approx& 1+\frac{\dot{a}(t_0)}{a(t_0)} (t_0-t_e) 
\end{eqnarray}
waar in de laatste stap de wiskundige regel is gebruikt dat $(1+x)^m \approx 1+mx$, welke geldt als $mx << 1$; dit is hier het geval, aangezien $(t_e-t_0)$ een maat is voor de afstand tussen zender en ontvanger, en we hadden aangenomen dat deze klein is. Het tijdsverschil $(t_e-t_0)$ laat zich omzetten in een afstand tussen de zender en ontvanger door een factor $c$ te plaatsen. Op deze manier is nu de roodverschuiving van sterrenlicht gerelateerd geraakt aan de afstand $d$ tot de ster:
\begin{equation}
z \approx \frac{\dot{a}(t_0)}{a(t_0)} c d.
\end{equation}
De combinatie $\frac{\dot{a}(t_0)}{a(t_0)}$ draagt de naam \emph{Hubble constante}: het is een maat voor de snelheid waarmee het Heelal op dit moment uitdijt. Hij is vernoemd naar Edwin Hubble, die dit lineaire verband tussen roodverschuiving en afstand tot de sterren al in 1929 wist te meten; hiermee werd het eerste experimentele bewijs geleverd voor het uitdijen van het Heelal. Sindsdien zijn de metingen steeds nauwkeuriger geworden, en is de waarde van de Hubble constante vastgesteld op, in eenheden die in de waarnemende sterrenkunde gebruikelijk zijn, $H(t_0) = 70.1 km \cdot s^{-1} \cdot Mpc^{-1}$; in standaardeenheden is de waarde ongeveer $H(t_0) = 2.1 \cdot 10^{-18} s^{-1}$. Deze experimentele waarde zullen we later nodig hebben om de leeftijd van het Heelal te schatten.


\section{De Friedmann vergelijkingen}

Een van de grootste opgaven van de kosmologie is het bepalen wat de expliciete vorm is van de functie $a(t)$: wanneer dit bekend is, weten we namelijk hoe de grootte van het heelal (en mogelijk zijn oorsprong en toekomstig gedrag) evolueert in de tijd. De vraag is dan ook: hoe kunnen we de vorm van de schaalfactor bepalen? Het antwoord wordt, zoals altijd, uiteindelijk gedicteerd door de aanwezigheid van materie en energie in het heelal. Immers, de vorm en het gedrag van een metriek is via de Einstein Vergelijking gekoppeld aan de energie tensor $T_{\mu \nu}$, en het ligt dan ook voor de hand om de vraag te stellen welke energie tensor als gevolg heeft dat de Einstein vergelijking de Robertson-Walker metriek als oplossing kent. Merk op hoe dit afwijkt van de gebruikelijke procedure: meestal bij het doen van relativiteitstheorie, is de energie tensor het \emph{startpunt} van berekeningen, en is de metriek een \emph{gevolg}; de huidige situatie is een van de weinige keren dat de metriek bekend is, en er een energie tensor gevonden dient te worden. \newline
Dit is geen triviaal probleem: het vraagstuk wordt bemoeilijkt door het feit dat er een wisselwerking plaatsvindt tussen de tijdsafhankelijkheid van de metriek, en de vorm van de energie tensor. Denk ter illustratie aan een gas in een ballon: niet alleen wordt de grootte van de ballon bepaald door de druk van het gas in de ballon, maar deze druk is zelf weer een functie van de grootte (grootte van de ballon) van het volume waarin het gas opgesloten is. Op dezelfde manier wordt de metriek (een maat voor de grootte van het heelal) niet alleen \emph{bepaald} door de aanwezige energie en materie, maar oefent deze metriek ook zelf weer een \emph{invloed} uit op de energie tensor: een ingewikkelde wisselwerking is het gevolg. \newline
Het Kosmologisch Principe biedt uitkomst. Willen energie en materie homogeen en isotroop verdeeld zijn over het heelal, dan moet de energie tensor overeenkomstig gekozen worden, wat betekent dat de tensor geen plaatsafhankelijkheid mag kennen. Verder doet de eis van een uitgesmeerde hoeveelheid materie ons denken aan een \emph{perfecte vloeistof}. Vloeistoffen worden gekenmerkt door een druk $p$ en een energiedichtheid $\rho$, die, zoals beargumenteerd, nu ten hoogste van de tijd mogen afhangen. Voor vloeistoffen is een energie tensor bekend, en wordt gegeven door
\begin{equation}
T^{\mu \nu} = \frac{1}{c^2}\Big( \rho(t) + p(t) \Big)u^\mu u^\nu + p(t)g^{\mu \nu}
\end{equation}
waarin $u^\mu$ de 4-snelheid is van een waarnemer die in rust is ten opzichte van de vloeistof: $u^\mu = (-c,0,0,0)$. \newline 
Nu het Kosmologisch Principe ons tot aannames heeft geleid voor de vorm van de metriek en de vorm van de energietensor, kan de Einstein vergelijking worden gebruikt om het verband tussen de twee objecten te vinden; het resultaat zal zijn dat er een direct verband bestaat tussen de schaalfactor en de druk en energie van het heelal. Hiertoe dienen de Ricci-tensor en Riemann scalar te worden berekend behorend bij de Robertson-Walker metriek. Dit is een eenvoudige opgave, en leidt tot de volgende uitdrukkingen:
\begin{eqnarray}
R_{0 0} &=& 3\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}, \\
R_{ij} &=& -\Big(2\dot{a}^2(t)+a(t)\ddot{a}(t)\Big)\delta_{ij}, \\
R &=& -6\frac{\dot{a}^2(t)}{a^2(t)}-6\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}
\end{eqnarray}
Wanneer deze worden ingevuld in de linkerkant van de Einstein vergelijking en de energie tensor ingevuld in de rechterkant, wordt een tensorvergelijking gevonden die in principe 10 verschillende relaties aangeeft tussen de schaalfactor en de druk en dichtheid van de aanwezige energie en materie. Echter, uiteindelijk levert dit ons slechts twee relaties op, aangezien de tensoren alleen niet-nul componenten op de diagonaal kennen, en de drie ruimtelijke componenten hiervan dezelfde informatie bevatten (Kosmologisch Principe!). De $\mu =0, \nu = 0$ levert op
\begin{equation}
\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 = +\frac{8\pi G}{3c^2}\rho(t)
\end{equation}
en de $\mu = i, \nu = i$ levert op
\begin{equation}
\left( \frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}  \right) + \left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 = -\frac{8 \pi G}{c^2}p(t)
\end{equation}
Het is gebruikelijk deze tweede vergelijking te herschrijven door de eerste vergelijking te substitueren; de twee resulterende vergelijkingen zijn dan:
\begin{eqnarray}
\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \right)^2 &=& +\frac{8\pi G}{3c^2}\rho(t) \\
\left(\frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}\right)&=&-\frac{4 \pi G}{3c^2}\Big( 3p(t)+\rho(t)  \Big)
\end{eqnarray}
Deze twee vergelijkingen geven het verband tussen de energiedichtheid en druk van de vloeistof waarmee we het heelal gevuld hebben, en de schaalfactor. Zij heten de \emph{Friedmann vergelijkingen}, en vormen het hart van de kosmologie. Vraagstukken over de evolutie van de grootte van het heelal zijn hiermee tot een simpel stappenplan gereduceerd: beargumenteer wat de druk $p(t)$ en dichtheid $\rho(t)$ is van de energie en materie in het heelal, los de Friedmann vergelijkingen op, en vindt dan de expliciete vorm van de schaalfactor $a(t)$ (en daarmee de mate van uitdijing of inkrimping van het heelal). In Sectie X zullen we deze vergelijkingen expliciet oplossen voor enkele speciale gevallen, en hieruit het model van de Oerknal construeren. Alvorens dit te doen zullen we enkele directe, algemene (d.w.z. geldend voor alle oplossingen) van de Friedmann vergelijkingen bekijken. \newline
\newline
Ten eerste voorspellen de Friedmann vergelijkingen dat het heelal een begin heeft gehad. Dit kan worden geconcludeerd op basis van het feit dat, voor ons bekende soorten materie en energie, de dichtheid en druk beide positieve grootheden zijn\footnote{In de volgende sectie zullen we zien dat er ook een energiesoort bestaat waarvoor dit niet opgaat; echter, zoals we eveneens nog zullen aantonen, heeft deze energiesoort een verwaarloosbare invloed in de eerste paar miljarden jaren van het heelal, en kan daarom worden genegeerd wanneer we voorspellingen willen doen over het vroege heelal.} en de rechterkant van de tweede Friedmann vergelijking daarom negatief is: hieruit volgt dat $\ddot{a}(t)$ negatief is. Gecombineerd met het Hubble's experimentele feit dat het heelal op dit moment uitdijt, $\dot{a}(t_{nu}) > 0$, leidt direct tot de conclusie dat op een bepaald moment in de historie van het heelal, de schaalfactor $a(t)$ de waarde van nul heeft aangenomen. Dit correspondeert met een heelal waarin alle materie en energie opgeborgen is geweest in een volume van grootte nul. De Friedmann vergelijkingen voorspellen dan ook dat de ruimtetijd begonnen is als een singulariteit met oneindige energiedichtheid, en daarna (om onduidelijke redenen) is gaan uitdijen. Dit moment wordt gezien als het begin van het heelal, en draagt de naam \emph{Oerknal}. \newline
Hierop voortboordurend, kan de tijd verlopen sinds de Oerknal opgevat worden als de leeftijd van het heelal. Een schatting van de leeftijd kan gemaakt worden door op te merken dat de schaalfactor $a(t)$ zijn huidige waarde heeft gekregen terwijl het is gegroeid met een 'snelheid' gelijk aan $\dot{a}(t)$. Een maat voor de leeftijd van het heelal kan daarom worden gegeven door de huidige waarde van de schaalfactor, gedeeld door zijn snelheid. Dit levert in het algemeen een overschattig op, aangezien de tweede Friedmann vergelijking ons al leerde dat de snelheid van uitdijing $\dot{a}(t)$ niet altijd dezelfde waarde heeft gehad maar steeds kleiner is geworden. Het volgt daarom dat de leeftijd $t_{nu}$ van het heelal de volgende bovengrens heeft:
\begin{equation}
t_{nu} < \frac{a(t_{nu})}{\dot{a}(t_{nu})}.
\end{equation}
Aan de rechterkant van deze ongelijkheid herkennen we de inverse van de \emph{Hubble constante} die we al eerder geintroduceerd hadden: $H(t) \equiv \dot{a}(t)/a(t)$; verschil met de laatste keer dat wij deze tegenkwamen, is dat $H$ toen nog alleen op het huidige tijdstip werd genomen, waar we vanaf nu $H(t)$ ook op andere tijden zullen beschouwen\footnote{Merk op dat het daarom strict genomen niet correct meer is om $H$ aan te duiden als een \emph{constante}: hij is immers tijdsafhankelijk. Het is echter algemeen gebruik om $H(t)$ nog altijd aan te duiden met de naam \emph{Hubble constante}, en dat zullen we in deze cursus dan ook blijven doen.}. Zoals besproken is $H(t)$ een fysisch meetbare grootheid, te bepalen door de roodverschuiving van dichtbijgelegen sterren te meten, en is bekend een waarde te hebben van $70$ (km/s)/Mpc; ingevuld in de ongelijkheid, levert op dat de leeftijd van het heelal een bovengrens heeft van ongeveer 15 miljard jaar.

\section{Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen}

Het Heelal is, voor zover wij kunnen overzien en hebben kunnen meten, gevuld met energie en materie die we in drie groepen kunnen verdelen. Ten eerste is er de \emph{koude materie}: atomen, molekulen en alles wat daarvan gemaakt is. Denk hierbij aan sterren, sterrenstelses, gaswolken, nevels, de aarde en alles wat erop leeft, en ook de mysterieuze Donkere Materie. Ten tweede is er \emph{straling}, waarmee we alles bedoelen wat zich met (vrijwel) de lichtsnelheid voortbeweegt: fotonen uitgezonden door sterren, de fotonen van de kosmische achtergrondstraling (deze waren we al tegen waren gekomen bij de introductie van het Kosmologische Principe), maar ook zeer snel bewegende massieve deeltjes horen in deze categorie. Ten derde is er de  geheimzinnige energie die, zoals we zullen zien, het heelal versneld doet uitdijen, en waarvan de oorsprong nog een groot mysterie is; dit soort energie zullen we aanduiden met de naam \emph{kosmologische constante}\footnote{In de literatuur duiken ook andere namen op, veelal afhankelijk van de context waarin deze energie beschreven wordt, en zonder dat er een duidelijk onderscheid gehanteerd wordt tussen de eventuele subtiele verschillen tussen al deze concepten: \emph{vacuum energie}, \emph{donkere energie}, \emph{quintessence veld}, etc.}.  \newline
Elk van deze soorten materie/energie zal een specifieke evolutie van het heelal voorspellen, en doel van deze sectie is het oplossen van de Friedmann vergelijkingen voor alledrie deze gevallen. Hiertoe zullen we uitdrukkingen moeten opschrijven voor de energiedichtheid en druk ten gevolge van elk van deze drie soorten van energie en materie. We zullen daarbij aannemen dat de dichtheid en druk evenredig zijn aan elkaar
\begin{equation}
p(t)=n\rho(t).
\end{equation}
Deze vergelijking wordt de \emph{toestandsvergelijking} genoemd van de energie of materie onder beschouwing. De waarde van de evenredigheidsconstante $n$ is afhankelijk van meerdere factoren (waaronder de temperatuur, het type materie of energie, mate van interactie met andere soorten energie, quantummechanische eigenschappen, etc), maar kan in de huidige context als constant worden beschouwd. \newline
Om de waarde van $n$ te vinden, kan men kennis uit de thermodynamica gebruiken (dit is immers de studie is van macroscopische grootheden als druk en interne energie van materie) en met name de Eerste Hoofdwet, de wet van behoud van totale energie. In andere takken van fysica is dit inderdaad de manier waarop $n$ bepaald wordt. Echter, in het geval van de kosmologie is dit niet nodig: zoals dadelijk zal blijken, \emph{dicteren} de Friedmann vergelijkingen wat de waarde is van $n$, voor elke gegeven vorm van de energiedichtheid $\rho(t)$; de druk $p(t)$ volgt dan ook direct. Dit is niet verbazend: de Friedmann vergelijkingen volgen uit de Einstein vergelijking, en deze heeft, zoals we gezien hebben in Hoofstuk X, het behoud van energie ingebouwd. \newline
 \newline
In het geval van de koude materie kunnen we een goede gok doen voor de vorm van de energiedichtheid $\rho(t)$. Een energiedichtheid is altijd gedefinieerd als een hoeveelheid energie of materie gedeeld door een volume. Nu wordt met volume uiteraard het \emph{fysische} volume bedoeld, een produkt van fysisch gemeten lengte, breedte, en hoogte. Elk van deze drie grootheden zijn afstanden, en fysische afstanden worden (zoals we al gezien hadden) direct bepaald door de schaalfactor $a(t)$. Het ligt dan ook voor de hand om de dichtheid van de koude materie te gokken als volgt:
\begin{equation}
\rho(t) = \frac{A}{a^3(t)}
\end{equation}
waarin $A$ een constante is; het is een maat voor de hoeveelheid energie en materie ten tijde dat de schaalfactor precies de waarde $a(t) = 1$ had; de waarde ervan is niet zo relevant in de volgende discussie. We zullen aannemen dat deze $A$ niet van waarde verandert; fysisch betekent dit dat de koude materie niet omgezet wordt in een van de andere soorten energie. De Friedmann vergelijkingen nemen dan de volgende vorm aan:
\begin{eqnarray}
\dot{a}^2(t)  &=& \frac{8 \pi G}{3c^2} \frac{A}{a(t)} \nonumber \\
\ddot{a}(t) &=& -\frac{4 \pi G}{3c^2}(1+3n)\frac{A}{a^2(t)}
\end{eqnarray} 
Deze zullen wij dadelijk expliciet oplossen om de schaalfactor als functie van de tijd te vinden; eerst zullen we laten zien dat deze vergelijkingen, zoals beloofd, ook de waarde van de constante $n$ bepalen. Differentieer hiertoe de eerste van deze vergelijkingen naar de tijd
\begin{equation}
2\ddot{a}(t) = -\frac{8 \pi G}{3c^2}\frac{A}{a^2(t)}
\end{equation}
en substitueer deze in de tweede van de vergelijkingen. Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
-\frac{4 \pi G}{3c^2}A = -\frac{4 \pi G}{3c^2}(1+3n)A
\end{equation}
wat alleen waar kan zijn wanneer de evenredigheidparameter $n$ gelijk is aan $0$. Hiermee is gevonden dat de druk $p(t) = n\rho(t)$ ten gevolge van koude materie gelijk is aan nul. Fysisch betekent dit dat deze materie te weinig energetisch is om de deeltjes van deze materie genoeg snelheid te geven om een significante druk uit te oefenen. Het is precies om deze reden dat we deze materie het predikaat 'koud' hebben gegeven. \newline
Nu er uitdrukkingen gevonden zijn voor de energiedichtheid en druk voor het geval van koude materie, kunnen we deze uitdrukkingen substitueren in de Friedmannvergelijkingen, en deze pogen op te lossen om zo de schaalfactor $a(t)$ te vinden. De volgende differentiaalvergelijkingen worden dan gevonden:
\begin{eqnarray}
a(t)\dot{a}^2(t) &=& \frac{8 \pi G}{3c^2}A \nonumber \\
a^2(t)\ddot{a}(t) &=& -\frac{4 \pi G}{3c^2}A
\end{eqnarray}
Het is niet moeilijk in te zien dat de oplossing van deze vergelijkingen gegeven wordt door de volgende functie:
\begin{equation}
a(t) = Bt^{3/2}
\end{equation}
waarin $B$ een integratieconstante is\footnote{De constante factoren in de uitdrukking voor de schaalfactor zijn fysisch weinig interessant: ze herdefinieren enkel de afstandsmaat waarin afstanden gemeten worden. Om uitspraken te doen over de uitdijing van het Heelal is alleen de \emph{verhouding} tussen de schaalfactoren van twee tijdstippen van belang. De constanten $B$ vallen er daarom altijd uit.}. Een oplossing is gevonden! Louter op basis van het Kosmologische Principe en een voor de hand liggende aanname voor de energiedichtheid van de aanwezige materie, is nu gevonden hoe het heelal evolueert in de tijd. Interessant om te zien is het volgende: de gevonden oplossing voorspelt dat het heelal uitdijt: $\dot{a}(t) > 0$, maar dat deze uitdijing steeds minder snel gaat: $\ddot{a} < 0 $; dit is precies wat we verwachten op basis van het feit dat zwaartekracht een aantrekkende werking heeft. \newline
\newline
Ook voor het geval van straling kunnen we een goede gok doen voor de vorm van de energiedichtheid. Wederom geldt dat de dichtheid van straling (fotonen) afneemt naarmate het heelal uitdijt en dus dat $\rho(t) \propto a^{-3}(t)$, maar deze keer geldt bovendien dat er een \emph{extra} afname van de energiedichtheid optreedt ten gevolge van de gravitationele roodverschuiving. Voor fotonen geldt dat de energie is gegeven voor $E = \hbar \nu$, waar $\nu$ de frequentie is van de fotonen. Uitgedrukt in de golflengte $\lambda$ is deze relatie gegeven door $E= (2 \pi \hbar c)/\lambda$, waar de golflengte $\lambda$ een fysische afstand is, en daardoor schaalt met $a(t)$. Het gevolg is dan ook dat de stralingsenergiedichtheid afneemt met een extra factor $a(t)$ ten gevolge van deze roodverschuiving, en we dus verwachten dat deze energiedichtheid gegeven wordt door
\begin{equation}
\rho(t) = \frac{A}{a^4(t)}.
\end{equation}
(waarin $A$ een constante is). Op dezelfde manier als eerder, kunnen we de Friedmann vergelijkingen gebruiken om de waarde van de constante $n$ te bepalen, en daarmee een functie voor de druk $p(t)$. Er wordt dan gevonden dat $n = 1/3$, en straling daarom de volgende druk kent:
\begin{equation}
p(t) = \frac{A}{3}\frac{1}{a^4(t)}
\end{equation}
Met behulp van de gevonden uitdrukkingen voor energiedichtheid en druk, kunnen vervolgens de Friedmann vergelijkingen worden  opgeschreven voor het stralinggedomineerde heelal: 
\begin{eqnarray}
a^2(t)\dot{a}^2(t) &=& +\frac{8 \pi G}{3c^2}A \nonumber \\
a^3(t)\ddot{a}(t) &=& -\frac{8 \pi G}{3c^2}A
\end{eqnarray}
De oplossing voor deze vergelijkingen is snel gevonden:
\begin{equation}
a(t) = B \sqrt{t},
\end{equation}
waarin $B$ een integratieconstante is. Deze oplossing vertelt ons dat een heelal gevuld met straling, uitdijt ( $\dot{a}(t) > 0$ ), en dat de uitdijingssnelheid afneemt $ \ddot{a}(t) < 0$), wederom precies zoals we zouden verwachten op basis van het gegeven dat zwaartekracht een aantrekkende invloed uitoefent. Ook is te zien dat de uitdijing van een stralingsgedomineerd heelal sneller gaat dan de uitdijing van een heelal gedomineerd door koude materie. Dit heeft een belangrijke consequentie, waar we dadelijk op zullen terugkomen. \newline
\newline
Tenslotte zullen we een heelal beschouwen dat gevuld is met een energievorm die wij hebben aangeduid met de naam 'kosmologische constante'. Per definitie wordt hiermee een energievorm bedoeld waarvan de energiedichtheid niet afneemt tijdens het uitdijen of inkrimpen van het heelal: $\rho(t)$ zal als een constante worden gekozen:
\begin{equation}
\rho(t) = \rho_c = const.
\end{equation}
Fysisch betekent dit dat deze energievorm niet een gevolg kan zijn van 'normale' materie of straling: voor alle soorten straling en materie geldt immers dat de dichtheid afneemt wanneer het uitgesmeerd wordt over een steeds groter wordend volume. De kosmologische constante kan daarom misschien het best\footnote{Een andere mogelijkheid die is bestudeerd, is dat energie niet behouden is op kosmische schaal: er wordt spontaan materie en/of energie gecreeerd uit het niets, en dit in precies de juiste hoeveelheden om de afname van de dichtheid ten gevolge van het groeien van het volume te compenseren. Deze aanpak is echter niet erg succesvol gebleken, en wordt door weinig kosmologen aangehangen.} worden gezien als een eigenschap van de ruimtetijd \emph{zelf} (en niet van iets \emph{op} de ruimtetijd): een energie die gedragen wordt door de ruimtetijd en daarom niet afhangt van de grootte van de ruimtetijd. Het is een experimenteel feit dat er wel degelijk een energievorm in het heelal aanwezig is dat aan deze eigenschap voldoet: zeker driekwart van \emph{alle} energie, lijkt van deze bijzondere vorm te zijn. We zullen hier later op terugkomen; op dit moment zullen we wederom de Friedmann vergelijkingen gebruiken om uit te rekenen hoe de druk van deze materie eruit ziet. Op dezelfde manier als eerder, kan uit de Friedmann vergelijkingen worden gevonden dat $n=-1$, en dus dat de druk ten gevolge van de kosmologische constante eveneens constant is, en gegeven wordt door:
\begin{equation}
p(t) = -\rho(t) = -\rho_c = const.
\end{equation}
Merk op dat deze druk \emph{negatief} is! Nu druk en dichtheid zijn gevonden, kunnen de Friedmann vergelijkingen gebruikt worden om de schaalfactor uit te rekenen. Zij zijn
\begin{eqnarray}
\left( \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}\right )^2 &=& \frac{8 \pi G}{3c^2}\rho_c  \\
\left( \frac{\ddot{a}(t)}{a(t)}  \right) &=& \frac{8 \pi G}{3c^2}\rho_c 
\end{eqnarray}
De oplossing is eenvoudig te vinden, en is
\begin{equation}
a(t) = a_0e^{\sqrt{\frac{8 \pi G}{3c^4}\rho_c}t},
\end{equation}
waarin $a_0$ een integratieconstante is. De uitdijing van dit heelal is exponentieel, en gaat dientengevolge \emph{steeds sneller}. Merk op hoe dit indruist tegen ons begrip van zwaartekracht: we zouden verwachten dat een aantrekkende kracht de uitdijingssnelheid van het heelal zou afremmen (zoals ook het geval was voor een heelal gevuld met koude materie of straling). Wederom blijkt hier dat de kosmologische constante een bijzonder vreemde soort van energie is! \newline
\newline


\section{Het Standaard Model van de kosmologie}

Het Heelal dijt uit. Dit was een direct gevolg van de Friedmann vergelijkingen, en was bovendien experimenteel geverifieerd.  Dit betekent dat de energiedichtheid van de verschillende energievormen vroeger vele malen groter was dan tegenwoordig. Dit uit zich in een afnemende hoeveelheid energie die deeltjes kunnen uitwisselen. De uitwisselingsenergie van de deeltjes bepaalt in welke mate zij interactie aangaan met andere deeltjes, en zo volgt dat er verschillende maten van interactie hebben plaatsgevonden naarmate het Heelal ouder werd en groeide. \newline
Nu we de schaalfactoren ten gevolge van verschillende soorten energie en materie hebben berekend, kunnen wij ze nu gebruiken om een model te maken van de geschiedenis van het Heelal: wanneer welke fysische processen hebben plaatsgevonden. We zullen hierbij gebruik moeten maken van een aantal verschillende takken van de fysica, zoals de nucleaire fysica, en de atoomfysica. Het resultaat staat bekend als het \emph{Standaard Model van de Kosmologie}. De berekeningen die we nu zullen doen, nemen niet alle subtiele (en belangrijke!) aspecten van het verhaal in beschouwing, maar zullen desondanks tot goede schattingen leiden van de ordes van grootte van de tijden waarop belangrijke gebeurtenissen hebben plaatsgevonden. \newline
\newline
We zullen aannemen dat de interactie tussen verschillende soorten materie altijd heeft plaatsgevonden door uitzending van fotonen of gluonen. Dit is in overeenstemming met onze kennis van de atoom- en nucleaire fysica, die zegt dat, inderdaad, de interactie tussen quarks (voornamelijk) wordt bewerkstelligd door uitzending van gluonen, en de interactie tussen electronen en protonen door uitzending van fotonen. Beide typen deeltjes zijn massaloos, en kunnen we daarom opvatten als straling. De energiedichtheid voor straling in een uitdijend heelal zijn we al tegengekomen: we hadden al gezien dat de energiedichtheid van straling schaalt met $a^{-4}(t)$. De energie per foton\footnote{Net als eerder zullen we, voor het gemak, alleen fotonen bij naam noemen, en in het achterhoofd houden dat de volgende resultaten ook gelden voor gluonen.} is niks anders dan de energiedichtheid maal het volume; de laatste schaalt met $a^3(t)$, en zo volgt dat de energie $E_{foton}$van een enkel foton het volgende verband kent met de schaalfactor:
\begin{equation}
E_{foton} \propto \frac{1}{a(t)}
\end{equation}
Deze relatie geldt zowel in een stralingsgedomineerde- als koude materie gedomineerd Heelal. Het is pas wanneer de specifieke functie voor de schaalfactor wordt ingevuld, dat het verschil tussen beide situaties zichtbaar wordt. Dit leidt tot de volgende functies voor de energieen van een foton in een stralingsgedomineerd heelal ($E_{foton,straling}$ ) en in een materie gedomineerd heelal ($E_{foton,materie}$):
\begin{equation}
E_{foton,straling} = A_{straling} t^{-1/2}, \quad \quad \quad \quad E_{foton, materie}= A_{materie} t^{-2/3}
\end{equation}
Hierin zijn de $A$'s constanten, die nog nader bepaald zullen worden. \newline
Deze twee vergelijkingen zijn de sleutel tot het berekenen van de leeftijd van het Heelal op het moment dat belangrijke fysische gebeurtenissen plaatsvonden. Het enige dat gedaan moet worden, is invullen welke energie de fotonen op dat moment gehad hebben, en dan de bijbehorende tijdstippen uitrekenen. Hiertoe is wel nog wat extra informatie nodig: de constanten $A_{straling}$ en $A_{materie}$ zullen een waarde toegekend moeten worden, en verder moet er een idee zijn van wanneer welk van de twee vergelijkingen gebruikt mag worden. Dit wil zeggen: kunnen we een schatting maken van de leeftijd van het Heelal waarop de invloed ten gevolge van koude materie dominanter werd dan die ten gevolge van straling? \newline
De laatste vraag kunnen we beantwoorden met behulp van een experimenteel gegeven: als er gemeten wordt hoeveel energie er ongeveer per volume-eenheid aan fotonen en aan atomen is in het Heelal, dan wordt er gevonden dat er op dit tijdstip ongeveer 1000 keer meer energiedichtheid ten gevolge van materie is, dan ten gevolge van fotonen:
\begin{equation}
\frac{\rho_{materie}}{\rho_{fotonen}}|_{nu} \approx 1000.
\end{equation}
Linkerkant van deze vergelijking schaalt, volgens Eq.X. en X, met de schaalfactor
\begin{equation}
a(t_{nu}) \propto 1000.
\end{equation}
Er staat hier nu het evenredigheids-teken ($\propto$), omdat we alleen weten dat de dichtheden evenredig zijn met schaalfactoren, maar niet wat de waarden van de evenredigheidsconstanten zijn. Het zal blijken dat we die niet nodig hebben. \newline
Deze vergelijking geldt in het huidige Heelal. We kennen echter ook een dergelijke vergelijking ten tijde van het moment waarop de energiedichtheid ten gevolge van straling even groot was als die ten gevolge van materie: per definitie zijn deze dichtheden dan gelijk:
 \begin{equation}
\frac{\rho_{materie}}{\rho_{fotonen}}|_{omslag} \equiv 1.
\end{equation}
(met het label \emph{omslag} bedoelen we: ten tijde van het omslagpunt van een stralingsgedomineerd Heelal naar een materiegedomineerd Heelal). Ook hier geldt vervolgens weer
\begin{equation}
a(t)_{nu} \propto 1.
\end{equation}
en ook hier geldt dat we alleen weten dat er een evenredigheid is. Maar, en dit is van cruciaal belang: de onbekende evenredigheidsconstante is \emph{dezelfde} als in vergelijking X. Dit betekent dat we de twee vergelijkingen op elkaar kunnen delen en dan vinden
\begin{equation}
a|_{nu} = 1000 \cdot a|_{omslag},
\end{equation}
nu \emph{zonder} evenredigheidsteken; dit wegvallen van evenredigheidsconstanten in de schaalfactoren hadden we al voorspeld in een voetnoot van Sectie X. \newline
Hier staat dat het Heelal ten tijde van het omslagpunt, ongeveer 1000 keer kleiner was dan dat het nu is. Dit is genoeg informatie om het moment van omslagpunt te berekenen: we hoeven alleen maar deze verhouding van schaalfactoren om te zetten in een verhouding tussen de leeftijd van het Heelal nu en tijdens het omslagpunt, en dan de huidige leeftijd van het Heelal in te vullen. De eerste stap kunnen we doen door te bedenken dat in het huidige Heelal de schaalfactor gaat als $\propto t^{2/3}$, en ten tijde van het omslagpunt, bij benadering, eveneens (immers: net \emph{na} het omslagpunt was het Heelal materiegedomineerd geworden). We vinden dan ook de volgende relatie tussen de leeftijd van het Heelal nu, en de leeftijd van het Heelal ten tijde van het omslagpunt:
\begin{equation}
t^{2/3}_{nu} = 1000 t^{2/3}_{omslag} \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad t_{omslag} \approx \frac{t_{nu}}{10^5}.
\end{equation}
Een schatting van de leeftijd van het Heelal hadden we al gevonden in de bespreking van de Wet van Hubble, en gevonden was $t_{nu} \approx 10^{10}$ jaar. Ingevuld geeft dit dat het Heelal op het moment dat het van stralingsgedomineerd overging naar materiegedomineerd, een leeftijd had van ongeveer $10^5$ jaar. \newline
De leeftijd van het Heelal kunnen we ook gebruiken om de constanten $A_{straling}$ en $A_{materie}$ te bepalen. We zullen met de laatste beginnen. Hiertoe gebruiken we weer een experimenteel gegeven: de fotonen die ons vanuit het Heelal bereiken, hebben nagenoeg allemaal\footnote{Zie ook de discussie in Sectie X. Daar werd dit experimentele feit al eerder genoemd, en gebruikt om het Kosmologisch Principe te motiveren.} een temperatuur van ongeveer 2.7 Kelvin. Dit komt overeen\footnote{Het verband tussen energie en temperatuur wordt bepaald door de \emph{Boltzmannconstante} $k_B = 1.4 \cdot 10^{-23}$ J/K.} met een energie van de orde van $10^{-23}$ Joule. Ingevuld in de tweede vergelijking van Eq.X (het Heelal is immers tegenwoordig materiegedomineerd) van X, tezamen met het feit dat het Heelal nu ongeveer $10^{10}$ jaar oud is, wordt de constante $A_{materie}$ vastgelegd. Er wordt gevonden:
\begin{equation}
A_{materie} \approx 10^{-12} J s^{2/3} \approx 10^{-2} GeV s^{2/3}
\end{equation}
We hebben hier de constante omgezet in de eenheid Giga-electroVolt maal seconde$^{2/3}$; dit omdat we dadelijk energieen uit de nucleaire fysica en atoomfysica nodig zullen hebben, en voor deze waarden de eenheid Joule een onhandig grote maat voor de energie is. \newline
Tenslotte zullen we ook de waarde van de constante $A_{straling} $ bepalen. Hiertoe hoeven we ons alleen te realiseren dat op het omslagpunt van het stralingsgedomineerde Heelal naar een materiegedomineerd Heelal, per definitie gold
\begin{equation}
E_{foton,straling}|_{omslag} \equiv E_{foton, materie}|_{omslag}.
\end{equation}
Vergelijking X ingevuld, tezamen met de al gevonden waarde voor $A_{materie}$ en het feit dat ten tijde van het omslagpunt het Heelal ongeveer $10^5$ jaar oud was, geeft dan direct een orde van grootte voor de waarde van de constante $A_{straling}$:
\begin{equation}
A_{straling} \approx 10^{-13} J s^{1/2} \approx 10^{-3} GeV s^{1/2}.
\end{equation}
Hiermee liggen de twee relaties, eq.X, tussen de energie van een foton en de leeftijd van het Heelal geheel vast. We zullen deze nu gaan gebruiken om een idee te krijgen van de geschiedenis van het Heelal, door uit te rekenen wanneer enkele belangrijke fysische gebeurtenissen hebben plaatsgevonden.\newline
\newline
Zoals aangekondigd, gebruiken we hiertoe enige kennis uit de nucleaire en atoomfysica. Deze takken van de natuurkunde vertellen ons namelijk bij welke energieen bepaalde processen plaatsvinden. Als voorbeeld beschouwen we het moment waarop quarks samensmolten tot baryonen (dit moment heeft de naam \emph{Baryogenese}): de nucleaire fysica leert ons dat dit plaatsvond op het moment dat de energie van de gluonen te veel was afgenomen door de uitdijing van het Heelal om de quarks nog de energie te leveren de onderlingen aantrekkingskracht het hoofd te kunnen bieden: dit vond plaats bij een energie van ongeveer $1$ GeV. In welk van de twee vergelijkingen eq.X moeten we deze waarde stoppen: vond Baryogenese plaats in een stralingsgedomineerd Heelal, of een materie-gedomineerd Heelal? Het antwoord is dat het plaatsvond in het stralingsgedomineerde Heelal. Dit kunnen we zien doordat we al gezien hadden dat het omslagpunt plaatsvond toen de leeftijd van het Heelal ongeveer $10^5$ jaar was, en dit via Eq.X overeenkomt met een deeltjesenergie van ongeveer $10^{-5}$ GeV. Dit is veel minder dan de energie tijdens Baryogenese, en dus volgt dat dit proces plaats heeft gevonden in het stralingsgedomineerde Heelal. We moeten daarom nu de eerste vergelijking van eq.X gebruiken om uit te rekenen op welk tijdstip Baryogenese heeft plaatsgevonden. Hiertoe vullen we de energie van $1$ GeV in, en vinden dan een leeftijd van ongeveer $10^{-4}$ seconde. Blijbaar zijn de quarks samengesmolten tot de eerste protonen en neutronen toen het Heelal nog maar een tienduizendste seconde oud was! \newline
Op dezelfde manier zijn de tijdstippen van andere belangrijke fysische processen ook uit te rekenen. Zo leert de quantumvelden theorie ons dat de electromagnetische kracht en de zwakke kernkracht vroeger een aspect waren van een enkele kracht (\emph{elektrozwakke kracht}), en dat zij van elkaar zijn ontkoppeld toen de fotonen een energie hadden van ongeveer $10^3$ GeV, en op dezelfde manier als zojuist voorgerekenend volgt dat het Heelal op dat moment ongeveer $10^{-10}$ seconde oud was. \newline
Een tabel met enkele interessante fysische processen, de bijbehorende energieen, en de daaruitvolgende leeftijden van het Heelal volgt. De gebruikte energieen kunnen worden gevonden in alle studieboeken over nucleaire fysica en atoomfysica. \newline
\newline
\newline
\begin{tabular}{ | l || c | c | r |}
\hline
 Gebeurtenis & Fysische gebeurtenis & Energie per foton & Leeftijd\\
 \hline 
 \hline
  Oerknal & Begin van het Heelal & $\infty$ (?) & 0 s\\
Ontkoppeling &Elektrozwakke kracht onkoppelt& $10^{3}$ GeV & $10^{-10}$ s \\
Baryogenese &Quarks vormen baryonen& $1$ GeV& $10^{-4} $ s \\
Nucleosynthese &Baryonen vormen atoomkernen& $10^{-3}$ GeV & $100$ s \\
Recombinatie & Elektronen binden aan atoomkernen& $10^{-9}$ GeV& $10^5$ jaar \\
Omslag & Heelal wordt materiegedomineerd&  $10^{-9}$ GeV& $10^5$ jaar \\
Het heden &Fotonen hebben energie van 2.7 Kelvin & $10^{-12}$ GeV & $10^{10}$ jaar \\
\hline
\end{tabular} 
\newline
\newline
\newline
Hiermee hebben we een globaal beeld gevormd van de geschiedenis van het Heelal: het Standaard Model van de Kosmologie. We zullen dit nu in woorden samenvatten. \newline
Het Heelal is ongeveer $10^{10}$ jaar oud, en is vanaf zijn ontstaan aan het uitdijen geweest, waardoor de energie per fotonen en gluonen altijd is blijven afnemen. Het is begonnen als stralingsgedomineerd ($a(t) \propto \sqrt{t}$). Quarks smolten samen tot baryonen na ongeveer $10^{-4}$ seconden, baryonen smolten samen tot atoomkernen na ongeveer $100$ seconden, en elektronen bonden zich aan deze atoomkernen na ongeveer $10^5$ jaar. Op ongeveer hetzelfde moment ging het Heelal over van stralingsgedomineerd naar materiegedomineerd ($a(t) \propto t^{3/2}$). In de resterende tijd tot tegenwoordig, zijn de sterren gevormd, nevels, planeten, en leven. \newline
Dit model is nog niet compleet. Zo weten we niet wat er gebeurd is op tijdschalen van de orde van $<10^{-44}$ seconde. De reden is, dat op dat moment de afstandsschalen zo klein geweest zijn dat quantumeffecten een rol hebben moeten spelen in de interactie tussen deeltjes, en wij op dit moment (nog) niet beschikken over een theorie die zulke effecten weet te beschrijven in combinatie met zwaartekracht. Vermoedelijk zal een soortgelijke theorie (\emph{quantumzwaartekracht}) verklaren waar de quarks en elektronen vandaan gekomen zijn, en waarom er meer normale deeltjes zijn dan antideeltjes: in het Standaard Model van de Kosmologie hebben we de aanwezigheid en hoeveelheid van zulke deeltjes als \emph{gegeven} beschouwd. \newline
Verder zijn er redenen om aan te nemen dat het Heelal in zijn allereerste fractie van een seconde een periode heeft gekend van extreme snelle expansie: \emph{inflatie}. Dit is het onderwerp van het volgende Hoofdstuk, en zal daar uitgebreid worden behandeld. \newline
Merk op, tenslotte, dat het experimenteel heel moeilijk is om uitspraken te doen over de geschiedenis van het Heelal van voor Recombinatie ($10^{5} $ jaar). Immers, het is vanaf dat moment geweest dat fotonen, per definitie van Recombinatie, te weinig energie hadden om nog interactie te hebben met atomen (materie), en daarom pas vanaf dat moment vrij konden  rondbewegen. Dit betekent dat het meten aan fotonen ons niet verder terug kan doen kijken dan het tijdstip van Recombinatie. Het is om deze reden dat nieuwe typen telescopen gebruikt worden om het vroege Heelal te bestuderen: telescopen gebaseerd op neutrino's (Antares experiment, KM3-net, etc), of zwaartekrachtsgolven (Virgo/Ligo, Einstein Telescope, etc.).


\chapter{Kosmologische inflatie}

Het Standaard Model van de kosmologie geeft ons een globaal beeld van de evolutie van het heelal, maar kent enkele subtiele, maar ernstige tekortkomingen: er zijn een aantal zaken die nadere verklaring behoeven. In deze sectie zullen we deze nader beschouwen, en vervolgens een oplossing aandragen die al deze tekortkomingen in een klap oplost.\newline

\section{Tekortkomingen van het Standaard Model}

Ten eerste is er het \emph{horizon probleem}. Om dit probleem goed te beschrijven, moet het concept van de \emph{horizon} worden behandeld. De horizon van een waarnemer is de grootste afstand een invloed, elke invloed, gereisd kan hebben om deze waarnemer te bereiken; het is dus een bovenlimiet voor de grootte van de ruimte waarmee de waarnemer nog in causaal contact kan staan. We hadden al gezien dat geen enkele invloed sneller kan gaan dan het licht, en zo volgt dat de horizon van een waarnemer ook de grootte is van het zichtbare heelal van deze waarnemer. \newline
Thermisch evenwicht tussen verschillende gebieden van het heelal kan alleen zijn bewerkstelligd door middel van de fotonen van de kosmische achtergrondstraling. Echter, deze fotonen zijn, zoals we al hadden gezien, ontkoppeld van de materie ongeveer $10^5$ jaar na de Oerknal: na dit moment is het niet meer mogelijk geweest om verschillende gebieden van het heelal in thermisch evenwicht met elkaar te brengen. Tijdens deze ontkoppeling was de horizon van een waarnemer vele malen kleiner dan nu, en we zouden daarom verwachten dat gebieden waarin tegenwoordig fotonen met dezelfde temperatuur worden gevonden, veel kleiner is dan het nu zichtbare heelal. Het tegenovergestelde blijkt waar te zijn: experimentele data laat zien dat ons \emph{hele} zichtbare heelal nagenoeg dezelfde temperatuur heeft (we hadden dit feit eerder al gebruikt om het Kosmologisch Principe te rechtvaardigen). De paradox die hieruit volgt noemen we het horizon probleem. \newline
\newline
Ten tweede is er het \emph{vlakheidsprobleem}. Metingen wijzen uit dat het heelal tegenwoordig een energiedichtheid heeft die nagenoeg gelijk is aan de kritische dichtheid: $\Omega = 1$. We hadden echter al berekend dat de uitdijing van het heelal voorspelt dat de dichtheid van het heelal steeds kleiner dient te worden: $\Omega \rightarrow 0$ als $t $ groter wordt. Dit impliceert dat de dichtheid in het vroege heelal \emph{nog veel dichter} bij de kritische dichtheid heeft gelegen, teneinde de huidige waarde te verklaren. Om een idee te krijgen van hoe dicht de dichtheid $\Omega$ bij de kritische dichtheid moet hebben gelegen in het vroege heelal om de huidige waarde van nagenoeg $1$ te verklaren, zullen we nu een aantal waardes van $\Omega$ uitrekenen ten tijde van een aantal van de epochs die we gezien hebben in het vorige hoofdstuk. Als we de huidige waarde gelijk nemen aan $1$, dan kunnen we de Friedmann vergelijking eq.X gebruiken om terug te rekenen naar deze epochs, door de correcte schaalfactoren $a(t)$ uit Tabel X af te lezen en in te vullen. Bijvoorbeeld, om terug te rekenen naar het moment van Recombinatie, nemen we $a(t) \propto t^{2/3}$, en vinden dan dat $|\Omega-1| \approx 10^{-6}$. Wanneer we nog verder terug gaan in de tijd, deze keer gebruik makend van $a(t) \propto \sqrt{t}$ omdat we nu in het stralingsgedomineerde epoch terecht zijn gekomen, vinden we dat ten tijde van de Baryogenese, $|\Omega-1| \approx 10^{-21}$; nog verder terug in de tijd, vinden we dat ten tijde van de Planck schaal, $|\Omega-1| \approx 10^{-60}$, een extreem kleine waarde! \newline
Dit is het vlakheidsprobleem: via welk mechanisme is de vroegste waarde van de dichtheid van het heelal zo extreem dicht bij de kritische dichtheid komen te liggen? Een eventuele uitvlucht van deze vraag is simpelweg \emph{aan te nemen} dat het heelal altijd al precies vlak is geweest, $|\Omega - 1| \equiv 1$. Dit leidt echter tot de vraag \emph{waarom} het heelal begonnen is met precies de kritische dichtheid. Het Standaard Model van de kosmologie geeft geen antwoord op deze vragen. \newline
\newline
Tenslotte is er het \emph{probleem van de missende deeltjes}. Veel van de moderne theorieen van deeltjesfysica voorspellen het bestaan van exotische, nog niet gemeten deeltjes; voorbeelden zijn supersymmetrische deeltjes en de magnetische monopolen. Deze deeltjes zijn typisch heel zwaar, en zijn daarom moeilijk (danwel praktisch onmogelijk) te creeeren in aardse deeltjesversnellers. Echter, in het heel vroege heelal zijn temperaturen hoog genoeg geweest om de natuurlijke creatie van zulke deeltjes aannemelijk te maken. Geen van deze deeltjes is ooit geobserveerd\footnote{Op zijn minst een enkele keer heeft een onderzoeksgroep geclaimed een magnetische monopool gemeten te hebben, maar het is daarna geen enkele andere onderzoeksgroep ooit gelukt dit resultaat te reproduceren. Veel deeltjesfysici zijn daarom erg sceptisch over het resultaat, en negeren deze claim.}. De vraag is dan ook: als deze deeltjes inderdaad geproduceerd zijn in het erg vroege heelal, waarom zijn ze dan nooit meer teruggevonden?\newline
\newline
Al deze problemen kunnen in een enkele zwik worden opgelost door het Standaard Model van de kosmologie uit te breiden met een nieuw concept: \emph{kosmologische inflatie}. Dit is de aanname dat het heelal, vlak na de Oerknal, een periode heeft gekend van extreme snelle uitdijing. Mathematisch zullen we dit als volgt definieren: ten tijde van inflatie geldt\footnote{Merk op dat een heelal met kosmologische constante precies aan deze definitie voldoet, en dus dat we onze huidige uitdijing als inflatie zouden kunnen bestempelen. We zullen echter de naam inflatie reserveren voor versnelde expansie in het \emph{vroege} heelal.}
\begin{equation}
\dot{a}(t) > 0, \quad \quad \quad \quad \ddot{a}(t) > 0.
\end{equation}
Door inflatie te introduceren, kunnen we de drie tekortkomingen van het Standaard Model oplossen. \newline
Het horizonprobleem wordt opgelost door het feit dat tijdens de inflationaire periode, de schaalfactor $a(t)$ extreem groot wordt. Dit betekent dat een stuk van het heelal waarin thermisch equilibrium al was opgetreden voor de start van de inflatieperiode, opgeblazen wordt tot veel grotere proporties dan de horizon van een waarnemer in dit stuk. Het gevolg is dan ook dat, nadat de inflatieperiode is afgelopen, het zichbare heelal voor deze waarnemer geheel in thermisch equilibrium is; precies zoals we vandaag de dag meten! \newline
Het vlakheidsprobleem wordt opgelost door het feit dat elke ruimte, wanneer opgeblazen tot voldoende grote proporties, vlak lijkt voor een lokale waarnemer. (Dit is volkomen vergelijkbaar met het aardoppervlak, dat zo groot is vergeleken met ons lokale waarnemers, dat het ons overkomt als plat.) We kunnen dit concreet maken met behulp van de Friedmann vergelijkingen voor de dichtheid $\Omega$, eq. X: als we hier de tijdsafgeleide van nemen, vinden we
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left( \Omega-1 \right) = -2k\frac{\ddot{a}(t)}{\dot{a}^3(t)} \le 1
\end{equation}
waar de ongelijkheld geldt in een inflatieperiode, aangezien dan per definitie geldt $\dot{a}(t) > 0$, $\ddot{a}(t) > 0$. Deze ongelijkheid laat ons zien dat tijdens een inflatieperiode, het verschil tussen $\Omega$ en $1$ steeds kleiner wordt. Daarom kan, als de inflatie maar lang genoeg duurt en/of snel genoeg is, $|\Omega -1|$ willekeurig klein worden gemaakt. Inflatie draagt er dus inderdaad zorg voor dat het heelal een dichtheid bereikt die zeer dicht bij de kritische dichtheid kan liggen. Het isgelijk-teken gaat op wanneer het heelal manifest vlak is, $k \equiv 0$, en laat zien dat dan de inflatieperiode hier geen verandering in brengt. \newline
Tenslotte is ook het probleem van de missende deeltjes op een triviale manier opgelost door de introductie van een inflatieperiode. Immers, als het heelal tot enorme proporties is opgeblazen, zullen alle exotische deeltjes die gecreeerd zijn voor de aanvang van de inflatieperiode, worden uitgesmeerd over een zeer groot volume. Dit maakt de kans er een tegen te komen in aardse detectoren bijzonder klein. Uiteraard verklaart inflatie alleen waarom de \emph{aanvankelijke} exotische deeltjes niet gevonden worden, en doet zij geen uitspraak over de deeltjes die eventueel \emph{na} de inflatieperiode gecreeerd zijn. Toch verwachten we niet dat er reden is te verwachten dat zulke latere deeltjes gecreeerd worden. De reden hiervoor is dat, zoals al genoemd, zulke exotische deeltjes typisch heel hoge massa hebben, en het dus heel moeilijk is zulke deeltjes te creeren in een heelal waarin de energiedichtheid afneemt ten gevolge van de expansie. \newline 
\newline

\section{De dynamica van kosmologische inflatie}

We zullen ons nu gaan bezighouden met de vraag hoe kosmische inflatie gerealiseerd kan worden: op welke manier kunnen de Friedmann vergelijkingen toegepast worden om inflatie, eq.X, te bewerkstelligen? Een manier hadden we al gezien in de discussie van de kosmologische constante, waar we hadden geconcludeerd dat een energievorm met constante dichtheid $\rho_c$ en toestandsvergelijking $\rho = -p$ een heelal oplevert dat exponentieel uitdijt. Dit is echter niet de enige mogelijkheid om aan vergelijking X te voldoen. Als we de tweede Friedmannvergelijking beschouwen, zien we dat inflatie optreedt wanneer de rechterkant van deze vergelijking groter is dan nul; in termen van de toestandsvergelijking, betekent dit dat inflatie gevonden wordt voor alle materie of energie die de eigenschap $n < -\frac{1}{3}$ heeft. \newline
Zulke energie wordt in de klassieke natuurkunde niet gevonden. Echter, in de quantum mechanica zijn zulke energievormen wel degelijk te realiseren, door energie te beschrijven in termen van \emph{velden} in plaats van deeltjes. We zullen dan ook nu verder gaan met het definieren van een veld, en dit zodanig te construeren dat het een energiedichtheid en druk kent die voldoen aan een toestandsvergelijking waarin $n < -\frac{1}{3}$. Het is dan vervolgens aan experimentele natuurkunde om uit te maken of dit veld gemeten kan worden. \newline
Het model dat het meest gebruikt wordt, is dat van een scalarveld $\Phi(t)$ dat alleen afhankelijk is van de tijd en niet van de ruimte. Immers, het Kosmologisch Principe suggereert dat alle energie en materie homogeen en isotroop verdeeld dient te zijn, en de keuze voor een vector- of tensorveld is niet in overeenstemming met de eis van isotropie vanwege de rotatie-afhankelijkheid van zulke velden; verder zou een plaatsafhankelijkheid niet in overeenstemming zijn met de eis van homogeniteit.  Een scalarveld kent een Lagrangiaan-dichtheid gegeven door
\begin{equation}
\mathscr{L} = -\frac{1}{2}g^{\mu \nu} \Big(\partial_\mu \Phi(t) \Big) \Big(\partial_\nu \Phi(t) \Big)-V\Big(\Phi(t) \Big)
\end{equation}
 waar in het huidige geval, alle ruimtelijke afgeleiden geen bijdragen leveren. Bij elke Lagrangiaan-dichtheid hoort een actie $S$, gegeven door
 \begin{equation}
 S = \int d^3xdt \sqrt{-g} \mathscr{L}
 \end{equation}
waarin, zoals eerder beargumenteerd, $g$ de determinant is van de metriek; in het huidige geval gebruiken we de vlakke Robertson-Walker metriek, eq.X, en is de determinant daarom gegeven door
\begin{equation}
g = -a^6(t).
\end{equation}
Via de Euler-Lagrange vergelijkingen kunnen we nu de bewegingsvergelijking voor het scalarveld $\Phi(t)$ afleiden. Dit is een wat lange berekening, maar relatief eenvoudig aangezien het veld louter van de tijd afhangt, en het resultaat is dan ook snel gevonden. Het scalarveld $\Phi(t)$ evolueert in de tijd volgens de bewegingsvergelijking
\begin{equation}
\ddot{\Phi}(t)+3 \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} \dot{\Phi}(t)+c^2 \partial_\Phi V\Big( \Phi(t) \Big) = 0 
\end{equation}
Merk op dat de details van de evolutie van het scalarveld afhangen van de potentiele energiedichtheid $V \big( \Phi(t) \big)$; de verschillende soorten modellen van kosmische inflatie worden dan ook gekenmerkt door de keuze van deze grootheid. We zullen hier nog niet in detail op in gaan; in alles wat volgt zullen we geen aannames maken voor de vorm van $V \big( \Phi(t) \big)$, en dientengevolge blijven al onze volgende conclusies zo algemeen mogelijk. \newline
Elke Lagrangiaandichtheid leidt tot een energietensor op de volgende manier
\begin{equation}
T_{\mu \nu} = \Big( \partial_\mu \Phi \Big) \Big( \partial_\nu \Phi \Big) + g_{\mu \nu} \mathscr{L}
\end{equation}
Deze uitdrukking kunnen we gebruiken om de druk en dichtheid ten gevolge van het scalarveld berekenen. Hiertoe vullen we onze huidige Lagrangiaandichtheid en metriek in, en vergelijken we de resulterende energietensor met die van de Friedmann vloeistof, eq.X. De uitdrukkingen voor de dichtheid en druk kunnen dan direct worden afgelezen, en gevonden wordt dat deze gegeven zijn door
\begin{eqnarray}
\rho(t) &=& \frac{1}{2} \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)+V\big( \Phi(t) \big) \\
p(t) &=& \frac{1}{2} \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)-V\big( \Phi(t) \big) 
\end{eqnarray}
Merk op dat de eerste term gezien kan worden als de kinetische energiedichtheid van het scalarveld, en de tweede term als de potentiele energiedichtheid; de uitdrukking voor de dichtheid $\rho$ van de \emph{totale} energie klopt dan ook precies met wat we zouden verwachten\footnote{De uitdrukkingen voor de dichtheid en druk hadden ook gevonden kunnen worden door te \emph{gokken} dat $\rho$ deze vorm zou hebben, en daarna, zoals voorgedaan was in Sectie X, de Friedmann vergelijkingen te gebruiken om de bijbehorende druk te vinden.}. \newline
\newline
We beschouwen nu een heelal dat, in zijn vroegste epochs, gevuld is met de gebruikelijke soorten energie: koude materie, straling, een kosmologische constante, en voegen nu  eveneens een inflaton veld toe. Al deze invloeden bepalen, via de Friedmann vergelijkingen, de mate waarin de schaalfactor evolueert in de tijd. Als de invloed van het inflaton veld het grootst is, zal het heelal een periode ingaan van exponentionele uitdijing. Het gevolg is dan, dat de andere invloeden vrijwel meteen verwaarloosd kunnen worden. Immers, de energiedichtheid en druk van een gebruikelijke vorm van energie en materie, is evenredig met de inverse van de schaalfactor tot een bepaalde macht (zie Tabel X), en zullen daarom asymptotisch (en, voor typische inflatiemodellen, heel snel) naar nul gaan. Alle termen in de Friedmannvergelijkingen die evenredig zijn met druk en dichtheid kunnen we daarom negeren bij de beschrijving van het heelal in een inflationaire periode. Dit geldt eveneens voor de krommingsterm $-k/a^2(t)$ (dit is fysisch, natuurlijk, een van de redenen geweest om een inflatieperiode te postuleren: het verklaren waarom het heelal eruitziet alsof het vlak is, $k=0$). Al met al is nu gevonden dat we het heelal in een inflatieperiode kunnen beschrijven door de Friedmann vergelijking met daarin louter de invloed van het inflaton veld gesubstitueerd, en, uiteraard, de bewegingsvergelijking voor dat inflaton veld, eq.X. De resulterende set bewegingsvergelijkingen noemen we de \emph{inflatie vergelijkingen} 
\begin{eqnarray}
\ddot{\Phi}(t)+3H(t) \Phi(t)+c^2\partial_\Phi V\big( \Phi(t) \big) = 0 \\
H^2(t) = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \Big( \frac{1}{2}\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)+V \big( \Phi(t) \big)  \Big)
\end{eqnarray}
Het doen van inflatiekosmologie kunnen we nu samenvatten als volgt: beargumenteer een vorm voor de potentiele energiedichtheid $V\big( \Phi(t) \big)$, substitueer deze in de inflatie vergelijkingen, en los de resulterende set bewegingsvergelijkingen op om de expliciete vorm voor de schaalfactor $a(t)$ en het inflaton veld $\Phi(t)$ te vinden.  \newline\
Merk op dat het niet gegarandeerd is dat een gevonden oplossing $a(t), \Phi(t)$ inderdaad inflatie ($\dot{a}(t)>0, \ddot{a}(t) >0$) beschrijft, voor elke willekeurige vorm voor de potentiele energiedichtheid $V(\Phi(t))$. In de volgende sectie zullen we daarom criteria afleiden die, mits voldaan, inflatie zullen garanderen.

\section{De Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen}

Nu deze uitdrukkingen gevonden zijn, kunnen we ons buigen over de vraag op welke manier een scalarveld gebruikt kan worden om inflatie te realiseren. Dit is geen triviale vraag: we hadden al gezien dat inflatie volgt wanneer dichtheid en druk leiden tot een toestandsvergelijking met $n< -\frac{1}{3}$, maar beide grootheden hangen op een niet-triviale manier af van de waarde van het scalarveld $\Phi(t)$, welke zelf weer gedicteerd wordt door de bewegingsvergelijking X. Het is om deze reden dat men op dit moment vaak de \emph{aanname van langzame evolutie}\footnote{In het Engels: de \emph{Slow Roll Condition}.} maakt: aangenomen wordt dat het scalarveld heel langzaam evolueert in de tijd, zodanig dat we mogen aannemen dat de eerste termen in de uitdrukkingen voor de dichtheid en druk veel kleiner zijn dan de tweede termen (fysisch gezien betekent dit dat de kinetische energie van het veld veel kleiner is dan de potentiele energie). 
\begin{equation}
\frac{1}{2} \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t) << V\big( \Phi(t) \big)
\end{equation}
Er geldt dan dus
\begin{eqnarray}
\rho(t) &\approx& +V\big( \Phi(t) \big) \\
p(t) &\approx& -V\big( \Phi(t) \big)
\end{eqnarray}
Merk op dat, onder deze aanname, de toestandsvergelijking de waarde $n =  -1$ heeft gekregen, en dit voor alle keuzes voor de potentiele energie $V\big( \Phi(t) \big)$. In Sectie X hadden we al gezien dat deze waarde van $n$ leidt tot exponentiele expansie van het heelal, en zo is gevonden dat, onder de aanname van langzame evolutie, exponentiele inflatie gevonden wordt \emph{ongeacht de details van het model}. Het scalarveld zullen we in het vervolg dan ook aanduiden met de naam \emph{inflaton veld}; de deeltjes die we aan dit veld kunnen toekennen heten \emph{inflatonen}. \newline
We zullen verder aannemen dat $\ddot{\Phi}(t)$ veel kleiner is dan $3H\dot{\Phi}(t)$, zodat we de eerste term in Eq.Q kunnen verwaarlozen; fysisch betekent deze aanname dat we ervanuitgaan dat $\dot{\Phi}(t)$ maar heel langzaam van waarde verandert. Dit is een nodige voorwaarde, want het zegt effectief dat de kinetische energiedichtheid van het inflaton lang klein blijft, en daarmee voorkomt dat inflatie te snel ten einde komt. \newline
Onder deze aannames zien de Inflatie Vergelijkingen er eenvoudiger uit:
\begin{eqnarray}
3H(t)\dot{\Phi}(t)  + c^2\partial_\Phi V \big( \Phi(t) \big) &=& 0 \\
 H^2(t) - \frac{8 \pi G}{3c^2} V\left( \Phi(t) \right) &=& 0
\end{eqnarray}
Deze zullen we de \emph{Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen} (VIV) noemen. We zullen deze gaan oplossen dadelijk. Eerst zullen we twee belangrijke parameters afleiden die ons zeggen wanneer we deze aannames mogen gebruiken. Samengevat zeggen gelden de VIV alleen zolang aan
\begin{equation}
(i). \quad \frac{\frac{1}{2}\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)}{V\big(\Phi(t) \big)} << 1, \quad \quad \quad (ii). \quad \frac{\ddot{\Phi}(t)}{3H(t) \dot{\Phi}(t)} << 1
\end{equation}
voldaan is. Beide eisen kunnen worden herschreven met behulp van de twee VIV zelf, en zo in een vorm worden gegoten waarin alleen de potentiele energiedichtheid $V\big( \Phi(t) \big)$ voorkomt. Dit maakt het makkelijk om voor een gegeven inflatiemodel snel te zien of de vereenvoudigde inflatievergelijkingen gebruikt mogen worden. \newline
De eerste eis kan worden herschreven als volgt
\begin{eqnarray}
\frac{\frac{1}{2}\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}^2(t)}{V\big((\Phi(t) \big)} &=& \frac{1}{18H^2(t)} \frac{\big( \partial_\Phi V (\Phi(t) )\big)^2}{V(\Phi(t))} \nonumber \\
&=& \frac{1}{6} \frac{c^4}{8 \pi G} \left( \frac{\partial_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right)^2 \quad << 1,
\end{eqnarray}
waar in de eerste stap de eerste VIV is gebruikt, en in de tweede stap de tweede. We definieren nu de inflatieparameter $\epsilon$ als volgt
\begin{equation}
\epsilon \equiv \frac{1}{6} \frac{c^4}{8 \pi G} \left( \frac{\partial_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right)^2
\end{equation}
en zoals nu gebleken is, moet deze veel kleiner zijn dan $1$ om de eerste van de twee VIV te mogen gebruiken. De fysische interpretatie van de parameter $\epsilon$ is snel af te lezen: $\epsilon$ is een maat voor de steilheid van de functie $V(\Phi(t))$, en de eis dat deze parameter heel klein is, zegt dus dat we aannemen dat $V(\Phi(t))$ heel vlak is. De parameter heeft ook een heel andere betekenis, die we kunnen vinden door op te merken dat de VIV kunnen worden gebruikt om aan te tonen dat 
\begin{equation}
-\frac{\dot{H}(t)}{H^2(t)} = \frac{1}{3}\epsilon
\end{equation}
Als $\epsilon << 1$ geldt dat de linkerkant van deze vergelijking veel kleiner is dan $1$. Dit is niks anders dan zeggen dat er inflatie aan de gang is, en dit kunnen we zien als volgt. De definitie van de Hubble constante, $H(t) \equiv \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$ zegt dat deze vergelijking geschreven kan worden als
\begin{equation}
1- \frac{\ddot{a(t)}a(t)}{\dot{a}^2(t)} = \frac{1}{3}\epsilon << 1 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \frac{\ddot{a}(t)a(t)}{\dot{a}^2(t)} >> 0.
\end{equation}
en de ongelijkheid garandeert dat $\ddot{a}(t) >> 0 $: versnelde uitdijing van het heelal. De conclusie is dan ook dat de eis $\epsilon << 1$ niet alleen betekent dat de Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen gebruikt mogen worden, maar ook dat inflatie gegarandeerd is. De laatste opmerking verklaart de naam \emph{inflatieparameter}. \newline
De tweede eis (ii) kan eveneens worden herschreven
\begin{eqnarray}
\frac{\ddot{\Phi}(t)}{3H(t) \dot{\Phi}(t)} &=& -\frac{1}{9H^2(t)} \left( c^2 \partial^2_\Phi V(\Phi(t)) + 3 \dot{H}(t) \right) \nonumber \\
&=& -\frac{c^4}{24 \pi G} \frac{\partial^2_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} - \frac{\dot{H}(t)}{3H^2(t)} \quad << 1,
\end{eqnarray}
waarin in de eerste stap de tijdsafgeleide van de eerste VIV is gebruikt, en in de tweede stap de tweede VIV is gebruikt samen met Eq.X. Als we nu de eis op parameter $\epsilon$ gebruiken, zien we dat de tweede term genegeerd kan worden; we definieren dan een parameter $\eta$ als volgt:
\begin{equation}
\eta \equiv -\frac{c^4}{24 \pi G} \frac{\partial^2_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))}\end{equation}
en er is dan nu gebleken dat deze veel kleiner moet zijn dan $1$ om de tweede van de VIV te mogen gebruiken. De fysische interpretatie van de parameter $\eta$ is snel in te zien: $\eta$ is een maat voor de snelheid waarmee $V(\Phi(t))$ van steilheid verandert, en de eis dat deze parameter klein is zegt dat we aannemen dat $V(\Phi(t))$ lang vlak \emph{blijft}. \newline
Dit alles maakt dat we kunnen concluderen dat we de VIV kunnen gebruiken om inflatie te beschrijven voor elke keuze voor de potentiele energiedichtheid $V(\Phi(t))$, mits het maar een functie is die erg vlak is ($\epsilon << 1$) en langere tijd vlak blijft ($\eta <<1$). Deze eis \emph{garandeert} bovendien dat exponentiele inflatie het gevolg is.

\section{Een voorbeeld van een inflatiemodel}

We zullen nu de Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen oplossen voor een zeker geval. We zullen het geval beschouwen van een \emph{massief} inflatonveld, oftewel een quantumveld dat opgebouwd is uit deeltjes met massa $m$. Uit de veldentheorie is bekend\footnote{Please to put here Klein Gordon equation: it shows that this Lagrangian gives a KG equation that would also have been found if the energie equation would have been quantized } dat een tijdsafhankelijk scalarveld met een massa $m$ de volgende Lagrangiaandichtheid kent:
\begin{equation}
\mathscr{L} = -\frac{1}{2}\dot{\Phi}^2(t)-\frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2(t)
\end{equation}
waarin $\hbar$ de constante van Planck is. We kunnen hier aflezen dat de potentiele energiedichtheid $V(\Phi(t))$ van dit veld gegeven wordt door
\begin{equation}
V(\Phi(t)) = \frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2(t)
\end{equation}
en de VIV nemen dan ook de volgende vorm aan:
\begin{eqnarray}
3H(t)\dot{\Phi}(t)+m^2 \left( \frac{c^4}{\hbar^2} \right)\Phi(t) &=& 0 \\
H^2(t) - \frac{8 \pi G}{6} \frac{m^2}{\hbar^2}\Phi(t) &=& 0
\end{eqnarray}
Dit zijn twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen: de oplossing van de een beinvloedt direct die van de ander, en vice versa. Het is vaak een hele uitdaging om zulke systemen van gekoppelde differentiaalvergelijkingen op te lossen, maar in dit geval blijkt het niet zo moeilijk te zijn. De truuk is om de afhankelijkheid van een vergelijking te gebruiken om die van de ander te elimineren. In dit geval kan dat als volgt: wanneer we de wortel nemen van de tweede VIV, vinden we een uitdrukking voor de Hubble constante $H(t)$,
\begin{equation}
H(t) = \pm \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \frac{m}{\hbar} \Phi(t)
\end{equation}
(het $\pm$-teken is het gevolg van het nemen van een wortel; we zullen dadelijk uitmaken welk van de twee tekens gekozen dient te worden om inflatie correct te beschrijven), en deze constante kunnen we gebruiken om de eerste van de VIV onafhankelijk te maken van $H(t)$. Ingevuld in eq.X krijgen we namelijk nu een differentiaalvergelijking die alleen nog maar van $\Phi(t)$ afhangt:
\begin{equation}
\pm 3 \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi(t) \dot{\Phi}(t)+m^2 \frac{c^4}{\hbar^2}\Phi(t) = 0
\end{equation}
We kunnen vervolgens veilig $m \Phi(t)$ wegdelen aan beide kanten, en vinden dan:
\begin{equation}
\dot{\Phi}(t) \pm \frac{mc^4}{3\hbar} \sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}  = 0.
\end{equation}
De overgebleven differentiaalvergelijking is makkelijk op te lossen: we zijn op zoek naar een functie die, wanneer gedifferentieerd, een constante oplevert: een lineaire functie! De oplossing is dan ook
\begin{equation}
\Phi(t) = \Phi_0 \mp \frac{mc^4}{3\hbar}\sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}t
\end{equation}
Hierin is $\Phi_0$ een constante; het is duidelijk dat dit de waarde is van het inflatonveld op het begin van zijn tijdsevolutie (dus als $t=0$ ). We hebben nu een van de twee gezochte functies gevonden. De volgende stap is om een uitdrukking te vinden voor de schaalfactor $a(t)$. Dit kunnen we doen door de tweede VIV te gebruiken, en hierin ons gevonden antwoord voor het inflatonveld te substitueren. De VIV ziet er dan als volgt uit:
\begin{eqnarray}
H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} &=& \pm \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \frac{m}{\hbar} \left( \Phi_0 \mp \frac{mc^4}{3\hbar}\sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}t   \right) \nonumber \\
&=& \pm \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar} \Phi_0-\frac{m^2 c^4}{3 \hbar^2}t
\end{eqnarray}
We zijn nu op het punt aangekomen dat we een uitspraak kunnen doen over welk van de twee tekens te kiezen: het onderste of het bovenste teken van de $\pm$ of $\mp$. Willen we een \emph{uitdijjend} heelal beschrijven, dan zal per definitie moeten gelden dat $\dot{a}(t)>0$. Aan de vergelijking X is te zien dat dit zeker niet het geval kan zijn als het onderste teken gekozen wordt, omdat dan voor alle tijdstippen volgt dat $H(t)<0$. We zullen daarom vanaf nu het bovenste teken kiezen. Merk op dat met deze keuze het nog steeds niet \emph{gegarandeerd} is dat $\dot{a}(t)>0$: de rechterkant van de vergelijking X kan nog altijd negatief zijn voor bepaalde tijden $t$. We zullen hier later op terugkomen; voor nu is het alleen van belang op te merken dat de gemaakte keuze in ieder geval de \emph{mogelijkheid} biedt om $\dot{a}(t) >0$ te vinden. \newline
We zullen nu proberen de differentiaalvergelijking X op te lossen. Met de gemaakte keuze voor het teken, is de vergelijking te schrijven als:
\begin{equation}
\dot{a}(t) = \left(\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar} \Phi_0-\frac{m^2c^4}{3\hbar^2}t\right)a(t)
\end{equation}
Het is bij deze iets moeilijker om direct in te zien hoe de oplossing gekozen moet worden. Toch kunnen we dit doen door stap voor stap te kijken hoe de oplossing er ongeveer uit zou moeten zien. Ten eerste is te zien dat de oplossing zodanig moet zijn, dat de afgeleide ervan ongeveer de functie zelf weer oplevert. Een e-macht lijkt voor de hand te liggen, maar is niet genoeg: de afgeleide moet namelijk ook nog een lineaire functie in $t$ opleveren! De exponent van de e-macht zou daarom een \emph{kwadraat} van een lineaire functie moeten zijn: via de kettingregel van differentieren geeft dit dan precies een lineaire functie terug. We gokken daarom ook de volgende oplossing:
\begin{equation}
a(t) = e^{-(\kappa+\lambda t)^2}
\end{equation}
en laten hierin de constanten $\kappa$ en $\lambda$ nog even vrij; we gaan nu op zoek naar waarden voor deze constanten zodanig dat de gegokte oplossing de VIV inderdaad oplost. Vul hiertoe de VIV in, en er wordt gevonden:
\begin{equation}
-2\kappa \lambda -2 \lambda^2 t =   \sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar} \Phi_0-\frac{m^2c^4}{3\hbar^2}t
\end{equation}
We kunnen nu direct aflezen voor welke waarden van $\kappa$ en $\lambda$ deze vergelijking klopt: blijkbaar moeten we kiezen:
\begin{equation}
\kappa = \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2}\Phi_0 , \quad \quad \quad \lambda = \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}
\end{equation}
Hiermee is gevonden dat onze gegokte functie voor $a(t)$ inderdaad een oplossing is van de VIV eq.X, mits wij de constanten $\kappa$ en $\lambda$ maar kiezen als in Eq.X. Hiermee hebben we dus de oplossing voor $a(t)$ gevonden, en tezamen met de gevonden uitdrukking voor het inflatonveld $\Phi(t)$ is het gehele probleem opgelost. De oplossing schrijven we hier nogmaals op:
\begin{eqnarray}
\Phi(t) &=& \Phi_0 - \frac{mc^4}{3\hbar}\sqrt{\frac{6}{8 \pi G}}t \\
a(t) &=& e^{-\left( - \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2} \Phi_0 +  \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}t \right)^2}
\end{eqnarray}
Tot zover de wiskunde; we zullen nu overgaan tot het fysisch interpreteren van deze functies. \newline
Wat de oplossing voor het inflatonveld betreft: we hebben nu gevonden dat deze daalt in de tijd. Maar daalt hij langzaam genoeg? We hadden immers gezien dat versnelde uitdijing volgt wanneer de functie $V(\Phi(t))$, hier $\Phi^2(t)$, een langzaam dalende functie in de tijd is. Is dat hier het geval? Verder zegt de oplossing voor de schaalfactor iets eigenaardigs: in de exponent van de e-macht zien we \emph{minus} een kwadraat staan, en dit betekent dat de schaalfactor \emph{krimpt} in de tijd! Dit zou een inkrimpend heelal betekenen, en zeker geen inflatie. Bovendien hadden we in de vorige sectie gezien dat de VIV altijd een exponentieel uitdijend heelal zouden moeten opleveren (dit wil zeggen: de exponent zou lineair moeten zijn, waar we hier een kwadratische exponent hebben gevonden). \newline
De reden dat we op deze vreemde resultaten uitkomen, is omdat we nog niet de twee voorwaarden voor het gebruik van de VIV hebben toegepast: $\epsilon << 1$ en $\eta << 1$. We mogen daarom niet verwachten dat de resultaten van het gebruik van de VIV hier gevonden zouden worden. We zullen daarom nu de twee voorwaarden voor het gebruik van de VIVs expliciet gebruiken om onze gevonden oplossing te herinterpreteren. \newline
Zoals we gezien hadden in de vorige sectie, is inflatie alleen gegarandeerd als de inflatieparameter $\epsilon$ veel kleiner is dan 1 (zie vergelijking X), We zullen daarom de definitie van de inflatieparameter invullen:
\begin{eqnarray}
\epsilon &\equiv& \frac{1}{6} \frac{3c^4}{8 \pi G} \left( \frac{\partial_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right)^2 \nonumber \\
&=& \frac{c^4}{12 \pi G} \frac{1}{\Phi^2(t)} << 1
\end{eqnarray}
Als aan deze conditie is voldaan, is inflatie gegarandeerd. Wat de parameter $\eta$ betreft, deze blijkt in dit geval aan dezelfde conditie te moeten voldoen:
\begin{eqnarray}
\eta &\equiv& -\frac{c^4}{24 \pi G} \left( \frac{\partial^2_\Phi V(\Phi(t))}{V(\Phi(t))} \right) \nonumber \\
&=& -\frac{c^4}{12 \pi G} \frac{1}{\Phi^2(t)} \nonumber \\
&=& -\epsilon
\end{eqnarray}
Dit betekent dat als we kunnen aantonen dat een van de twee parameters, zeg: $\epsilon$, veel kleiner is dan $1$, de ander dat ook is. We zullen nu uitzoeken wanneer dit het geval is. Hiertoe vullen we de gevonden uitdrukking voor het inflatonveld in en nemen we de wortel van beide kanten. We vinden dan dat we de conditie kunnen schrijven als
\begin{equation}
t << \frac{3 \hbar}{m c^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\Phi_0-\frac{\hbar}{mc^2}
\end{equation}
Dit levert een tijdslimiet op: alleen zolang er niet meer tijd verstreken is dan deze $t$, zal inflatie blijven aanhouden. Maar het zegt meer: als we aannemen dat inflatie nog niet tot dit tijdstip geduurd heeft, dan geldt eveneens dat
\begin{equation}
t << \frac{3 \hbar}{m c^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\Phi_0
\end{equation}
Dit tijdstip noemen we $t_{eind}$: vanaf ongeveer dit tijdstip zal inflatie ophouden.
\begin{equation}
t_{eind} \equiv \frac{3 \hbar}{m c^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\Phi_0
\end{equation}
En dit kunnen we gebruiken om de oplossing voor de schaalfactor te herinterpreteren. Immers, de exponent van eq.X uitgeschreven levert op
\begin{equation}
-\left( - \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2} \Phi_0 +  \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}t \right)^2 = -\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi^2_0+\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi_0 t-\frac{m^2c^4}{6\hbar^2}t^2
\end{equation}
De eerste term hiervan is een constante, en levert daarom slechts een extra factor op in de uitdrukking voor de schaalfactor. De twee andere termen zijn te vereenvoudigen met behulp van onze inflatievoorwaarde eq.X: deze zegt dat de laatste term veel kleiner is dan de middelste, en daarom verwaarloosd kan worden zolang $t << t_{eind}$. Het gevolg is dat de exponent vereenvoudigt tot:
\begin{equation}
-\left( - \frac{\sqrt{8 \pi G}}{2c^2} \Phi_0 +  \frac{mc^2}{\hbar \sqrt{6}}t \right)^2 \approx -\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi^2_0+\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi_0 t
\end{equation}
Wanneer teruggesubstitueerd in de uitdrukking voor de schaalfactor, vinden we
\begin{equation}
a(t) = e^{-\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi_0^2} \cdot e^{+\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}}\frac{m}{\hbar}\Phi_0 t}
\end{equation}
wat nu we degelijk een stijgende functie in de tijd is: inflatie! Zo zien we dat de VIV, inderdaad, precies het gedrag opleveren dat we in de vorige sectie al voorspeld hadden. \newline \newline
Om dit voorbeeld af te sluiten, zullen we de gevonden resultaten gebruiken om getallen toe te kennen aan ons model van het massieve inflatonveld. Hiertoe nemen we enkele waarden voor de grootheden $m$ en $\Phi_0$, zoals deze in de literatuur gebruikelijk zijn\footnote{Er zijn meerdere theoretische en experimentele redenen om aan te nemen dat deze waarden nodig zijn om ons huidige Heelal uit de inflatieperiode te doen komen, maar de afleiding hiervan is geavanceerd en wordt daarom in dit college overgeslagen.}:
\begin{equation}
m \approx 10^{13} \frac{GeV}{c^2} \approx 10^{-14} kg, \quad \quad \quad \quad \Phi_0 \approx 10^{23} \frac{\sqrt{m\cdot kg}}{s}
\end{equation}
Deze waarden ingevuld in de gevonden uitdrukking voor de tijdsduur $t_{eind}$, levert op dat inflatie ongeveer $t \approx 10^{-35}$ heeft geduurd. Dit is een onvoorstelbaar korte tijd, maar de expansie van het Heelal is desondanks enorm geweest. Dit kunnen we uitrekenen door de schaalfactor op het begin van inflatie (gegeven door Eq.X, met $t = 0$) te vergelijken met de waarde van de schaalfactor op het eind van inflatie (gegeven door Eq.X; met de eindtijd $t_{eind}$ ingevuld is deze $a(eind) = e^0$). Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
\frac{a(eind)}{a(begin)} = e^{\frac{8 \pi G}{4c^4} \Phi^2_0} 
\end{equation}
Door van beide kanten de logaritme te nemen, en de waarden van $m$ en $\Phi_0$ in te vullen, wordt gevonden hoeveel e-machten groter het Heelal is geworden tijdens de inflatieperiode van ons model. Er wordt dan gevonden dat het Heelal een orde van tientallen e-machten groter is gegroeid. Dit is een gigantische expansie, in een enorm korte tijd: inflatie!

\section{Het afbreken van de inflatieperiode}

Het is niet wenselijk dat inflatie voor altijd doorgaat. Dit zou namelijk een heelal opleveren dat extreem leeg en ijl is, omdat alle materie en energie zou worden uitgesmeerd over een enorm groot (en altijd doorgroeiend) volume. Baryogenese, nucleosynthese, en recombinatie zouden nooit plaatsvinden, laat staan de vorming van sterren, planeten, en leven. Het feit dat wij bestaan is een duidelijk signaal dat kosmische inflatie slechts een eindige hoeveelheid tijd heeft plaatsgevonden. Bovendien zou de expansiesnelheid onderhand een vrijwel oneindig grote waarde hebben aangenomen, en dat is duidelijk niet in overeenstemming met onze metingen. Het is dan ook zaak om een mechanisme te vinden waarmee de inflatieperiode werd gestopt. Ook moet dit mechanisme er zorg voor dragen dat, op het eind van de inflatieperiode, het heelal zich opnieuw gevuld heeft met fotonen zodat het stralingsgedomineerd is geworden, en zo aansluiting vindt bij het Standaard Model van de Kosmologie uit Sectie X. \newline
Deze twee voorwaarden kunnen beide in de inflatiemodellen worden opgenomen door gebruik te maken van de quantummechanische eigenschappen van het inflatonveld. De quantumvelden theorie leert ons dat elk veld een mate kent van interactie met andere quantumvelden, en dat deze interactie bepaalt hoe snel de quanta (deeltjes) van het ene veld over kunnen gaan in die van het andere veld. Het zou dan ook mogelijk moeten zijn om de dynamica van het inflaton veld $\Phi(t)$ zodanig uit te breiden, dat het in rekening neemt dat het inflaton veld vervalt naar nieuwe deeltjes die, via een of andere keten van vervalsprodukten, fotonen opleveren. Tijdens een inflatieperiode zal deze uitbreiding weinig uitmaken op de evolutie van het heelal: de gecreeerde fotonen vullen de Friedmann vergelijkingen weliswaar aan met een extra energiedichtheid en druk ten gevolge van straling, maar deze schalen met $a^{-4}$ en gaan daarom meteen naar nul tijdens een periode van extreme uitdijing. Fysisch betekent dit dat er weliswaar fotonen worden gecreeerd, maar dat deze worden uitgesmeerd over een extreem groot volume, en daarom een verwaarloosbare energiedichtheid hebben. Echter, als we een manier kunnen bedenken om de extreme expansie te stoppen, krijgt de omzetting van inflatonen naar fotonen een kans om groot genoeg te worden om de evolutie van het heelal te gaan domineren. Wanneer alle inflatonen zijn vervallen naar (uiteindelijk) fotonen, zal het heelal vanaf dat moment stralingsgedomineerd zijn. Het Standaard Model van de kosmologie uit Sectie X kan dan de evolutie overnemen. \newline
\newline
Het is niet eenvoudig om de quantumvelden theorie te gebruiken om het verval van inflatonen naar andere deeltjes te beschrijven; dit heeft er voornamelijk mee te maken dat er zeer weinig bekend is over het gedrag van quantumvelden in andere tijdruimten dan Minkowksi. Het is echter wel mogelijk een kwalitatieve beschrijving te geven, en dit zullen we dan ook nu gaan doen voor het meest conventionele model voor de overgang van inflatonen naar fotonen. \newline
In woorden zegt dit model het volgende: in de potentiele energiedichtheid $V\big( \Phi(t) \big)$ van het inflaton veld bevindt zich ergens een diepe en steile dip. Wanneer het inflatonveld bij deze dip is aangekomen, zal het zijn potentiele energiedichtheid omzetten in kinetische energiedichtheid (op dezelfde manier als een knikker zijn potentiele energie omzet in kinetische energie wanneer die in een put rolt); er geldt dan niet meer dat de inflatieparameter $\epsilon$ veel kleiner is dan $1$ en inflatie houdt dan op. Omdat het heelal dan stopt met zijn extreem snelle uitdijing, zullen fotonen die vanaf dat moment worden gecreeerd uit het verval van het inflatonveld, niet meer worden uitgesmeerd over een enorm groot volume. De stralings energiedichtheid ten gevolge van fotonen heeft dan de kans om te groeien, en op den duur de dichtheid ten gevolge van het inflatonveld hebben over te nemen. Op dat moment is het heelal stralingsgedomineerd geworden, en kan het Standaard Model van de Kosmologie de beschrijving van de evolutie overnemen. Dit model staat bekend onder de naam \emph{Verhittingsfase}\footnote{Engels: \emph{reheating}.} \newline
\newline
De dynamica van de verhittingsfase kan niet meer beschreven worden door de Vereenvoudigde Inflatie Vergelijkingen, omdat tijdens deze fase niet meer geldt dat $\epsilon << 1$ en $\eta << 1$. We zullen dus terug moeten gaan naar de oorspronkelijke inflatievergelijkingen, eq.X. Deze voldoen echter ook nog niet helemaal, omdat ze geen rekening houden met de afname van het inflatonveld naar fotonen, of met het feit dat er een groeiende energiedichtheid is ten gevolge van straling. We kunnen dit echter met de hand inbouwen. Ten eerste zullen we aan de eerste inflatonvergelijking een extra term moeten toevoegen, die de extra afname van inflaton veldsterkte beschrijft ten gevolge van het verval naar andere deeltjes. We zullen aannemen dat de afname van de veldsterkte goed beschreven wordt door een term evenredig met de tijdsafgeleide van de veldsterkte, zoals ook de wrijvingskracht op een knikker in een put wordt beschreven als evenredig met de snelheid van de knikker. Deze analogie is uiteraard geen \emph{bewijs} van de stelling dat het verval naar andere deeltjes beschreven wordt door een term evenredig aan $\dot{\Phi}(t)$; meer geavanceerde quantummechanische berekeningen wijzen echter uit dat het verval inderdaad door een term van deze vorm beschreven kan worden. We zullen daarom aan de eerste inflatievergelijking een term $\Gamma \dot{\Phi}(t)$ toevoegen, waarin $\Gamma$ een maat is voor de vervalssterkte van het inflaton veld:
\begin{equation}
\ddot{\Phi}(t)+\left( 3H(t)+\Gamma \right) \dot{\Phi}(t)+\partial_\Phi V(\Phi(t)) = 0.
\end{equation}
Ten tweede zal ook de tweede inflatievergelijking aangepast moeten worden, omdat het nog geen rekening houdt met het feit dat, naarmate het inflatonveld meer en meer vervalt, er een groeiende energiedichtheid $\rho_\gamma(t)$ zal zijn ten gevolge van straling; we zullen daarom met de hand deze dichtheid toevoegen.
\begin{equation}
H^2(t) = \frac{8 \pi G}{3c^2} \bigg( \rho_\Phi(t) + \rho_\gamma(t) \bigg).
\end{equation}
Ook aan de tweede Friedmann vergelijking kennen we een druk en dichtheid ten gevolge van straling toe:
\begin{equation}
\left( \frac{\ddot{a}}{a}\right) = -\frac{4 \pi G}{3c^2} \bigg( \rho_\gamma(t)+3p_\gamma(t) + \rho_\Phi +3p_\Phi(t)  \bigg)
\end{equation}
Dit kunnen we iets vereenvoudigen: we hadden immers al gezien dat de druk ten gevolge van straling gelijk is aan $\rho_\gamma/3$. Verder zullen de druk ten gevolge van het inflatonveld als volgt schrijven:
\begin{equation}
p_\Phi = n(t) \rho_\Phi.
\end{equation}
Tijdens de inflatie zelf was $n = -1$, maar tijdens de verhittingsfase weten we nog niet wat $n$ is. We weten zelfs niet of het een constante zal zijn, en om deze reden staat er nu nog een tijdsafhankelijkheid. De tweede Friedmann vergelijking ziet er nu als volgt uit:
\begin{equation}
\left( \frac{\ddot{a}}{a}\right) = -\frac{4 \pi G}{3c^2} \bigg( 2\rho_\gamma(t) + (3n(t)+1)\rho_\Phi(t)  \bigg)
\end{equation}
In principe zijn we nu klaar: vergelijkingen X,X,X vertellen ons hoe het inflatonveld zijn energie omzet in fotonen, hoe het inflatonveld afneemt, en hoe de schaalfactor evolueert tijdens dit proces. In principe hoeven we nu alleen een vervalsmaat $\Gamma$, de vorm $V(\Phi(t))$ van de potentiaalput,  en een toestandsparameter $n(t)$ in te vullen, en deze vergelijkingen op te lossen; hiermee ligt de hele evolutie van het Verhittingsproces vast. 
\newline
Het is echter gebruikelijk om deze vergelijkingen te herschrijven in een vorm waarin het inflatonveld $\Phi(t)$ niet meer expliciet voorkomt, en in plaats daarvan de energiedichtheid $\rho_\Phi$ gebruikt wordt; dit is een inzichtelijker grootheid dan het veld. Deze herschrijving is niet zo moeilijk. Om de eerste van deze vergelijkingen te vinden, dient de tijdsafgeleide van $\rho_\Phi(t) = \frac{1}{2c^2} \dot{\Phi}^2(t)+V(\Phi(t))$ te worden genomen
\begin{equation}
\dot{\rho}_\Phi(t) = \frac{1}{c^2}\dot{\Phi}(t) \ddot{\Phi}(t)+\dot{\Phi}(t) \partial_\Phi V(\Phi(t)),
\end{equation}
en te worden ingevuld in vergelijking X; samen met het feit dat $\frac{1}{c^2}\dot{\Phi}(t) = \rho_\Phi(t)+p_\Phi(t)$ en de schrijfwijze eq.X, geeft dit precies vergelijking X. Een tweede vergelijking kan worden gevonden door de eerste Friedmann vergelijking te differentieren naar de tijd, en dan de tweede Friedmann vergelijking te gebruiken om $\ddot{a}/a$ te elimineren. Het resultaat is
\begin{eqnarray}
\dot{\rho}_\Phi(t) &=& -\Big(3H(t)+\Gamma \Big)\Big(n(t)+1\Big)\rho_\Phi(t) \\
\dot{\rho}_\gamma(t) &=& -4H(t) \rho_\gamma(t)+\Gamma \Big(n(t)+1\Big)\rho_\Phi(t) \\
H^2(t) &=& \frac{8 \pi G}{3 c^2} \Big( \rho_\Phi(t)+\rho_\gamma(t) \Big)
\end{eqnarray}
Deze set vergelijkingen heten de \emph{Verhittingsvergelijkingen}. In de volgende sectie zullen we deze vergelijkingen oplossen voor een speciale keuze van de functies $\Gamma$, $V(\Phi(t))$ en $n(t)$. \newline

\section{Een voorbeeld van de Verhittingsfase}

De Verhittingsvergelijkingen vormen een set van drie gekoppelde differentiaalvergelijkingen, en zijn in de regel moeilijk op te lossen. We zullen daarom een kunstgreep toepassen: we zullen aannemen dat het inflatonveld per oscillatie in de potentiaalput maar weinig energie overdraagt naar fotonen, en tegelijkertijd dat het Heelal maar weinig van grootte verandert tijdens een enkele oscillatie. Met andere woorden, we nemen aan dat de tijdschaal waarop de oscillaties plaatsvinden veel kleiner is dan de tijdschalen van het verval van het inflatonveld en de uitdijing van het Heelal. De eerste aanname legt een eis op de grootte van de functie $\Gamma$, de tweede aanname is waarschijnlijk goed te motiveren aangezien het Heelal zich tijdens de Verhittingsfase niet meer in een exponentieel uitdijende fase bevindt. Onder deze aannames, kunnen we de energiedichtheid van het inflatonveld per oscillatie als een constante nemen:
\begin{eqnarray}
\rho_\Phi &=& \frac{1}{2c^2}\dot{\Phi}^2(t)+V(\Phi(t)) \nonumber \\
&=& \rho_{max} = const.
\end{eqnarray}
Laat het nogmaals benadrukt zijn dat deze vergelijking alleen geldt \emph{per oscillatie}: elke volgende oscillatie zal $\rho_{max}$ een kleinere waarde hebben dan de oscillatie daarvoor. \newline
Onder deze aanname kunnen we de Verhittingsvergelijkingen vereenvoudigen: het zal namelijk blijken dat we nu de toestandsparameter $n(t)$ een waarde zullen kunnen toekennen wanneer we de functie $V(\Phi(t))$ toegewezen hebben, en dat deze waarde dan \emph{constant} zal blijken te zijn. Merk hiertoe op dat de toestandsparameter en de druk en dichtheid aan elkaar gerelateerd zijn via:
\begin{equation}
n(t) + 1 = \frac{\rho_\Phi(t)+p_\Phi(t)}{\rho_\Phi(t)}
\end{equation}
De aanname van de snelle oscillatie van het inflatonveld maakt dat we de teller en noemer kunnen vervangen door constante waardes, te weten hun \emph{gemiddelden} over een enkele oscillatie. Zo'n gemiddelde $<f(t)>$ definieren we als de integraal van alle waarden die een functie $f(t)$ aanneemt tijdens de oscillatie, gedeeld door de periodetijd $T$ van de oscillatie:
\begin{equation}
<f(t)> \quad \equiv \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt 
\end{equation}
Omdat we alle tijdsafhankelijkheid nu weg-integreren, zal de uitdrukking voor de toestandsparamater $n(t)$ een \emph{constante} opleveren; dit zal het oplossen van de Verhittingsvergelijkingen een stuk makkelijker maken! \newline
Alvorens dit te doen, zullen we eerst de tijdsgemiddelden van eq.X moeten uitrekenen. Dit lijkt een probleem op te leveren: om deze integralen uit te rekenen, hebben we de functies $\rho_\Phi(t)$ en $p_\Phi(t)$ nodig, en die probeerden we nu juist uit te rekenen door de Verhittingsvergelijkingen op te lossen. Dit lijkt een impasse, maar is het niet: we kunnen de integralen over de tijd namelijk herschrijven naar integralen over het inflatonveld, en hiervan weten we wel degelijk iets: het inflatonveld oscilleert heen en weer tussen twee uiterste waarden 
\begin{equation}
\Phi_0 \equiv \Phi(t=0), \quad \quad \quad \Phi_{1/2} \equiv \Phi(t=\frac{T}{2}).
\end{equation}
waarbij de eerste de waarde is die het inflatonveld heeft wanneer het op het punt staat te beginnen met de oscillatie: het is de waarde van het inflatonveld wanneer het bovenaan de put is. De tweede is de waarde die het inflatonveld heeft wanneer het halverwege de oscillatie is: het is de waarde van het inflatonveld wanneer het op de bodem van de put is, en op het punt staat weer omhoog te klimmen. \newline
Het zal blijken dat we hieraan genoeg hebben om de integralen uit te rekenen. De gemiddelden kunnen als volgt worden herschreven
\begin{equation}
<f(t)> \quad \equiv \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{2}{T} \int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}} \frac{f(t)}{\dot{\Phi}(t)}d\Phi
\end{equation}
Via onze aanname dat de energiedichtheid van het veld als constante kan worden gezien tijdens een enkele oscillatie, volgt dat 
\begin{equation}
\rho_\Phi = \frac{1}{2c^2} \dot{\Phi}^2(t) + V(\Phi(t)) = \rho_{max} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \dot{\Phi}(t) = \pm \sqrt{2c^2 \Big( \rho_{max}-V(\Phi(t)) \Big)}
\end{equation}
en hiermee kunnen we het gemiddelde $<f(t)>$ schrijven als
\begin{equation}
<f(t)> =  \pm \frac{2}{T} \int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  f(t) \Big( 2c^2 \Big( \rho_{max}-V(\Phi(t)) \Big) \Big)^{-1/2}  d\Phi.
\end{equation}
Dit is een handige uitdrukking. Door nu de algemene uitdrukkingen voor de energiedichtheid en druk ten gevolge van het inflatonveld in te vullen, wordt gevonden dat de teller en noemer van eq.X geschreven kunnen worden als
\begin{eqnarray}
< \Big( \rho_\Phi(t) + p_\Phi(t) \Big) > &=& \pm \frac{2}{T} \sqrt{2c^2\rho_{max}}\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big(1-\frac{V(\Phi(t))}{\rho_{max}} \Big)^{1/2} d\Phi \\
< \rho_\Phi(t) > &=&  \pm \frac{2}{T} \sqrt{\frac{\rho_{max}}{{2c^2}}} \int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}} \Big(1-\frac{V(\Phi(t))}{\rho_{max}} \Big)^{-1/2} d\Phi
\end{eqnarray}
De toestandsparameter $n(t)$ is dan nu gevonden:
\begin{equation}
n(t) + 1 = \frac{2c^2\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}} \Big( 1- \frac{V(\Phi)}{\rho_{max}} \Big)^{1/2}d\Phi}{\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big( 1- \frac{V(\Phi)}{\rho_{max}} \Big)^{-1/2}d\Phi}
\end{equation}
Het enige wat nu gedaan hoeft te worden, is invullen wat de vorm $V(\Phi(t))$ is van de potentiaalput waarin het inflatonveld oscilleert, en de waarden $\Phi_0$ en $\Phi_{1/2}$ die het inflatonveld heeft op het laagste punt van de put en het hoogste punt van de put. \newline
\newline
We zullen nu een specifieke put nemen, en de toestandsparameter uitrekenen. Als dat gedaan is, is het oplossen van de Verhittingsvergelijkingen nog maar een kleine stap. In navolging van het uitgewerkte voorbeeld van het inflatiemodel, zullen we het geval beschouwen van een massief inflatonveld. Zoals we al gezien hadden, hoort hier de volgende potentiele energiedichtheid bij:
\begin{equation}
V(\Phi(t)) = \frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2(t)
\end{equation}
waar $m$ de massa is van de inflatondeeltjes. Deze functie definieert de put als een parabool. Het is nu makkelijk in te zien dat onderaan deze put, de waarde van het inflatonveld gelijk is aan nul:
\begin{equation}
\Phi_{1/2} = 0.
\end{equation}
Om de waarde van $\Phi_0$ te bepalen, hoeven we alleen te bedenken dat als het inflaton net op het punt staat met de oscillatie te beginnen, het nog geen kinetische energiedichtheid heeft: $\dot{\Phi} = 0$, en als gevolg hiervan is de totale energiedichtheid gelijk aan louter de potentiele energiedichtheid:
\begin{equation}
\rho_\Phi = V(\Phi) = \frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2_0
\end{equation}
We hadden aangenomen dat de totale energiedichtheid constant was gedurende een enkele oscillatie, $\rho_\Phi = \rho_{max}$, en zo volgt dat de waarde van het inflatonveld op het hoogste punt van de put gegeven wordt door:
\begin{equation}
\Phi_0 = \pm \sqrt{\frac{2 \rho_{max}}{m^2} \left( \frac{\hbar}{c}\right)^2}.
\end{equation}
We kunnen nu de integralen in de teller en de noemer van eq.X evalueren. Wanneer we de potentiaalput eq.X invullen, wordt de noemer:
\begin{eqnarray}
\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big( 1- \frac{1}{\rho_{max}}\frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2 \Big)^{-1/2}d\Phi 
\end{eqnarray}
Om onze notatie iets te vergemakkelijken, zullen we een variabele $x$ introduceren:
\begin{equation}
x \equiv \frac{m}{\sqrt{2 \rho_{max}}} \left( \frac{c}{\hbar} \right) \Phi
\end{equation}
De integraal ziet er dan al heel wat vriendelijker uit:
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{-1/2}dx
\end{equation}
Deze kunnen we direct oplossen door gebruik te maken van een standaardintegraal, en er wordt gevonden
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{-1/2}dx = -\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \arcsin (1)
\end{equation}
Hierbij hebben we gebruik gemaakt van de integraal $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin (x)$, waar de functie $y = \arcsin (x)$ de oplossing is van de vergelijking $\sin y = x$, en het feit dat de $\arcsin$ van nul gelijk is aan nul. \newline
De integraal van de teller van Eq.X wordt:
\begin{eqnarray}
\int_{\Phi_0}^{\Phi_{1/2}}  \Big( 1- \frac{1}{\rho_{max}}\frac{m^2}{2}\left( \frac{c}{\hbar} \right)^2 \Phi^2 \Big)^{1/2}d\Phi
\end{eqnarray}
Ook nu kunnen we de notatie iets vergemakkelijken door de variabele $x$ te introduceren, waardoor de integraal er weer heel wat vriendelijker uitziet:
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{1/2}dx
\end{equation}
Deze kunnen we nu oplossen door gebruik te maken van $\int (1-x^2)^{1/2}dx= \frac{1}{2}\{\arcsin(x)+x\sqrt{1-x^2}\}$. Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \int_{1}^{0} \Big( 1-x^2 \Big)^{1/2}dx = -\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \frac{1}{2} \arcsin(1)
\end{equation}
Nu de teller en noemer gevonden zijn, volgt de waarde van de toestandsparameter $n$ direct:
\begin{equation}
n(t) + 1 = \frac{-2\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \frac{1}{2} \arcsin(1)}{-\frac{\sqrt{2 \rho_{max}}}{m}\left( \frac{\hbar}{c} \right) \arcsin (1)} = 1 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad n(t) =0.
\end{equation}
Na deze lange wiskundige verhandeling kunnen we terug naar de fysica. We hebben nu gevonden dat de inflatondeeltjes zich, tijdens de verhittingsfase, gedragen als een drukloos gas. Dit is precies wat we in Hoofdstuk X hadden bestempeld als koude materie: $n = 0$! Merk verder op dat de gevonden waarde van $n$ niet afhangt van de amplitude van de oscillatie; dit betekent fysisch dat we deze $n$ mogen blijven gebruiken voor elke oscillatie, ondanks het feit dat elke volgende oscillatie een kleinere amplitude kent. \newline
\newline
Met deze kennis vereenvoudigen de Verhittingsvergelijkingen tot de volgende vorm:
\begin{eqnarray}
\dot{\rho}_\Phi(t) &=& -\Big(3H(t)+\Gamma \Big)\rho_\Phi(t) \\
\dot{\rho}_\gamma(t) &=& -4H(t) \rho_\gamma(t)+\Gamma \rho_\Phi(t) \\
H^2(t) &=& \frac{8 \pi G}{3 c^2} \Big( \rho_\Phi(t)+\rho_\gamma(t) \Big)
\end{eqnarray}
Deze zullen we nu moeten oplossen. De strategie is als volgt: we zullen een vorm voor de Hubble constante $H(t)$ gokken, en invullen in de eerste van deze Verhittingsvergelijkingen. Dit geeft dan een differentiaalvergelijking voor $\rho_\Phi$ die op dat moment ontkoppeld is van de andere twee vergelijkingen en daarom onafhankelijk opgelost kan worden. Als deze opgelost is, kunnen we de oplossing $\Phi(t)$ en onze aanname voor $H(t)$ gebruiken in de derde Verhittingsvergelijking; dit geeft dan een algebraische vergelijking voor de energiedichtheid $\rho_\gamma(t)$, zodat $\rho_\gamma(t)$ direct volgt. Alledrie de functies zijn dan gevonden, maar aangezien ze pas een oplossing vormen wanneer ze aan alledrie de differentiaalvergelijkingen voldoen, zullen we de functies nog in de tweede Verhittingsvergelijking moeten stoppen om te controleren of ook deze dan klopt. Zo ja, dan is onze oplossing helemaal correct; zo niet, dan is onze aanvankelijke gok voor de Hubble constante niet de juiste geweest, en zullen we een nieuwe poging moeten doen. \newline
Wat zou een goede aanname voor $H(t)$ zijn? Fysisch kunnen we ons de volgende voorstelling maken: op het begin van de verhittingsfase is de enige significante vorm van energiedichtheid die van het inflatonveld, waarvan we gezien hebben dat deze zich gedraagt als koude materie: hierbij hoort, volgens Eq.X, een Hubble constante gelijk aan $H(t) = \frac{2}{3t}$. Daarna wordt het inflatonveld omgezet in fotonen, zodat na verloop van tijd de energiedichtheid ten gevolge van straling gaat domineren over die ten gevolge van inflatonen; deze dichtheid kent een Hubble constante gelijk aan $H(t)= \frac{1}{2t}$. Al met al ligt het dan ook voor de hand om een functie $H(t)$ te gokken die voor kleine $t$ gelijk is aan $H(t) = \frac{2}{3t}$, en voor groeiende $t$ steeds meer gaat lijken op $H(t) = \frac{1}{2t}$. Er zijn in principe vele, vele functies te vinden die aan deze eis voldoen, waarvan de volgende een aantal voorbeelden zijn:
\begin{eqnarray}
H(t) &=& \frac{1}{t} \Big( \frac{1}{2}+\frac{1}{6} e^{-\alpha t}\Big) \nonumber \\
H(t) &=& \cdots
\end{eqnarray}
In principe zouden we nu elk van deze functies kunnen proberen in te vullen, en dan (hopelijk) uitvinden of de correcte functie erbij zit. Dit blijkt, in ieder geval voor deze paar functies, niet het geval te zijn. Een oplossing van de inflatievergelijkingen is dan ook nog niet gevonden, en we weten dan ook nog steeds niet wat het tijdsverloop is  van de energiedichtheden $\rho_\Phi$, $\rho_\gamma$ en van de schaalfactor $a(t)$. Maar goed beschouwd zijn we eigenlijk niet zo geinteresseerd in die gedetailleerde tijdsevolutie; eigenlijk zijn we alleen maar geinteresseerd of ons model de juiste hoeveelheid fotonen kan opleveren, opdat het Standaard Model van de Kosmologie de evolutie van het Heelal kan overnemen. Om deze vraag naar tevredenheid te beantwoorden hoeven we de Verhittingsvergelijkingen Eq.X alleen maar \emph{bij benadering} op te lossen. Dit is een stuk makkelijker dan de complete oplossing vinden, en dit zullen we dan ook nu gaan doen. \newline
\newline
De strategie is als volgt. We zullen het probleem opsplitsen in twee stukken: eerst bekijken we de tijdsevolutie op het \emph{begin} van de verhittingsfase, oftewel in het tijdsdomein waarin het inflatonveld nog de meest dominante energiedichtheid heeft, en hiervoor benaderde oplossingen opschrijven. Daarna zullen we de tijdsevolutie beschouwen op het \emph{eind} van de verhittingsfase, oftewel het tijdsdomein waarin de fotonen de meest dominante energiedichtheid hebben, en daarvoor benaderde oplossingen opschrijven; en passant vinden we daarbij een waarde voor het tijdstip $t_{omslag}$waarin de energiedichtheid ten gevolge van fotonen het overneemt van de energiedichtheid ten gevolge van fotonen. De gevonden oplossingen zullen een aantal vrije constanten bevatten; deze zullen we waardes toekennen door te eisen dat de oplossingen uit de twee verschillende tijdsdomeinen in elkaar overgaan rond het moment $t_{omslag}$. Op deze manier worden functies $\rho_{\Phi}$, $\rho_{\gamma}$ en $a(t)$ gevonden, die bij benadering de Verhittingsvergelijkingen oplossen. \newline
We beginnen bij het tijdsdomein waarin de energiedichtheid ten gevolge van de inflatonen veel groter is dan die ten gevolge van fotonen, oftewel we nemen aan
\begin{equation}
\rho_\Phi >> \rho_{\gamma}.
\end{equation}
In dit regime, geldt dat de Hubble constante gegeven wordt door $H(t) = \frac{2}{3t}$, en zo volgt dat de derde Verhittingsvergelijking de volgende vorm aanneemt:
\begin{equation}
\frac{4}{9t^2} = \frac{8 \pi G}{3 c^2}\rho_\Phi
\end{equation}
en hieruit volgt direct een uitdrukking voor de energiedichtheid ten gevolge van het inflatonveld
\begin{equation}
\rho_\Phi(t) = \frac{3 c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2}
\end{equation}
Dit kunnen we nu substitueren in de eerste Verhittingsvergelijking, om te controleren of deze dan ook is opgelost. Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
-\frac{8}{9t^2} \frac{3c^2}{8 \pi G} = -\Big( \frac{2}{t} + \Gamma \Big) \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2}
\end{equation}
Dit kan alleen waar zijn, wanneer geldt dat
\begin{equation}
\Gamma << \frac{2}{t}
\end{equation}
Dit vertelt ons dat we onze oplossing Eq.X alleen mogen gebruiken voor tijdstippen kleiner dan $t \propto \Gamma^{-1}$; dit komt overeen met wat we zouden verwachten: immers, als het inflatonveld snel zou vervallen naar fotonen (oftewel: $\Gamma$ groot), dan breekt al snel het moment aan (oftewel: $t \propto \Gamma^{-1}$) waarop de energiedichtheid $\rho_\Phi$ niet meer groter is dan $\rho_\gamma$. \newline
De gevonden uitdrukking voor $\rho_\Phi$ kan nu worden ingevuld in de tweede Verhittingsvergelijking, en dit levert een differentiaalvergelijking op voor de energiedichtheid $\rho_\gamma$ ten gevolge van fotonen:
\begin{equation}
\dot{\rho}_{\gamma}(t)= -\frac{8}{3t}\rho_\gamma+\Gamma \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2}
\end{equation}
Deze is niet moeilijk om op te lossen, en de oplossing wordt gegeven door
\begin{equation}
\rho_\gamma(t) = \frac{1}{t^2} \Big( \frac{\rho_{\gamma<}}{t^{2/3}}+\frac{12t}{45} \frac{3c^2}{8 \pi G} \Gamma t \Big)
\end{equation}
Hierin is $\rho_{\gamma<}$ een constante, die vrij mag worden ingevuld. We zullen deze nu een waarde toekennen met behulp van een fysisch argument: we hadden al gezien dat tijdens de inflatieperiode alle energiedichtheid ten geolge van normale materie en straling naar nul is gegaan, als gevolg van de enorme expansie van het volume waarin deze energievormen opgesloten waren. We kunnen daarom eisen dat op het begin van de Verhittingsfase (dit wil zeggen: op het eind van inflatie) de energiedichtheid $\rho_{\gamma}$ gelijk dient te zijn aan nul. Inflatie hield op op het moment $t_{eind}$, gegeven in eq.X; wanneer dit wordt ingevuld in Eq.X en geeist wordt dat de uitkomst nul is, wordt de constante $\rho_{\gamma<}$ gevonden:
\begin{equation}
\rho_{\gamma<} = -\frac{12}{45} \Gamma \frac{3c^2}{8 \pi G} \Bigg( \frac{3 \hbar}{mc^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \Phi_0 \Bigg)^{5/3}
\end{equation}
Hiermee is de complete oplossing bekend! Alles bij elkaar genomen kunnen we nu concluderen: op het begin van de verhittingsfase worden $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$ en $\rho_\gamma(t)$ gegeven door
\begin{eqnarray}
H(t) &=& \frac{2}{3t} \\
\rho_\Phi(t) &=& \frac{3 c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t^2} \\
\rho_\gamma(t) &=& \frac{1}{t^2} \Bigg( - \frac{12}{45} \Gamma \frac{3c^2}{8 \pi G} \Big( \frac{3 \hbar}{mc^4}\sqrt{\frac{8 \pi G}{6}} \Phi_0 \Big)^{5/3} \frac{1}{t^{2/3}}+\frac{12t}{45} \frac{3c^2}{8 \pi G} \Gamma t \Bigg)
\end{eqnarray}
Deze oplossing geldt alleen in het tijdsdomein $t << \Gamma^{-1}$. \newline
\newline
We zullen nu de Verhittingsvergelijkingen oplossen in het tijdsdomein waarin de fotonendichtheid veel groter is geworden dan de dichtheid ten gevolge van inflatonen, oftewel we nemen aan
\begin{equation}
\rho_\gamma >> \rho_\Phi
\end{equation}
In dit regime geldt dat de Hubble constante gegeven wordt door $H(t) = \frac{1}{2t}$, en zo neemt de derde Verhittingsvergelijking de volgende vorm aan:
\begin{equation}
\frac{1}{4t^2}=\frac{8 \pi G}{3c^2} \rho_\gamma
\end{equation}
waaruit direct een uitdrukking volgt voor de energiedichtheid $\rho_\gamma(t)$
\begin{equation}
\rho_\gamma(t) = \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{1}{4t^2}
\end{equation}
Verder maakt de uitdrukking voor de Hubble constante dat de eerste Verhittingsvergelijking de volgende vorm aanneemt
\begin{equation}
\dot{\rho}_\Phi(t) = -\Big( \frac{3}{2t}+\Gamma \Big) \rho_\Phi(t)
\end{equation}
De oplossing voor deze differentiaalvergelijking is makkelijk te vinden, en is
\begin{equation}
\rho_\Phi(t) = \frac{\rho_{\Phi>}}{t^{3/2}} e^{-\Gamma t}
\end{equation}
Hierin is $\rho_{\Phi>}$ een constante, die vrij is in te vullen. We zullen er een waarde aan toekennen door middel van een fysisch argument. Het argument is dat van \emph{continuiteit}: we zullen eisen dat onze gevonden oplossingen voor de energiedichtheden $\rho_\Phi$ in de twee tijdsdomeinen, netjes op elkaar aansluiten rond het moment $t_<$ dat het Heelal ophoudt met inflatongedomineerd te zijn. Dit komt er op neer dat we eisen dat aan de volgende vergelijking is voldaan
\begin{equation}
\frac{3 c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9t_<^2} =  \frac{\rho_{\Phi>}}{t_<^{3/2}} e^{-\Gamma t_<}.
\end{equation}
Merk op dat we hier een beetje smokkelen. Immers, aan de linkerkant staat de uitdrukking voor $\rho_\Phi$ die gevonden is voor het tijdsdomein waarin geldt $\rho_\gamma << \rho_\Phi$, terwijl de rechterkant de uitdrukking is voor $\rho_\Phi$die  gevonden is voor het tijdsdomein waarin geldt $\rho_\gamma >> \rho_\Phi$. Nu hadden we al gezien dat de linkerkant gebruikt mag worden mits $t < t_<$, en we zullen nog aantonen dat de rechterkant gebruikt mag worden mits $t > t_>$, waar $t_>$ een nog nader te bepalen waarde heeft. Het is dan ook duidelijk dat bovenstaande eis alleen gesteld mag worden wanneer $t_<$ en $t_>$ niet te ver uit elkaar liggen. Het is zeker niet gegarandeerd dat dit het geval zal zijn, en we zullen dat op het eind dus expliciet moeten checken; als dit het geval is, kunnen we deze twee tijdstippen als een enkel tijdstip beschouwen, en zullen deze de naam $t_{omslag}$ geven. Voor nu nemen we aan dat dit wel degelijk het geval is, en dan levert Eq.X de volgende uitdrukking op voor de constante $\rho_{\Phi>}$:
\begin{equation}
\rho_{\Phi>} = \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9} e^{\Gamma t_{omslag}} \frac{1}{\sqrt{t_{omslag}}}
\end{equation}
Tenslotte zullen we onderzoeken vanaf welk moment de gevonden uitdrukken toegepast mogen worden. Welnu, dit is wanneer aan Eq.X voldaan is, oftewel wanneer er geldt
\begin{equation}
\frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{1}{4t^2} >> \frac{\rho_{\Phi>}}{t^{3/2}} e^{-\Gamma t}
\end{equation}
Dit levert ons een tijdstip $t_>$ op waarna de gevonden uitdrukkingen mogen worden gebruikt. Helaas is het niet mogelijk om $t_>$ in een formule uit te drukken, maar gegeven waarden voor alle constanten in Eq.X kan er wel een \emph{numerieke} waarde aan $t_>$toegekend worden; zoals al aangegeven is de hoop dat deze niet te ver uit de buurt van $t_<$ ligt. \newline
Hiermee is de totale oplossing bekend! We kunnen nu concluderen dat op het eind van de Verhittingsfase de functies $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$ en $\rho_\gamma(t)$ gegeven worden door
\begin{eqnarray}
H(t) &=& \frac{1}{2t} \\
\rho_\Phi(t) &=& \Big( \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{4}{9} e^{\Gamma t_<} \frac{1}{\sqrt{t_<}} \Big) \frac{1}{t^{3/2}} e^{-\Gamma t} \\
\rho_\gamma(t) &=& \frac{3c^2}{8 \pi G} \frac{1}{4t^2}
\end{eqnarray}
Hiermee is onze analyse afgerond! We hebben nu twee sets oplossingen gevonden voor de functies $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$ en $\rho_\gamma$, waarvan er een geldig is in het eerste (inflatongedomineerde) deel van de Verhittingsfase, en er een geldig is in het tweede (fotongedomineerde) deel. We hebben er daarbij zorg voor gedragen dat het eerste deel netjes aansluit op de waarden van $\rho_\Phi$ en $\rho_\gamma$ die gelden op het eind van de inflatieperiode zoals voorgerekend in sectie X, en dat het tweede deel netjes aansluit op het eerste deel. Verder hebben we uitgezocht wanneer het omslagpunt plaatsvindt, en gevonden dat de eerste set oplossingen gebruikt mag worden zolang $t<t_<$, en de tweede set oplossingen gebruikt mag worden wanneer $t>t_>$. We zullen nu getallen toekennen aan onze uitkomsten, om te zien hoelang de Verhitting ongeveer heeft geduurd, en om te checken of $t_<$ en $t_>$ inderdaad netjes dicht op elkaar aansluiten. \newline
\newline
We zullen ons voorbeeld uit Sectie X voorzetten, en wederom aannemen dat de massa $m$ van het inflaton en de constante $\Phi_0$ de volgende waarden hebben:
\begin{equation}
m \approx 10^{13} \cdot \frac{GeV}{c^2} \approx 10^{-14} kg, \quad \quad \quad \quad \Phi_0 \approx 10^{23} \cdot \frac{\sqrt{m\cdot kg}}{s}
\end{equation}
Verder zullen we een waarde moeten hebben voor de vervalsconstante $\Gamma$. Deze zullen we nemen als
\begin{equation}
\Gamma \approx 10^{32} \cdot 1/s
\end{equation}
Waar komt deze waarde vandaan? Goed beschouwd is het een gok, een aanname. De constante $\Gamma$ hebben we geintroduceerd als een maat voor de snelheid waarmee inflatonen vervallen (via een of andere keten van deeltjes) naar fotonen, maar aangezien er weinig bekend is over de manier waarop inflatonen gekoppeld zijn aan andere deeltjes, is het voor een deel speculatie met welke snelheid het verval plaatsvindt. Er is echter een vuistregel in de quantumveldentheorie, welke zegt dat hoe zwaarder een deeltje is, hoe eerder het zal vervallen naar andere deeltjes. Een goede eerste gok zou dan ook zijn dat $\Gamma$ evenredig is met $m$. Beide kanten van deze vergelijking hebben nog niet dezelfde eenheden, maar dat kan worden opgelapt door strategisch de natuurconstanten $c$ en $\hbar$ toe te voegen. Op deze manier wordt gevonden:
\begin{equation}
\Gamma \propto \frac{m c^2}{\hbar}
\end{equation}
(beide kanten hebben nu de eenheid $1/s$). Deze simpele redenering geeft een antwoord dat aardig klopt met de uitkomsten bekend van berekeningen uit de quantumveldentheorie; daar blijkt echter dat er nog een aantal numerieke constanten meespelen, die de uiteindelijke waarde een paar ordes van grootte kleiner maken (afhankelijk van de soort interactie tussen het inflatonveld en zijn vervalsprodukten). Wanneer we nu de waarde van de massa van het inflaton invullen, en enigszins arbitrair wat ordes van grootte afsnoepen, dan blijkt de waarde $\Gamma \approx 10^{32}$ een redelijke aanname te zijn. \newline
Nu alle constanten waarden toegekend hebben gekregen, kunnen we uitrekenen wat de waarde is van de tijdstippen $t_<$ en $t_>$. De eerste waarde wordt gevonden door Eq.X op te lossen, en de tweede waarde door eq.X op te lossen. Er wordt dan gevonden:
\begin{equation}
t_< \approx 10^{-32} \cdot s, \quad \quad \quad \quad t_> \approx 10^{-32} \cdot s,
\end{equation}
oftewel, de twee waarden zijn (voor zover onze benaderingen in staat zijn een verschil te tonen) hetzelfde: deze overeenkomstige waarde noemen we het omslagpunt $t_{omslag}$: na dit tijdstip heeft het inflatonveld zoveel energie overgedragen naar fotonen, dat het Heelal stralingsgedomineerd is geworden. De constante $\rho_{\Phi>}$ ligt hiermee ook vast, via Eq.X;
\begin{equation}
\rho_{\Phi>} \approx 10^{42} \cdot \frac{kg}{m \sqrt{s}}
\end{equation}
Hiermee zijn alle constanten bepaald, en ligt de evolutie van de Verhittingsfase geheel vast: het gedrag in de tijd van de functies $H(t)$, $\rho_\Phi(t)$, en $\rho_\gamma(t)$ kunnen we nu plotten. Voor alle tijdstippen tussen het eind van inflatie, $t_{eind}$, en het omslagpunt $t_{omslag}$ gebruiken we hiervoor vergelijkingen X, en voor de tijdstippen na het omslagpunt gebruiken we Eq.X. Op dat moment is het Heelal stralingsgedomineerd geworden, en kan het Standaardmodel van de Kosmologie de evolutie overnemen. Het omslagpunt $t_{omslag}$ is daarmee ook het punt geworden waarop de Verhittingsfase ten einde is geraakt: Verhitting duurt in ons model niet langer dan $10^{-32}$ seconde. \newline


\end{document}