\documentclass{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}

\newcommand{\dakje}{\hat}
\renewcommand{\dot}{\cdot}
% \newcommand{\urad}{ $\mu$rad}




\input{psfig}
\input{epsf}


\begin{document}

\setcounter{page}{300}
% 
% \addtocounter{section}{}
% \setcounter{section}{2}

\appendix
%  \addtocounter{section}{1}


\section{APPENDIX: Opgaven Electro-Statica}
Hieronder vind je de opdrachten die je tijdens de colleges
 en thuis gaat maken.

Het is gebleken dat oefenen met de leerstof zijn vruchten afwerpt.
Een kleine wekelijkse investering in de vorm van tijd en energie als je
de opgaves maakt zal je dubbel en dwars terugverdienen.
Een prettige bijkomstigheid is dat het volgen vande colleges
gemakkelijker en efficienter zal worden omdat je  'bij' bent en blijft
door het maken van deze 'papieren' opgaves.
Ook vind je in deze oefenopgave's twee verplichte huiswerkopgave's. 

Als extra stimulans zijn er ook 'digitale' opgaves die je wekelijks moet inleveren. 
De digitale 'inlever opdrachten'  kun je vinden via 
 de webpage: 

 http://www.nikhef.nl/user/h73/knem.html 

\bigskip

\newpage



\subsection{Dagdeel I: De wet van Coulomb}
\begin{itemize}
\item
Welkom - opmerkingen van huishoudelijke aard.
\item
Interactief Hoorcollege 
\item
Werkcollege
\end{itemize}

Voordat je met deze opgaves begint moet je natuurlijk de stof bestudeerd hebben of het college nog vers in het geheugen hebben. De stof die op het college besproken is vind je op de bijbehorende transparanten. Daar staan ook verwijzingen naar de verdere literatuur, waar je in detail de stof kunt nalezen of voorbeelden kunt bekijken.

\subsubsection{Vectoren} 
We hebben kennis gemaakt met de Coulomb kracht en de formule die daar
bij hoort:
\begin{equation}
\vec{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{r^2} \dakje{r}
\end{equation}

\begin{itemize}
\item[a)] Wat zijn vectoren en wat zijn scalars in deze formule?
\item[b)] Geef de grootte van iedere vector in de formule.
\item[c)] Schrijf de formule om zodat er geen $\dakje{r}$ meer in voorkomt, 
maar wel een $\vec{r}$.
\item[d)] Wat vind je als je van een vector het inproduct met zichzelf neemt? \\
 (bijvoorbeeld $\dakje{r} \cdot \dakje{r}=?$.)
\end{itemize}
 

\subsubsection{Het antwoord komt langs}
De grootte van het elektrisch veld $\left|  \vec{E}\right|  $ in een punt op
afstand $r$ van een dipool valt af als $\frac{1}{r^{3}}$. Welk principe wordt
gebruikt in de afleiding van dit resultaat?


\subsubsection{ Het $E$ veld in een kubus}
Teken een kubus (midden op oorsprong)  met op alle hoekpunten een puntlading.
\begin{itemize} 
\item[a)] teken de bijdrage aan het $E$ veld in de oorsprong van iedere lading
afzonderlijk.

\item[b)]  beredeneer mbv je schets dat er netto geen $E$ veld in de oorsprong
is.

\item[c)]  Geef een  uitdrukking voor het $E$ veld (overal) in de kubus.
\end{itemize} 

\subsubsection{ Een lijntje lading (I)}
Bereken het elektrisch veld ergens op de $x$-as van een draadje met lading langs de $z$-as. De ladings dichtheid is $\lambda $ en het draadje ligt tussen $z=-L/2$ en $z=+L/2$.
 Splits de opgave in 
`begrijpen wat je moet uitrekenen' en ` de berekening uitvoeren'!
Maak ALTIJD eerst een schets van de situatie.
\bigskip

\subsubsection{ Een lijntje lading (II)}
Bereken het elektrisch veld ergens op de $z$-as ( $z>L/2$ ) van een draadje met lading langs de $z$-as. De ladings dichtheid is $\lambda $ en het draadje ligt tussen $z=-L/2$ en $z=+L/2$.
 Splits de opgave in 
`begrijpen wat je moet uitrekenen' en ` de berekening uitvoeren'!

\bigskip

\subsubsection{Hoeveel dipool, hoeveel
lading?}
\noindent In de oorsprong bevindt zich een ladingsverdeling. Het is niet
bekend of het gaat om een netto lading of om een dipool, of om een combinatie
daarvan. Je meet de elektrische veldsterkte op de x-as. Op 1 mm afstand geldt
dat de veldsterkte gelijk is aan $6,0 \times10^{2}\frac{V}{m}$.
gericht in positieve x-richting. In alle andere richtingen is de
elektrische veldsterkte op dezelfde afstand van de oorsprong \textit{kleiner}.
Op de x-as, op 2 mm afstand van de oorsprong is de gemeten waarde
$1,2\times10^{2}\frac{V}{m}$ 
Bereken de waarden van de netto-lading en van het dipoolmoment.


%\subsubsection{* Foute draadjes}
%Open de Mathematica-file Foute Draadjes, voer de opdrachten uit en print het resultaat. Vraag hulp bij je buren bij problemen met Mathematica als het gaat om opstarten programma of syntax. 



\subsubsection{Dagdeel I: De wet van Coulomb - Wat moet ik kunnen?}
Bevestig voor jezelf dat je de volgende kennis beheerst (bijvoorbeeld door de relevante formules op te schrijven):
\begin{itemize}
\item
De uitdrukking voor de Coulomb kracht tussen twee puntladingen. Wat is de relatieve grootte van de kracht als we de afstand tussen de ladingen verdubbelen? Wat gebeurt er met de richting in dit geval?
\item
Het electrische veld van een puntlading.
\item
De uitdrukking van het het electrische veld van een lijnlading, een oppervlakte lading en een ruimtelading. 
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Dagdeel II: De wet van Gauss}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaves.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}


\subsubsection{Het inprodukt intens.}
We zijn het inprodukt al tegengekomen. Formeel geldt:
\begin{equation}
\vec{a} \dot \vec{b}= |\vec{a}|  |\vec{b}| cos(\alpha_{ab}) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
\end{equation}


\begin{itemize}
\item[a)] Het resultaat van het inproduct is opnieuw vector, waar of onwaar?
\end{itemize}

In dit vak komen we vaak het inprodukt tegen met een eenheidvector, bijvoorbeeld $\vec{a} \dot \dakje{r}$, met $\dakje{r}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$.


\begin{itemize}
\item[b)] Leg uit dat  $\vec{a} \dot \dakje{r}$ als het ware 
 de component van $\vec{a}$ in de richting van $\vec{r}$ oplevert.
\end{itemize}


Op dit principe kunnen we nog even voortborduren. Laten we eens kijken naar
een de integraal over een oppervlak $O$ met normaalvector $\vec{n}$:
\begin{equation}
\int_{O} \vec{E} \dot \vec{n} dO
\end{equation}
De integrand is  $\vec{E} \dot \vec{n}$ is de component van $\vec{E}$ die
 loodrecht op het oppervlak staat.


\begin{itemize}
\item[c)] Waaraan moet je $\vec{E}$ gelijk stellen als je de oppervlakte van oppervlak $O$ zou willen berekenen? Geef de integraal voor het geval dat $O$ een vierkant
is en bereken de oppervlakte.
\end{itemize}


\subsubsection{Ladingsverdeling en totale
lading }
\label{lading}
\begin{itemize}
\item[a)] Je hebt een bol met straal $R$ en uniforme ladingsdichtheid $\rho.$
Schrijf de integraal op die de totale lading geeft, en voer de integratie uit.
\end{itemize}

Nu heb je een bol met in het centrum een ladingsdichtheid $\rho_{\max}$, die
lineair afneemt tot nul op de rand, dus bij $r=R.$ De lading is minder dan
wanneer de hele bol ladingsdichtheid $\rho_{\max}$ zou hebben.
\begin{itemize}
\item[b)] hoeveel keer zo klein verwacht je dat de lading is?


\item[c)] Geef de functie $\rho(r)$ en schets de bijbehorende grafiek.

\item[d)] Bereken de totale lading.

\item[e)] Vergelijk je antwoord met je voorspelling bij b)


\item[f)] Check je antwoord bij je buurman. Hadden julle hetzelfde antwoord?
\end{itemize}

%\subsubsection{Flux, straling en waterstraal}
%Beschouw een positieve puntlading Q in de oorsprong.\ Beschouw een gesloten
%oppervlak, dat (in bolco\"{o}rdinaten) tussen $r_{1}$en $r_{2},$ $\phi_{1}$en
%$\phi_{2}$, en $\vartheta_{1}$en $\vartheta_{2}$ ligt.
%
%\begin{itemize}
%\item[a)] Schets dit oppervlak.
%
%\item[b)] Bereken de flux door dit gesloten oppervlak, door de flux door de
%verschillende begrenzende vlakken te berekenen en deze waarden op te tellen.
%
%\item[c)] Leg uit dat het begrip flux ook bij de berekening van lichtsterkte,
%geluidsintensiteit en straling vanuit een radio-actieve bron een rol speelt.
%
%Uit een kraan komt een constante waterstraal. Vlak onder de kraan, op een
%hoogte die we $h=0$cm noemen, is de snelheid van het water $v=0,1$ $m/s$ en de
%diameter van de doorsnede van de straal $1$ cm. Neem aan dat de diameter rond
%blijft, verwaarloos wrijvingskrachten en stroperigheid.
%
%\item[d)] Wat is de snelheid van het vallende water op $h$ cm onder de kraan?
%
%\item[e)] Beschouw een cilinder die om de straal past, en waarvan het
%bovenvlak vlak onder de kraan zit, en het ondervlak $h$ cm onder de kraan.
%Beredeneer dat de flux door het bovenvlak en de flux door het ondervlak even
%groot moeten zijn.
%
%\item[f)] Geef de functie $d(h$) die de diameter op $h$ cm onder de kraan geeft.
%\end{itemize}

\subsubsection{Wat moet er uitkomen?}
Geef aan of je eenvoudig met de Wet van Gauss het veld van onderstaande
geladen voorverpen zou kunnen bepalen. Waarom en waarom niet. Als het mogelijk
is geef dan het veld buiten het voorwerp (geef altijd ook je berekening).

\begin{itemize}
\item[a)] een bal

\item[b)] een schoen

\item[c)] een dozijn parallele platen die oneindig groot zijn.

\item[d)] een kubus
\end{itemize}



\subsubsection{Clubjes lading}
\noindent Drie rustende, positieve puntladingen $Q_{A}$, $Q_{B}$ en $Q_{C}%
$\ bevinden zich op \'{e}\'{e}n lijn (zie figuur).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,5)
\put(1,1){\mbox{\epsfxsize=10cm\epsffile{3qonline.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}



\begin{itemize}
\item[a)] Bereken voor elk van de ladingen grootte en richting van de
kracht die in het gezamenlijke veld van de andere wordt ondervonden.\medskip
\end{itemize}

Beschouw drie ladingen die op een lijn liggen: In x=-0,1 mm een lading van
-0,1 C, in x=0 een lading van +0,2 C en in x=0,1 mm een lading van -0,1 C.\medskip

\begin{itemize}
\item[b)]  Bereken het veld in x=1 cm, x= 2 cm en x=3 cm. Met welke macht van
de afstand tot de oorsprong neemt het veld af?\medskip

\item[c)] Wat kun je zeggen over het elektrisch veld als functie van de
afstand tot een watermolecuul? En het veld als functie van de afstand tot een koolstofdioxide-molecuul?
\end{itemize}

\bigskip

\subsubsection{Bollen in soorten en maten}
Een niet geleidende massieve bol met straal $R$ heeft een uniforme
ladingsdichtheid. Buiten de bol is de ladingsverdeling onbekend. Je wilt het
elektrisch veld in een punt M binnen de bol uitrekenen.\medskip

\begin{itemize}
\item[a)] Leg uit of dat kan zonder de ladingsverdeling buiten de
bol te weten.\medskip

\noindent we bekijken enkele ladingsverdelingen die bolsymmetrisch zijn om de
oorsprong, zonder lading buiten de bol.

\item[b)] een puntlading $Q$,

\item[c)] een \ holle, niet geleidende bolschil met straal $R$ en
oppervlaktelading $\sigma=\tfrac{Q}{4\pi R^{2}}$,

\item[d)] een homogeen geladen, niet geleidende bol met ladingsdichtheid
$\rho=\tfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}$,

\item[e)] een dikke neutrale geleidende bolschil rondom een puntlading $Q$.

\end{itemize}

\textit{Aanwijzing voor e: binnen in een geleider is het elektrisch veld nul.}\medskip

Bepaal voor de gevallen b t/m f de grootte $E(r)$
van de elektrische veldsterkte en maak daar schetsjes van.\medskip

\begin{itemize}
\item[f)] Bepaal voor geval d de oppervlaktelading bij $R_{1}$en
$R_{2}.$

\item[g)] Bedenk een ladingsverdeling $\rho(r)$ zo dat het
elektrisch veld kwadratisch toeneemt als functie van de afstand \ tot de oorsprong.\bigskip
\end{itemize}

\subsubsection{Ring- en Schijfladingen }
\noindent Uit de formule voor de elektrische veldsterkte $\mathrm{d}\vec{E}$
in een gegeven veldpunt P en afkomstig van een kleine puntlading \textrm{d}$Q
$, \ zijn formules voor de velden van ruimtelijke ladingsverdelingen af te
leiden. Je moet deze verdelingen dan uit (oneindig) veel puntladingen
\textrm{d}$Q$ opgebouwd denken, en hun bijdragen $\mathrm{d}\vec{E}$ aan het
totale veld integreren.%

\noindent We beschouwen (zie figuur) een geladen cirkelschijf met straal $R$,
die een vaste ladingsdichtheid (hier: lading per oppervlakte-eenheid) $\sigma$
heeft. Het gekozen veldpunt P bevindt zich op de $z$-as buiten het vlak van de
schijf, op een afstand $z$ recht tegenover met middelpunt O. We verdelen de
schijf in dunne concentrische ringen met straal $r$ en dikte $\mathrm{d}r$
($r$ loopt van 0 tot $R$), en deze ringen weer in smalle sectoren met
oppervlakte $r\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}r$ ($\phi$ loopt van 0 tot 2$\pi$).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,10)
\put(2,0){\mbox{\epsfysize=10cm\epsffile{schijfsectors.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[a)] Laat zien dat de grootte van de veldbijdrage
$\mathrm{d}\vec{E}$ in P ten gevolge van \'{e}\'{e}n sector uit \'{e}\'{e}n
ring (het zwarte stukje in de figuur) gegeven wordt door\medskip\
\[
\mathrm{d}E=\frac{\sigma r\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}r}{4\pi\varepsilon
_{0}(r^{2}+z^{2})}%
\]
\item[b)] Verklaar uit de symmetrie van de ringen dat voor de
bijdrage van $\mathrm{d}\vec{E}$ aan het totale veld $\vec{E}$ van de schijf
in P alleen de $z$-component van $\mathrm{d}\vec{E}$ hoeft te worden beschouwd.\medskip

\item[c)] Schrijf de integraal op die je moet uitvoeren om het veld
van de hele schijf te verkrijgen.

\item[d)] Laat zien dat deze integraal de volgende uitdrukking
oplevert:
\[
\vec{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}%
})\,\mathrm{\dakje{z}}%
\]
\item[e)] Geef benaderingsformules voor $z\ll R$ en voor
$z\gg R$, en geef commentaar op de resultaten.\bigskip
\end{itemize}



\subsubsection{Dagdeel II: De wet van Gauss - Wat moet ik kunnen?}
Bevestig voor jezelf dat je de volgende kennis beheerst (bijvoorbeeld door de relevante formules op te schrijven):
\begin{itemize}
\item
Het volume kunnen berekenen van een cilinder en een bol in respectievelijk
cilinder- en bol-co\"{o}rdinaten.
\item
 Begrijpen dat de electrische flux door een boloppervlak met willekeurige straal (en als middelpunt een puntlading) constant is.
\item
Met behulp van de Wet van Gauss het electrische veld berekenen van de volgende objecten:
 \begin{itemize}
   \item
     oneindig lange lijnlading, 
   \item
     oneindig grote geladen plaat,
   \item
     geladen bol.
  \end{itemize}
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Dagdeel III (new): De divergentie van het elektrisch veld}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaves.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}


\subsubsection{Weet je wat hier fout aan is?}
Een student schrijft het volgende op:
\begin{eqnarray}
\vec{E}=(x^{2},-2y^{2},3z^{2}) \\
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=(2x,-4y,6z)
\end{eqnarray}
\begin{itemize}
\item[a)] Omschijf zijn fout.
\item[b)] Corrigeer zijn antwoord.
\end{itemize}



\subsubsection{Komt er uit wat er uit zou
moeten komen?}
\begin{itemize}
\item[a)] Geef het elektrisch veld buiten een homogeen geladen bol.


\item[b)] Wat zou er volgens de wet van Gauss in differenti\"{e}le vorm uit
de divergentie moeten komen?


\item[c)] Controleer dit expliet door de divergentie van je antwoord bij
 te nemen.

\item[e)] Gegeven een elektrisch veld $\vec{E}(\vec
{r})=\left(  \frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}r-\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon
_{0}R}r^{2}\right)  \widehat{r}.$ Bepaal de ladingsdichtheid\ $\rho
(\vec{r})$ voor $r<R$.

\end{itemize}

\subsubsection{Vierkant }
Vier gelijke ladingen $Q=2.0\times10^{-6}$C
 bevinden zich in een overigens lege ruimte op de hoekpunten van een vierkant
met zijde $a=0.50$. De permittiviteit van het vacu\"{u}m
 is $\varepsilon_{0}=8.85\times 10^{-12}\frac{ C^{2}}{ N m^{2}}$.\medskip

\begin{itemize}
\item[a)] Hoe groot is de elektrische veldsterkte in het middelpunt van het vierkant?

\item[b)] Hoe groot is de elektrische potentiaal in het middelpunt van het vierkant?

\item[c)] Geef een uitdrukking voor  de potenti\"{e}le energie
 van de gegeven ladingsconfiguratie? Bedenk zelf wat redelijk is.  In het volgende college komt het antwoord voorbij!
\end{itemize}


\subsubsection{Ook bij een lijnlading?}
Beschouw een oneindig doorlopende, rechte lijnlading. Beschouw de lijn en een vierkantje in een plat vlak dat twee zijden parallel aan de lijn heeft en twee zijden loodrecht daar op, dus van de lijn uit gezien radieel gericht.
Het vierkantje ligt niet op de lijnlading.
 Teken eerst de situatie (essentieel!). Vervolgens, bereken de
kringintegraal van het elektrisch veld en geef commentaar op het resultaat van
de berekening.

%\subsubsection{Maak de dipool mathematisch}
%Open de Mathematica-file Dipool, voer de opdrachten uit en print het resultaat.




\subsubsection{Dagdeel III: De divergentie van het elektrisch veld - Wat moet ik kunnen?}
Bevestig voor jezelf dat je de volgende kennis beheerst (bijvoorbeeld door de relevante formules op te schrijven):
\begin{itemize}
\item Een integrale en een differenti\"{e}le vergelijking voor het electrische veld opschrijven.
\item Begrijpen hoe je m.b.v. de Stelling van Gauss bovengenoemde integrale en
differenti\"{e}le vergelijkingen in elkaar over kunt laten gaan.
\end{itemize}

\newpage









\subsection{Dagdeel IV (new): De gradi\"{e}nt van de potentiaal}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaves.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}



\subsubsection{Energievraagstuk opgelost op
college}
De energie die een elektrisch veld heeft, is gegeven door U=$\frac
{\varepsilon_{0}}{2}\int E^{\alpha}dV.$

Wat is de waarde van $\alpha?\bigskip$

\subsubsection{Gadi\"{e}nten berekenen}
\begin{itemize}
\item[a)] Bereken de gradi\"{e}nt\bigskip van $V(\vec{r})=r^{4/3}.$
\item[b)] Bereken de gradi\"{e}nt van $V(\vec{r})=x-3y+7z$
\item[c)] Bereken de gradi\"{e}nt van $V(\vec{r})=x-3y+7z-12$
\item[d)] Bereken de gradi\"{e}nt van $V(\vec{r})=e^{r}$
\end{itemize}



\subsubsection{Wat kun je zeggen over een
geleider?}
Iemand beweert: Op een een metalen draadje zal een lading zich gelijkmatig
verdelen, de lading per lengte-eenheid is overal gelijk.

\begin{itemize}
\item[a)] Beschouw een punt op driekwart van het draadje en leg uit dat op
een lading in dat punt een kracht zou werken, als de ladingsverdeling
inderdaad uniform zou zijn.

\item[b)] Formuleer twee criteria, \'{e}\'{e}n in termen van het elektrisch
veld en \'{e}\'{e}n in termen van de potentiaal, die geldig zijn in en op een geleider.
\end{itemize}

%\subsubsection{* Een rijtje gelijke ladingen}
%Open \ de gelijknamige Mathematica-file, voer de opdrachten uit en print het resultaat.





\subsubsection{Energie}
Bereken hoeveel energie is opgeslagen in de ladingsverdeling van opdracht~\ref{lading}c, horend bij het tweede dagdeel.


\subsubsection{Ronde bollen, spitse punten}
Je weet wellicht dat het elektrisch veld bij een spitse punt van een
geladen geleider groot is. Als illustratie hiervan beschouwen we twee
geleidende bollen, elk met lading +Q, met stralen a en b (b $>$ a).
 Op een gegeven moment verbind je de bollen door een lange, geleidende
draad. Je mag aannemen dat de ladingsverdeling op beide bollen bolsymmetrisch
blijft en dat de hoeveelheid lading die op de draad blijft zitten
verwaarloosbaar klein is.\medskip

\begin{itemize}
\item[a)] Schets de situatie.

\item[b)] Leg uit of op het moment dat je de verbindingsdraad aanlegt er
lading van de ene naar de andere bol zal gaan.

\item[c)] Bepaal de verhouding van de sterktes van de elektrische velden net
buiten beide bollen, na het aanleggen van de verbinding.
\end{itemize}



\subsubsection{Rare verdeling}
Gegeven is een potentiaal $V(r)=r^{7/2}$

\begin{itemize}
\item[a)] Beredeneer dat het elektrisch veld radi\"{e}el gericht zal zijn.

\item[b)]  Bereken het elektrisch veld uit de gegeven potentiaal. Is het
inderdaad radi\"{e}el gericht?

\item[c)] Bepaal met behulp van de wet van Gauss in differenti\"{e}le vorm
hoe de lading over de ruimte is verdeeld.

\item[d)]  Controleer met behulp van de wet van Gauss in integraalvorm of je
antwoorden bij b en c met elkaar kloppen.
\end{itemize}



\subsubsection{Dagdeel IV De gradi\"{e}nt van de potentiaal - Wat moet ik kunnen?}
Bevestig voor jezelf dat je de volgende kennis beheerst (bijvoorbeeld door de relevante formules op te schrijven):
\begin{itemize}
\item De uitdrukking voor de potentiaal van een puntlading geven.
\item Begrijpen hoe je de potentiaal van een dipool vindt.
\item De gradi\"{e}nt van een functie $f(x,y,z)$ berekenen.
\item Begrijpen hoe je de uitdrukking voor de energie van een willekeurige 
ladingsverdeling vindt.
\end{itemize}


\newpage

\subsection{Dagdeel V: Geleiders in elektrische velden}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaves.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}


\subsubsection{Oprollen}
Beschouw een vlakke-plaatcondensator met vierkante , $L$ bij $L$ grote platen,
met afstand tussen de platen $d$. Nu maak je daar een cilindercondensator van:
je rolt een plaat tot een buis, van de andere knip je een strook af, en ook
daarvan maak je een buis, die in de andere past, met afstand tussen de
binnenste en de buitenste buis nog steeds dezelfde $d$. Bereken of de
capaciteit van je nieuwe cilindercondensator groter of kleiner is dan die van
de plaatcondensator.

Leg uit hoe dit van $L$ en $d$ afhangt.


%\subsubsection{Draden of platen }
%Open de Mathematica-file Condensatormodellen, voer de opdrachten uit en print
%het resultaat.


%\subsubsection{Bespiegelingen over
%bovenleidingen}
%Je weet hoeveel spanning op de bovenleiding van een tram of trein staat. Je
%kunt ook schatten hoe hoogde kabels hangen. Als medewerker van GVB of NS krijg
%je de taak uit te rekenen hoe dun je de kabel mag maken voordat er vonken van
%af komen.
%
%Je stelt voor het volgende te doen: Je neemt de spanning $V_{0}$ en het veld
%waarbij lucht doorslaat $E_{d}$ als gegeven. Vervolgens neem je de formules
%die je kent voor veld en potentiaal rond een lijnlading: $E(r)=\frac{\lambda
%}{2\pi\varepsilon_{0}r}$ en $V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln(r).$
%Dan noem je de staal van de kabel $a$ en je drukt twee keer de $\lambda$ uit
%in de rest van de parameters, met beide formules een keer. Die uitdrukkingen
%stel je gelijk.
%
%\begin{itemize}
%\item[a)] Bepaal $a$ voor een realistische kabel.(dus neem een hoogte $h,$
%een $V_{0}$ en een $E_{d}.$)
%
%
%\item[b)] Teken het elektrisch veld rond een kabel boven de geleidende, en
%uiteraard geaarde, aarde. Leg uit dat de uitdrukking die je hierboven gebruikt
%hebt zeker niet goed is.
%
%
%\item[c)] Leg uit dat de uitdrukking die je voor de potentiaal hebt gebruikt
%ook niet zonder meer kan worden toegepast.
%
%
%\item[d)] Neem een spiegel-lijnlading -$\lambda$ op diepte h in de aarde.
%Teken het veld. Leg uit dat het probleem bij b hiermee is opgelost.
%
%
%\item[e)] Laat zien op de as tussen de kabel en de grond geldt:
%$E(z)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}(\frac{1}{z-h}-\frac{1}{z+h})$
%
%
%\item[f)] Leg uit dat je deze uitdrukking moet integreren van $z=0$ tot $z=h-a$
%en dat integreren tot $z=h$ problemen zou opleveren.
%
%
%\item[g)] Voer de integratie uit en bepaal opnieuw de minimale dikte van de
%kabel, met dezelfde parameters als bij vraag a.
%\end{itemize}


\subsubsection{Schud het uit je mouw!}
Je hebt inmiddels een aantal methoden geleerd die je kunt toepassen om het
elektrisch veld in een gegeven configuratie te bepalen:

De Wet van Gauss moet je nu snel, bijna routinematig kunnen toepassen. Dat kun
je testen met de volgende vraagstukken. Voor alle opdrachten geldt
dat je duidelijk de electrische flux door het Gauss oppervlak dient te
berekenen. En als je het $E$ veld buiten de integraal haalt beredeneer dan
waarom je dat mag doen.

\begin{itemize}
\item[a)] Bepaal het $E$ veld op afstand $d$ van een vlakke plaat (ladingsdichtheid $\sigma$) met een grote oppervlakte $A$, zodat $A>>d$. Gebruik een 'vierkant Guass pillen-doosje'.

\item[b)] Bepaal het $E$ veld op afstand $d$ van een lange cilinder (lengte $L$) met straal $R$ met $d>>R$ en $d<<L$. Gebruik een 'rond pillendoosje'. Laat
zien dat dit alleen gaat als je bij de uiteinden van de cilinder vandaan blijft.
\item[c)] Bepaal het $E$ veld buiten een geladen bol met lading $Q$ op afstand $d$.
 Gebruik een geschikt Gauss oppervlak.
\end{itemize}

\subsubsection{Dagdeel V: Geleiders in elektrische velden - Wat moet ik kunnen?}
\begin{itemize}
\item Begrijpen waarom de lading op een geleider gaat zitten.
\item Begrijpen waarom het $E$ veld in een geleider altijd nul is en waarom het $E$ veld altijd loodrecht op het oppervlak van een geleider staat.
\item Uitleggen wat de beeldladingsmethode inhoudt.
\item Uitleggen wat een condensator is. 
\end{itemize}



\newpage

\subsection{Dagdeel VI: Isolatoren in elektrische velden}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaves.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}


\subsubsection{Groter, kleiner, of
onveranderd?}
Een condensator heeft een capaciteit C als tussen de platen vacu\"{u}m heerst.
Nu wordt een di\"{e}lektrikum tussen de platen geschoven. Wordt de capaciteit
kleiner, groter, of blijft zij onveranderd?


\subsubsection{Wat is constant?}
Als je een condensator hebt, en je vraagt je af wat er met het elektrisch veld
zal gebeuren als je een isolator tussen de platen schuift, zijn er twee
mogelijke situaties.

\begin{itemize}
\item[a)] Beschrijf die twee mogelijke situaties.

De condensator bestaat uit twee vlakke platen met oppervlakte $A$ op afstand
 $d$. De condesatorplaten hebben een potentiaal verschil $V$.

\item[b)]  Bepaal de lading op ieder van de platen.

Nu schuiven we een isolator met di-electrische constante $\epsilon$ tussen
de platen.

\item[c)] We houden het potentiaal verschil $V$ constant dmv een batterij tijdens
deze actie. Wat is nu de lading op ieder van de platen?

\item[d)] Als we het potentiaal verschil niet constant hadden gehouden en er voor
gezorgd hadden dat er geen lading van de platen kan ontsnappen. Wat is
dan het potentiaal verschil?
\end{itemize}


\subsubsection{Wat voelt de testlading?}
Een testlading wordt in een ruimte geplaatst waarvoor geldt dat
$\vec{E} en \vec{P}$  alle ongelijk
aan nul zijn. Geef de uitdrukking voor de kracht op de testlading.


\subsubsection{Van het ene naar het andere materiaal}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\mbox{\epsfysize=4cm \epsffile{media.ps}}
\caption{Van het ene naar het andere materiaal.
}
\end{center}
\end{figure}
Gegeven is een grensvlak tussen twee media (zie figuur) waarin zich geen vrije
ladingen bevinden. 
Laat met behulp van een geschikt gekozen kringintegraal 
zien dat in dit grensvlak de 
de tangenti\"{e}le component van de elektrische veldsterkte $\vec{E}$
continue is.

\subsubsection{Half vol en half leeg.}
We bekijken twee gevallen van een gedeeltelijk met een
di\"{e}lektricum gevulde condensator.
 Gegeven is eerst een ideale condensator (in twee delen, zie
figuur) met plaatafstand $d$ en spanning $V$. De tussenruimte van deel 1
(tegenover de oppervlakte $S_{1}$) is vacu\"{u}m; de tussenruimte van deel 2
(tegenover de resterende oppervlakte $S_{2}$) is gevuld met een di\"{e}%
lektricum (permittiviteit $\varepsilon$).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,10)
\put(0,0){\mbox{\epsfysize=10cm\epsffile{Cdubbel.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[c)]  Bepaal voor elk van de delen 1 en 2:
\begin{itemize}
\item[1)] de grootte $E$ van de elektrische veldsterkte;
\item[2)] de grootte $P$ van de polarisatie;
\item[3)] de vrije lading $Q$;
\item[4)] de capaciteit $C$.
\end{itemize}

\item[d)]  Geef ook een uitdrukking voor de capaciteit van de
condensator als geheel.
\end{itemize}

Gegeven is nu een ideale condensator (in twee delen, zie
figuur) met plaatoppervlakte $S$ en vrije lading $Q$. De tussenruimte
van deel 1 (over de afstand $d_{1}$) is vacu\"{u}m; de tussenruimte van deel 2
(over de resterende afstand $d_{2}$) is gevuld met een di\"{e}lektricum
(permittiviteit $\varepsilon$).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,10)
\put(-0.5,0){\mbox{\epsfysize=9cm\epsffile{Cplak.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[e)]  Bepaal voor elk van de delen 1 en 2:\medskip

\begin{itemize}
\item[1)] de grootte $P$ van de polarisatie;

\item[2)]  de grootte $E$ van de elektrische veldsterkte;

\item[3)]  de spanning $V$;

\item[4)]  de capaciteit $C$.\medskip
\end{itemize}

\item[f)] Geef ook een uitdrukking voor de capaciteit van de condensator
als geheel.

\item[g)] Een vooruitblik: welke wet bepaalt hoe licht van het ene naar het
andere materiaal gaat, en wat is het verband met het gedrag van de 
loodrachte en paralelle componenten
van $\vec{E}$ bij de overgang?
\end{itemize}
\bigskip


\subsubsection{Hoe groot is die kracht? }
\begin{itemize}
\item[a)] Bepaal de orde van grootte van de kracht op een velletje papier dat
tot de helft in een vierkante plaatcondensator met zijde 10 cm en afstand
tussen de platen 0,1 mm steekt, als de spanning over de condensator 30 kV is.

\item[b)] Geef een uitdrukking voor de kracht die werkt op een di\"{e}%
lektricum dat in een cilindercondensator steekt.
\end{itemize}



\subsubsection{Komt er hetzelfde uit? }
\textit{aanwijzingen}:

- In deze opgave stelt $q$ een lading voor die varieert tussen $0$ en $Q$.

- De energiedichtheid \textsl{U }in de ruimte hangt samen met de elektrische
veldsterkte ${\vec{E}}$ volgens
\[
\textsl{u}=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2}%
\]
\bigskip

Van een condensator met capaciteit $C$ wordt de lading met een klein bedrag
vergroot van $q$ tot $q+\mathrm{d}q$.

\begin{itemize}
\item[a)]  Geef een uitdrukking voor de hoeveelheid energie
$\mathrm{d}U$ die hiervoor nodig is. Bepaal
hieruit door integratie de energie $U$ van de condensator als de 
lading $Q$ bedraagt.

Een vlakke plaatcondensator met plaatoppervlakte $S$ en plaatafstand $d$ is
opgesteld in vacu\"{u}m en bevat een lading $Q$.

\item[b)]  Geef, uitgaande van a, een formule voor de energie
$U$ van deze condensator

\item[c)]   Bereken $U$\ ook uit de energiedichtheid$\mathbb{\ }%
$\textsl{u } tussen de platen en vergelijk met c .\bigskip

Een geleidende bol met straal $R$ en lading $Q$ bevindt zich in de lege ruimte.

\item[d)] Geef, uitgaande van a, een formule voor de energie
$U$ van deze bol.

\item[e)] Bereken dezelfde energie ook via de volume-integraal
\[
U=\int\textsl{u\ }\mathrm{d}\mathcal{V}%
\]
\textit{aanwijzing}: doorloop de ruimte buiten de bol met bolschillen van
dikte $\mathrm{d}r$, waarbij $r$ dus loopt van $R$ tot $\infty$ (hoe zit het
met de ruimte binnen de bol?).\bigskip
\end{itemize}
 
\subsubsection{Interne consistentie? }
Een homogeen geladen bol met ladingsdichtheid $\rho=\tfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi
R^{3}}$\ is geplaatst in vacu\"{u}m en heeft zelf ook een permittiviteit
$\varepsilon_{0}$. Denk de bol schilsgewijs vanuit het midden opgebouwd.

\begin{itemize}
\item[a)]   Druk de lading $q$ en de potentiaal $V$ van een deelbol met
straal $r<R$ uit in $\rho$, $r$ en $\varepsilon_{0}$ (Bedenk dat de potentiaal
op nu$
$ is gesteld in het oneindige, niet in de oorsprong.)

\item[b)]   Bereken de energietoename $\mathrm{d}U=V\mathrm{d}q$\ bij
uitbreiding met een schil $\mathrm{d}r$.

\item[c)]   Druk via integratie over $r$\ de totale energie $U(R)$ van de
bol uit in $Q$, $R$ en $\varepsilon_{0}$

\item[d)]  Bereken $U(R)$ ook door integratie van $\textsl{u}$ over de
hele ruimte (binnen \'{e}n buiten de bol). 
\end{itemize}




\subsubsection{Gevulde Condensatoren, gesneden koek?}
Ook in de aanwezigheid isolatoren van en zelfs binnen materialen kunnen
we vaak met een handomdraai mbv De Wet van Gauss het elektrisch veld bepalen.
Doe dat voor onderstaande situaties. Maak steeds onderscheid tussen het gebied
binnen de condensator en buiten de condensator. Introduceer zelf de nodige
grootheden en geef altijd aan waar de vrije en/of gebonden lading zich
bevind.  Voor alle opdrachten geldt
dat je duidelijk de electrische flux door het Gauss oppervlak dient te
berekenen. En als je het $E$ veld buiten de integraal haalt beredeneer dan
waarom je dat mag doen. 


\begin{itemize}
\item[a)]  Een vlakke plaat condensator.

\item[b)] Een cilinder condensator. Dus van binnen naar buiten: een geleider, dan een
isolator die weer gehuld is een een geleidende schil. Blijf bij de uiteinden
vandaan (waarom?)!
\end{itemize}



\subsubsection{Dagdeel VI: Isolatoren in elektrische velden - Wat  moet ik kunnen?}\begin{itemize}
\item Het verschil tussen een geleider en een isolator uitleggen
\item Uitleggen waarom in een 'lineaire' isolator geen netto lading zit (de isolator in een extern electrisch veld geplaatst).
\item Uitleggen waarom er netto wel lading op buitenkant van 
 een 'lineaire' isolator zit (wederom is de isolator in een extern electrisch veld plaatst).
\item Uitleggen hoe je uitgaande van de polarisatie $\vec{P}$ de bijdrage aan het het electrische veld van een isolator kunt bepalen.
\end{itemize}



\end{document}
