\documentclass{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}

\newcommand{\dakje}{\hat}
\renewcommand{\dot}{\cdot}
% \newcommand{\urad}{ $\mu$rad}




\input{psfig}
\input{epsf}


\begin{document}

\setcounter{page}{500}
% 
% \addtocounter{section}{}
% \setcounter{section}{2}

\appendix
%  \addtocounter{section}{1}


\section{APPENDIX: Opgaven Elektrodynamica}
Hieronder vind je de opdrachten die je tijdens de colleges
 en thuis gaat maken.

Het is gebleken dat oefenen met de leerstof zijn vruchten afwerpt.
Een kleine wekelijkse investering in de vorm van tijd en energie als je
de opgaves maakt zal je dubbel en dwars terugverdienen.
Een prettige bijkomstigheid is dat het volgen vande colleges
gemakkelijker en efficienter zal worden omdat je  'bij' bent en blijft
door het maken van deze 'papieren' opgaves.

Als extra stimulans zijn er ook 'digitale' opgaves die je 
wekelijks dient in te leveren. 
De digitale 'inlever opdrachten'  kun je vinden via de webpage: 

 http://www.nikhef.nl/user/h73/kned.html 

\bigskip


\subsection{ Dagdeel I }
\begin{itemize}
\item{interactief hoorcollege Wet van Ohm, Wet van Faraday}
\item{werkcollege}
\end{itemize}



\subsubsection{Draadjes, plaatjes, blokjes }

\begin{itemize}
\item[a)] Als je een metaaldraadje vergelijkt met een even dik maar twee
keer zo lang draadje, hoe verhouden de weerstanden zich dan?

\item[b)] Als je een draadje uitrekt tot twee maal zijn oorspronkelijke
lengte (waarbij de draad ook na het uitrekken op elk punt even dik is), hoe
verandert de weerstand dan?

\item[c)]Beschouw een vierkant plaatje met dikte d en zijden van lengte L,
met op twee tegenover elkaar liggende punten een contact. Geef een
uitdrukking voor de weerstand van dit plaatje.

\item[d)]Beschouw twee even dikke plaatjes, waarvan de zijden van het ene
plaatje twee keer zo lang zijn als van het andere en vergelijk de
weerstanden.

\item[e)] Beschouw twee massieve blokjes waarvan de zijden van het ene
blokje twee keer zo lang zijn als van het andere en vergelijk de weerstanden.
\end{itemize}

\subsubsection{ Bewegen en meten }
Bedenk en beschrijf  wat er met de spanning over een lus gebeurt als je een
 magneet naar de lus toe en van de lus af beweegt.
 Bedenk ook na wat er gebeurt als je de lus beweegt ten opzichte van magneet.
 Wat is de invloed van het verwisselen van de polen van de magneet? 
Bedenk wat het effect is van het met grotere snelheid bewegen van de magneet.


\subsubsection{Hele lus in veld}
Tijdens het college is afgeleid dat de inductiewet van Faraday
overeenkomt met wat je krijgt door een rechthoekige lus die aan \'{e}\'{e}n
kant in een magneetveld steekt te beschouwen, en de kringintegraal van de
lorentzkracht te nemen. Laat op dezelfde manier zien dat er geen
elektromotorische kracht is als de lus wel beweegt, maar met alle zijden
binnen het magneetveld.

\subsubsection{Ronde lus in het veld}
Je beweegt een cirkelvormige lus met constante snelheid. In een deel van de
ruimte is een constant magneetveld aanwezig, loodrecht op het vlak van de
lus. Schets de grafiek van de inductiespanning als functie van de tijd.

\subsubsection{ Dynamo I}
Een vierkante draadspoel met N windingen draait rondom een as (y-as) die
loodrecht staat op de richting van het magneetveld (// z-as) (zie figuur). Het
magneetveld is constant en heeft de waarde $B_0$. Neem assenstelsel zoals gegeven
in de figuur. De spoel heeft een oppervlakte $S=L^2$. De hoeksnelheid waarmee de
spoel ronddraait is $\omega$. Dus de hoek $\theta$ die de normaal op het spoeloppervlak maakt
met het B-veld varieert als functie van de tijd t als: $\theta=\omega t $. Op $t=0$ bevindt de spoel
zich in het XY vlak d.w.z.  $B_0$  en de normaal op het spoeloppervlak zijn parallel.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,4)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=4cm\epsffile{dynspoel.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}

\item[a]	Bereken op $t=0$ de magnetische flux, $\Phi_B$, door de spoel.
\item[b]	Bereken op een willekeurig tijdstip $t$ de magnetische flux door de spoel.
\item[c]	Gebruik de Wet van Faraday om te laten zien dat de EMK van deze opstelling gegeven wordt door ($f$: kracht per eenheidslading, $E$: elektrische veld):

\end{itemize}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,1)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=1cm\epsffile{emkformule.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item[d]	Laat zien dat dezelfde EMK gevonden wordt door de component van de  Lorentz-kracht (die werkt op de ladingsdragers in de spoel) parallel aan de draad(stroom)richting te integreren rond de spoel.

\end{itemize}

\subsubsection{ Dynamo II}
Een vierkant draadraam met zijde $a$  roteert om
de $x$-as met constante hoeksnelheid $\mathrm{\omega }$. Op het tijdstip $%
t=0 $ wijst de normaalvector in de positieve $z$-richting. In de
door het roterende draadraam bestreken ruimte heerst een magnetisch veld in
de positieve $z$-richting met grootte $\mathcal{B}$. Neem eerst aan dat $%
\mathcal{B}=\mathcal{B}_{0}$, waarbij $\mathcal{B}_{0}$ niet afhangt van
plaats of tijd.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,9)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=6cm\epsffile{wireloopinb.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item[a)] Leg
uit dat de magnetische flux $\Phi (t)$ door het draadraam en de bijbehorende
emf $V(t)$ gegeven worden door 
\begin{equation*}
\Phi (t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}\cos \mathrm{\omega }t  \text{en 
} V(t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}\mathrm{\omega }\sin \mathrm{\omega }t
\end{equation*}

Neem in het vervolg aan dat in werkelijkheid $\mathcal{B}$ afhangt van $y$
volgens  
\begin{equation*}
\frac{\mathcal{B}(y)}{\mathcal{B}_{0}}=1-2\left( \frac{y}{a}\right) ^{2}
\end{equation*}
\item[b)]  Geef kwalitatief aan welke invloed dit zal hebben op de grafieken
van $\Phi (t)$ en $V(t)$ uit onderdeel a).

Het punt P is een willekeurig punt dat meedraait in het
vlak van het draadraam; op het tijdstip $t=0$ is de $y$-co\"{o}rdinaat van P
gelijk aan $y_{0}$.

\item[c)]  Leg uit dat de magnetische veldsterkte in P gegeven wordt
door 
\begin{equation*}
\mathcal{B}_{\text{\textrm{P}}}(t)=\mathcal{B}_{0}\left( 1-\frac{
2y_{0}^{2}\cos ^{2}\mathrm{\omega }t}{a^{2}}\right)
\end{equation*}
\item[d)]  Maak $y_{0}$ nu variabel tussen $-\frac{a}{2}$ en $+\frac{a}{%
2}$, en leid via integratie over $y_{0}$ af dat 
\begin{equation*}
\Phi (t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}\cos \mathrm{\omega }t\;(1-\tfrac{1}{6}\cos ^{2}%
\mathrm{\omega }t)  \text{en}  V(t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}%
\mathrm{\omega }\sin \mathrm{\omega }t\;(1-\tfrac{1}{2}\cos ^{2}\mathrm{%
\omega }t)
\end{equation*}
\item[e)]  Ga na of het resultaat van d) overeenkomt met je
beantwoording van b).
\end{itemize}


\subsubsection{Stroomkosten}
Beschouw een stroomlusje dat (loodrecht) in een magneetveld staat. Iemand beweegt de stroomlus vervolgens uit het magneetveld (zie de transparanten over de Wet van Faraday). Ten koste van wat loopt de stroom? Laat zien dat het magneetveld geen arbeid verricht. Laat zien dat de persoon die aan het stroomlusje trekt wel arbeid verricht. 


\subsubsection{Webmotoren}
(alleen als je tijd over hebt) \\
Met de zoekterm elektromotor (aangevuld met termen als principe, werking ed)
is veel informatie te vinden over dit onderwerp. Niet alles op het web is
even betrouwbaar. Noem een website en geef commentaar op wat daar beweerd
wordt, wat is goed aan de uitleg, wat verkeerd?\bigskip


\subsubsection{Slakkengang}
(alleen als je tijd over hebt) \\
Zoek het transparant op waar wordt berekend dat de elektronen in een stroomdraad driften met 15 cm/uur. Bereken zelf de drift van elektronen in een stroomdraad.


\newpage

\subsection{ Dagdeel II Zelfinductie en energie}
\begin{itemize}
\item{herhaling, bespreking van de opgaves}
\item{hoorcollege zelfinductie en energie}
\item{werkcollege}
\end{itemize}

\subsubsection{Kringen}

Een elektrische kring bestaat uit een ohmse weerstand met weerstand $R$ en
een spoel met zelfinductieco\"{e}ffici\"{e}nt $L$. Op het tijdstip $t=0$
loopt in de kring een stroom $I_{0}$.

a\quad Stel voor de kring een differentiaalvergelijking op en bereken de
stroom $I(t)$.

b)\quad Bereken de totale energie $E$ die in de weerstand wordt gedissipeerd
en interpreteer het resultaat.

Een tweede elektrische kring bestaat uit een ohmse weerstand met weerstand $%
R $ en een plaatcondensator met capaciteit $C$. Ook in deze kring loopt op
het tijdstip $t=0$ een stroom $I_{0}$.

c)\quad Herhaal onderdelen a) en b) voor deze tweede kring.

d)\quad Leg uit of in de situatie van onderdeel c) in de ruimte tussen de
condensatorplaten een magnetisch veld ontstaat.\vspace{1cm}

\subsubsection{Spoel in kring}
We beschouwen een solenoide in vacu\"{u}m (een gewone rechte spoel) met lengte l waar een stroom $I_0$ doorheen loopt. De spoel heeft N windingen per meter en radius $R$.

\begin{itemize}
\item[a] Bepaal de zelfinductie $L$ van deze spoel. 
\item[b] De stroom $I(t=0)= I_0$ wordt verzorgd door een stroombron. Deze verwijderen we vliegensvlug en plaatsen hiervoor op $t=0$ een ongeladen condensator met capaciteit $C$ voor in de plaats. De lading $Q(t)$ op de condensator zal een periodieke functie gaan beschrijven.
\item[c]  Bereken de stroom in deze (ideale) LC kring als functie van de tijd in termen van $L$, $C$ en $I_0$ . Begin met de differentiaalvergelijking voor $Q(t)$.  Schrijf de stappen van je berekening duidelijk op.
\item[d] Leid m.b.v. een energie-beschouwing af, wat de maximale lading  op de condensator is.  Hoe volgt dit ook uit je antwoord op c?
\end{itemize}




\subsubsection{De Strop}
    Een metalen vierkante lus wordt met constante snelheid $v$ door een
 magneetveld    bewogen, zoals aangegeven in de tekening.     De lus heeft zijdes met een lengte $l$, een totale weerstand  $R$ en een verwaarloosbare
    zelfinductie.  Het magneetveld heeft de constante grootte 
$B_0$ tussen $x=0$ en  $x=a$ en het
    wijst het blad uit. Elders is het veld nul.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,4)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=4cm\epsffile{strop.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[a] Op tijd $t=0$ ligt de lus op $x=-a$ en wordt vevolgens bewogen tot $x=2a$. Bereken de magnetische flux door de lus als functie van de tijd. 
 Geef tevens aan hoe je uit de flux de elektromotorische kracht (EMK)
 berekenen kunt. 

     Op het moment dat de lus het veld binnendringt, zal er ten gevolge van de EMK een
     stroom gaan lopen. 

\item[b] Laat zien dat de maximale grootte van deze stroom gegeven is door:
\begin{equation}
I=\frac{B}{R} l v
\end{equation}	   
      en schets het verloop van $I$ als functie van de tijd.


\item[c] Hoe groot is de kracht die je moet uitoefenen om de snelheid constant te houden als 
      functie van de tijd? 
      (Tip: Bepaal de Lorentz kracht op het lusje.)

\item[d] Laat zien dat de arbeid die jij zou moeten leveren om het lusje door het veld te  
       bewegen gelijk is aan de elektrische energie die in de weerstand is omgezet.
       (Tip: Het elektrisch vermogen is gegeven door $P = I^2R$)  
	

	Tot nu toe hebben we de zelfinductie $L$ van de spoel verwaarloosd, nu willen we 
  	deze ook meenemen in de berekening. 

\item[e] Stel een differentiaal vergelijking op met daarin, naast de termen voor de EMK t.g.v. de   flux verandering en de spanning over de weerstand, een term voor de bijdrage ten gevolge van de zelfinductie. Schets het verloop van de stroom als functie van de tijd en licht eventuele veranderingen ten opzichte van opgave b toe.
\end{itemize}

\subsubsection{Spoel in spoel}
Een vierkant draadraam met $N_d$ windingen draait rondom een as (y-as).
 Dit draadraam bevindt zich in een homogeen magnetich veld $B_0$ ,
 dat in de z-richting wijst. Neem het assenstelsel zoals gegeven in de 
figuur. Het draadraam heeft een oppervlakte $S=L^2$. De hoeksnelheid waarmee het draadraam ronddraait is $\omega$. Dus de hoek $\theta$ die de normaal op het
 denkbeeldige raamoppervlak maakt met het magnetisch veld varieert als
 functie van de tijd $t$ als: $\theta=\omega t$. Op $t=0$ bevindt het draadraam zich in het XY vlak d.w.z.  $B_0$  en de normaal op het oppervlak zijn parallel.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,4)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=4cm\epsffile{dynspoel.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}

\item[a]	Bereken op een willekeurig tijdstip $t$ de magnetische flux door de spoel.
\item[b]	Gebruik de Wet van Faraday om te laten zien dat de EMK van deze opstelling gegeven wordt door 
\begin{equation}
EMK=B_0 N \omega L^2 sin(\omega t)
\end{equation}
\end{itemize}

Een student heeft een ingeving. De student plaatst het draadraam in het midden van een  rechte spoel met lengte  1m met $N_s$ windingen  (as langs z-as), 
waar de randeffecten verwaarloosd kunnen worden. Zie figuur van deze configuratie. 
Hij/zij verbindt de uiteinden van het draadraam in serie met de rechte spoel.
 De draaisnelheid van het draadraam wordt constant gehouden. Op $t=0$ ligt het
 draadraam in het XY vlak, loopt er een stroom $I_0$. 
De verbinding is zo gekozen dat de inductie stroom op $t=0$ hetzelfde teken krijgt als $I_0$ . De zelfinductie co\"{e}ffici\"{e}nten  van de spoelen mag je als gegeven
 beshouwen; gebruik $L_d$ en $L_s$ voor de zelfinductie  van draadraam en
 spoel respectievelijk.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,6)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=6cm\epsffile{spoelspoel.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}

\item[c]  Geef de formule voor de magnetische flux op een willekeurig
 tijdstip $t$ 
      door het draadraam als functie van de (nog onbekende) stroom $I(t)$. 
 Houdt rekening met
      de flux t.g.v. het veld van de rechte spoel en de flux t.g.v.
 zelfinductie.

Omgekeerd, is de flux door de rechte spoel t.g.v. het draaiende draadraam
 veel lastiger
te berekenen. Hiervoor bestaat echter een slimme truc! 
Voor twee willekeurige spoelen geldt:
  $\Phi_{1 tgv 2} = M  I_2$  en $\Phi_{2 tgv 1} =M  I_1$.     $\Phi_{1 tgv 2}$    is de bijdrage aan de magnetische flux
door spoel 1   t.g.v. de stroom  $I_2$   door spoel 2 (en omgekeerd). De tijdsafhankelijk coëfficiënt $M$
wordt de mutuele inductie genoemd. Uit opgave c volgt dat $M(t) =$~Constante~$cos(\omega t)$ . 
\item[d]  De som van alle EMK’s dient gelijk aan nul te zijn. Laat zien dat deze som een
      differentiaal vergelijking oplevert van de vorm:
\begin{equation}
k_1 \frac{dI(t)}{dt} + k_2 \frac{d}{dt} (M(t) I(t))  =0
\end{equation}
          Geef uiteraard ook de constantes $k1$ en $k2$.

\item[e]  Laat zien dat de functie $I(t) = a/(b+ cos(\omega t) )$ een
 oplossing is.  Geef $a$ en $b$. Houdt dit systeem zichzelf in stand?
\end{itemize}




\subsubsection{Transformator}

Een transformator (voor het omzetten van een gegeven wisselspanning in een
hogere of lagere wisselspanning) bestaat meestal uit een juk van weekijzer,
waaromheen een primaire en een secundaire spoel zijn gewikkeld.
Het weekijzer geeft de magnetische flux, opgewekt door de primaire spoel,
door naar de secundaire spoel.

We nemen nu een transformator met 'perfecte koppeling', zodat alle
veldlijnen in het weekijzer zijn geconcentreerd. De primaire spoel heeft $%
N_{1}$ windingen, de secundaire spoel $N_{2}$ windingen. De stromen in de
primaire en secundaire stroomkringen zijn $I_{1}$ en $I_{2}$. De omtrek
(langs de hartlijn) van het juk is $l$, de dwarsdoorsnede is $S$. Het
weekijzer heeft een constante permeabiliteit $\mu $.

\begin{itemize}
\item[a] Teken de situatie. Geef uitdrukkingen voor de grootte $\mathcal{B}$ van het totale
magnetisch veld in het juk, en voor de magnetische flux $\Phi $ door
\'{e}\'{e}n enkele winding.
\item[b] Geef uitdrukkingen voor de totale fluxen $\Phi _{1}$ en $\Phi _{2}$
omvat door de spoelen 1 en 2.
\item[c] Laat zien dat de ge\"{i}nduceerde spanningen $V_{2}$ en $V_{1}$ over
de spoelen zich verhouden als 
\begin{equation*}
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}
\end{equation*}
\item[d] Geef uitdrukkingen voor de co\"{e}ffici\"{e}nten van zelfinductie $%
L_{1}$ en $L_{2}$ van de spoelen, en ook voor de co\"{e}ffici\"{e}nt van
mutuele inductie $M$. De mutuele inductie is gedefinieerd als $\Phi_1=M I_2$ en/of $\Phi_2=M I_1$. 

 Laat vervolgens zien dat voldaan is aan 
\begin{equation*}
L_{1}L_{2}=M^{2}\quad \quad \text{en\quad \quad }\frac{L_{1}}{L_{2}}=\left( 
\frac{N_{1}}{N_{2}}\right) ^{2}
\end{equation*}

Op de ingang van de transformator is een wisselspanning $V_{in}(t)=V_{m}\cos
\omega t$ aangesloten. Over de uitgang staat als belasting een weerstand $R$%
. Het spanningsverval over $R$ bedraagt $V_{uit}=-RI_{2}(t)$.
\item[e] Ga na
dat de stromen $I_{1}$ en $I_{2}$ voldoen aan de differentiaalvergelijkingen 
\begin{eqnarray}
L_{1}\frac{\mathrm{d}I_{1}}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}I_{2}}{\mathrm{d}t}
&=&V_{m}\cos \omega t   \label{een} \\
M\frac{\mathrm{d}I_{1}}{\mathrm{d}t}+L_{2}\frac{\mathrm{d}I_{2}}{\mathrm{d}t}
&=&-RI_{2}(t)  \label{twee}
\end{eqnarray}
\item[f]
Los de stromen $I_{1}(t)$ en $I_{2}(t)$ uit bovenstaande vergelijkingen op.\hfill
\linebreak \textit{aanwijzing}: elimineer eerst $I_{1}$ en los $I_{2}$ op;
bepaal vervolgens $I_{1}$ door integratie van~\ref{een} en stel daarbij de
gelijkstroomcomponent gelijk aan nul.
\item[g]
 Laat zien dat 
\begin{equation*}
\frac{V_{uit}}{V_{in}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}
\end{equation*}
\item[h]
Bereken met de in f) gevonden uitdrukkingen voor $I_{1}(t)$ en $%
I_{2}(t)$ het ingaande vermogen $P_{in}$ = $V_{in}I_{1}$ en het uitgaande
vermogen $P_{uit}$ = $-V_{uit}I_{2}$. Laat zien dat, gemiddeld over een
periode, $P_{in}$ en $P_{uit}$ aan elkaar gelijk zijn.

Gegeven is nu een speciaal geval van 'omlaag transformeren' waarin $%
N_{1}=2N_{2}$ en $R=\frac{1}{4}\omega L_{2}$.
\item[i]
 Teken voor dit geval een complex vectordiagram van de relaties~\ref{een}
en~\ref{twee} (kies $RI_{2}$ langs de positieve re\"{e}le as). Geef hierin ook de
richtingen van $I_{1}$ en $\mathcal{B}$ aan.
\item[j]
 Keer nu terug naar het algemene geval en laat zien dat bij
benadering steeds geldt dat de stromen zich verhouden als 
\begin{equation}
\frac{I_{2}}{I_{1}}=-\frac{N_{1}}{N_{2}}
\end{equation}
mits voldaan is aan $R\ll \omega L_{2}$.

\end{itemize}

\subsubsection{Zelfinductie twee stroken}
(alleen als je tijd over hebt) \\
Ga naar http://emclab.umr.edu/new-induct en ga na wat de zelfinductie is
voor twee parallelle stroken, waarbij in de ene strook de stroom de ene kant
op gaat, en in de andere de tegengestelde kant. Onder welke voorwaarden is
de gegeven uitdrukking afgeleid?

\newpage

\subsection{ Dagdeel III De Maxwellvergelijkingen, elektromagnetische
golven}
\begin{itemize}
\item{bespreking van de opgaves}
\item{hoorcollege }
\item{werkcollege}
\end{itemize}



\subsubsection{Vlakke EM Golf}
Beschouw een vlakke electromagnetische golf die zich voortplant in
 de z-richting.  Stel dat $\vec{E}$ en $\vec{B}$ ook componenten hebben in de z richting. Gebruik de Wet van Gauss (voor electrische en magnetische veld)
 en laat zien dat deze componenten nul moeten zijn. Beredeneer ook dat 
 $\vec{E}$ en $\vec{B}$ wel loodrechte componenten (op de z-richting) kunnen
hebben.

\subsubsection{Een gedachtenexperiment}
Beschouw een condensator die wordt opgeladen. Er loopt een stroom in de
draden naar beide platen. Tussen de platen loopt geen stroom. Rond de draad
is er een magneetveld. Dat vind je door een cirkel rond de draad te
beschouwen en

$\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I$

daar op toe te passen. Je neemt dus de kringintegraal rond de cirkel, en de
stroom is de stroom die door die cirkel heen prikt.

Als je dit doet voor een cirkel die niet rond een draadstuk ligt, maar ter
hoogte van de condensator, zou je vinden dat het magneetveld gelijk is aan
nul. Dit is niet wat je zou verwachten, het magneetveld verandert niet
plotseling ter hoogte van de condensator. Een meting zou uitwijzen dat het
veld niet verandert: op afstand r in radi\"{e}le richting is het veld gelijk
aan $\frac{\mu _{0}I}{2\pi r},$ ook ter hoogte van de condensator.

\bigskip

Als je een cirkel ter hoogte van de draad neemt, maar het bijbehorende
oppervlak zo oprekt dat het ''vlies'' tussen de platen doorloopt, is het
probleem nog groter: op die manier zou je een magnetisch veld gelijk aan nul
krijgen, terwijl een niet-opgerekt vlies wel een veld oplevert.

Opdracht: zoek uit welke van de volgende ''pogingen tot aanpassing van de
wet van Ampere voor niet-stationaire situaties'' als resultaat geeft dat het
magneetveld continu is in de verticale richting:

A\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I+\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}$

B\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I-\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}$

C\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I+\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\int_{opp}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{do}$

D\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I-\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\int_{opp}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{do}$



\subsubsection{Golven}
{\sl extra leesstof over licht en polarisatie is te
 vinden bij de slides van het college (achteraan). }


Een lineair gepolariseerde vlakke elektromagnetische golf is gegeven door 
\begin{eqnarray*}
\mathcal{\vec{E}}(z,t) &=&\mathcal{\vec{E}}_{0}\cos (kz-\omega t) \\
\mathcal{\vec{B}}(z,t) &=&\mathcal{\vec{B}}_{0}\cos (kz-\omega t)
\end{eqnarray*}
\begin{itemize}
\item[a)] Gebruik de golfvergelijking om te laten zien dat er geen dispersie (zie kf1a)  optreedt.

\item[b)] Gebruik de differenti\"{e}le vorm van de wetten van Maxwell om te
laten zien dat
\begin{itemize}
\item[ 1)]  de golf transversaal is; 
\item[2)] $\mathcal{\vec{E}}$ en $\mathcal{\vec{B}}$ loodrecht op elkaar staan.
\end{itemize}
\end{itemize}
Beschouw in de vrije ruimte een elektromagnetische golf met als elektrische
component 
\begin{equation*}
\mathcal{\vec{E}}(x,t)=(\mathcal{E}_{x}\text{, }\mathcal{E}_{y}\text{, }%
\mathcal{E}_{z})=(0\text{, }\mathcal{E}_{0}\cos (kx+\omega t)\text{, }0)
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item[c)] Wat is hier de polarisatierichting? Wat is de bewegingsrichting?

\item[d)] Druk de voortplantingssnelheid $c$, de golflengte $\lambda $ en de
trillingstijd $T$ uit in $k$ en $\omega $.

\item[e)] Bepaal met behulp van de differenti\"{e}le vorm van de wetten van
Maxwell de magnetische component $\mathcal{\vec{B}}$.

\item[f)] Verifieer dat $\mathcal{E}=c\mathcal{B}$ en dat het uitproduct $%
\mathcal{\vec{E}}\times \mathcal{\vec{B}}$ in de bewegingsrichting wijst.%
\vspace{1cm}

\item[g)] Geef een uitdrukking voor een elektromagnetische golf die langs de $z
$-as is gepolariseerd en zich langs de $y$-as in positieve richting
voortplant.

\item[h)] Idem voor een circulair gepolariseerde golf die in de positieve $x$%
-richting beweegt en met hoeksnelheid $\mathrm{\omega }$ rechtsom
draait.\pagebreak 
\end{itemize}

\end{document}

\end{document}

