
\section{Electro-Dynamica}
\subsection{ Dagdeel I }
\begin{itemize}
\item{herhaling, bespreking van de opgaves}
\item{hoorcollege Wet v Ohm, Wet v Faraday}
\item{werkcollege}
\end{itemize}



\subsubsection{Draadjes, plaatjes, blokjes }

\begin{itemize}
\item[a)] Als je een metaaldraadje vergelijkt met een even dik maar twee
keer zo lang draadje, hoe verhouden de weerstanden zich dan?

\item[b)] Als je een draadje uitrekt tot twee maal zijn oorspronkelijke
lengte (waarbij de draad ook na het uitrekken op elk punt even dik is), hoe
verandert de weerstand dan?

\item[c)]Beschouw een vierkant plaatje met dikte d en zijden van lengte L,
met op twee tegenover elkaar liggende punten een contact. Geef een
uitdrukking voor de weerstand van dit plaatje.

\item[d)]Beschouw twee even dikke plaatjes, waarvan de zijden van het ene
plaatje twee keer zo lang zijn als van het andere en vergelijk de
weerstanden.

\item[e)] Beschouw twee massieve blokjes waarvan de zijden van het ene
blokje twee keer zo lang zijn als van het andere en vergelijk de weerstanden.
\end{itemize}

\subsubsection{ Bewegen en meten }
Onderzoek wat er met de spanning over de lus gebeurt als je de magneet naar
de lus toe en van de lus af beweegt. Ga ook na wat er gebeurt als je de lus
beweegt ten opzichte van magneet. Ga na wat de invloed is van het
verwisselen van de polen van de magneet. Ga na wat het effect is van het met
grotere snelheid bewegen van de magneet.

\subsubsection{Hele lus in veld}
In de powerpointpresentatie werd afgeleid dat de inductiewet van Faraday
overeenkomt met wat je krijgt door een rechthoekige lus die aan \'{e}\'{e}n
kant in een magneetveld steekt.te beschouwen, en de kringintegraal van de
lorentzkracht te nemen. Laat op dezelfde manier zien dat er geen
elektromotorische kracht is als de lus wel beweegt, maar met alle zijden
binnen het magneetveld.

\subsubsection{Ronde lus in het veld}
Je beweegt een cirkelvormige lus met constante snelheid. In een deel van de
ruimte is een constant magneetveld aanwezig, loodrecht op het vlak van de
lus. Schets de grafiek van de inductiespanning als functie van de tijd.

\subsubsection{ Dynamo?}
Een vierkant draadraam met zijde $a$  roteert om
de $x$-as met constante hoeksnelheid $\mathrm{\omega }$. Op het tijdstip $%
t=0 $ wijst de normaalvector in de positieve $z$-richting. In de
door het roterende draadraam bestreken ruimte heerst een magnetisch veld in
de positieve $z$-richting met grootte $\mathcal{B}$. Neem eerst aan dat $%
\mathcal{B}=\mathcal{B}_{0}$, waarbij $\mathcal{B}_{0}$ niet afhangt van
plaats of tijd.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,9)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=6cm\epsffile{wireloopinb.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item[a)] Leg
uit dat de magnetische flux $\Phi (t)$ door het draadraam en de bijbehorende
emf $V(t)$ gegeven worden door 
\begin{equation*}
\Phi (t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}\cos \mathrm{\omega }t  \text{en 
} V(t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}\mathrm{\omega }\sin \mathrm{\omega }t
\end{equation*}

Neem in het vervolg aan dat in werkelijkheid $\mathcal{B}$ afhangt van $y$
volgens  
\begin{equation*}
\frac{\mathcal{B}(y)}{\mathcal{B}_{0}}=1-2\left( \frac{y}{a}\right) ^{2}
\end{equation*}
\item[b)]  Geef kwalitatief aan welke invloed dit zal hebben op de grafieken
van $\Phi (t)$ en $V(t)$ uit onderdeel a).

Het punt P is een willekeurig punt dat meedraait in het
vlak van het draadraam; op het tijdstip $t=0$ is de $y$-co\"{o}rdinaat van P
gelijk aan $y_{0}$.

\item[c)]  Leg uit dat de magnetische veldsterkte in P gegeven wordt
door 
\begin{equation*}
\mathcal{B}_{\text{\textrm{P}}}(t)=\mathcal{B}_{0}\left( 1-\frac{
2y_{0}^{2}\cos ^{2}\mathrm{\omega }t}{a^{2}}\right)
\end{equation*}
\item[d)]  Maak $y_{0}$ nu variabel tussen $-\frac{a}{2}$ en $+\frac{a}{%
2}$, en leid via integratie over $y_{0}$ af dat 
\begin{equation*}
\Phi (t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}\cos \mathrm{\omega }t\;(1-\tfrac{1}{6}\cos ^{2}%
\mathrm{\omega }t)  \text{en}  V(t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}%
\mathrm{\omega }\sin \mathrm{\omega }t\;(1-\tfrac{1}{2}\cos ^{2}\mathrm{%
\omega }t)
\end{equation*}
\item[e)]  Ga na of het resultaat van d) overeenkomt met je
beantwoording van b).
\end{itemize}

\subsubsection{Webmotoren}
(alleen als je tijd over hebt) \\
Met de zoekterm elektromotor (aangevuld met termen als principe, werking ed)
is veel informatie te vinden over dit onderwerp. Niet alles op het web is
even betrouwbaar. Noem een website en geef commentaar op wat daar beweerd
wordt, wat is goed aan de uitleg, wat verkeerd?\bigskip


\newpage

\subsection{ Dagdeel II Zelfinductie en energie}
\begin{itemize}
\item{herhaling, bespreking van de opgaves}
\item{hoorcollege zelfinductie en energie}
\item{werkcollege}
\end{itemize}

\subsubsection{Kringen}

Een elektrische kring bestaat uit een ohmse weerstand met weerstand $R$ en
een spoel met zelfinductieco\"{e}ffici\"{e}nt $L$. Op het tijdstip $t=0$
loopt in de kring een stroom $I_{0}$.

a\quad Stel voor de kring een differentiaalvergelijking op en bereken de
stroom $I(t)$.

b)\quad Bereken de totale energie $E$ die in de weerstand wordt gedissipeerd
en interpreteer het resultaat.

Een tweede elektrische kring bestaat uit een ohmse weerstand met weerstand $%
R $ en een plaatcondensator met capaciteit $C$. Ook in deze kring loopt op
het tijdstip $t=0$ een stroom $I_{0}$.

c)\quad Herhaal onderdelen a) en b) voor deze tweede kring.

d)\quad Leg uit of in de situatie van onderdeel c) in de ruimte tussen de
condensatorplaten een magnetisch veld ontstaat.\vspace{1cm}

\subsubsection{Transformator}

Een transformator (voor het omzetten van een gegeven wisselspanning in een
hogere of lagere wisselspanning) bestaat meestal uit een juk van weekijzer,
waaromheen een primaire en een secundaire spoel zijn gewikkeld (zie figuur).
Het weekijzer geeft de magnetische flux, opgewekt door de primaire spoel,
door naar de secundaire spoel.

We nemen nu een transformator met 'perfecte koppeling', zodat alle
veldlijnen in het weekijzer zijn geconcentreerd. De primaire spoel heeft $%
N_{1}$ windingen, de secundaire spoel $N_{2}$ windingen. De stromen in de
primaire en secundaire stroomkringen zijn $I_{1}$ en $I_{2}$. De omtrek
(langs de hartlijn) van het juk is $l$, de dwarsdoorsnede is $S$. Het
weekijzer heeft een constante permeabiliteit $\mu $.

a)\quad Teken de situatie. Geef uitdrukkingen voor de grootte $\mathcal{B}$ van het totale
magnetisch veld in het juk, en voor de magnetische flux $\Phi $ door
\'{e}\'{e}n enkele winding.

b)\quad Geef uitdrukkingen voor de totale fluxen $\Phi _{1}$ en $\Phi _{2}$
omvat door de spoelen 1 en 2.

c)\quad Laat zien dat de ge\"{i}nduceerde spanningen $V_{2}$ en $V_{1}$ over
de spoelen zich verhouden als 
\begin{equation*}
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}
\end{equation*}
d)\quad Geef uitdrukkingen voor de co\"{e}ffici\"{e}nten van zelfinductie $%
L_{1}$ en $L_{2}$ van de spoelen, en ook voor de co\"{e}ffici\"{e}nt van
mutuele inductie $M$.\hfill \linebreak Laat zien dat voldaan is aan 
\begin{equation*}
L_{1}L_{2}=M^{2}\quad \quad \text{en\quad \quad }\frac{L_{1}}{L_{2}}=\left( 
\frac{N_{1}}{N_{2}}\right) ^{2}
\end{equation*}

Op de ingang van de transformator is een wisselspanning $V_{in}(t)=V_{m}\cos
\omega t$ aangesloten. Over de uitgang staat als belasting een weerstand $R$%
. Het spanningsverval over $R$ bedraagt $V_{uit}=-RI_{2}(t)$.e)\quad Ga na
dat de stromen $I_{1}$ en $I_{2}$ voldoen aan de differentiaalvergelijkingen 
\begin{eqnarray}
L_{1}\frac{\mathrm{d}I_{1}}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}I_{2}}{\mathrm{d}t}
&=&V_{m}\cos \omega t   \\
M\frac{\mathrm{d}I_{1}}{\mathrm{d}t}+L_{2}\frac{\mathrm{d}I_{2}}{\mathrm{d}t}
&=&-RI_{2}(t)  
\end{eqnarray}
f)\quad Los de stromen $I_{1}(t)$ en $I_{2}(t)$ uit bovenstaande vergelijkingen op.\hfill
\linebreak \textit{aanwijzing}: elimineer eerst $I_{1}$ en los $I_{2}$ op;
bepaal vervolgens $I_{1}$ door integratie van [1] en stel daarbij de
gelijkstroomcomponent gelijk aan nul.

g)\quad Laat zien dat 
\begin{equation*}
\frac{V_{uit}}{V_{in}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}
\end{equation*}
h)\quad Bereken met de in f) gevonden uitdrukkingen voor $I_{1}(t)$ en $%
I_{2}(t)$ het ingaande vermogen $P_{in}$ = $V_{in}I_{1}$ en het uitgaande
vermogen $P_{uit}$ = $-V_{uit}I_{2}$. Laat zien dat, gemiddeld over een
periode, $P_{in}$ en $P_{uit}$ aan elkaar gelijk zijn.

Gegeven is nu een speciaal geval van 'omlaag transformeren' waarin $%
N_{1}=2N_{2}$ en $R=\frac{1}{4}\omega L_{2}$.
i)\quad Teken voor dit geval een complex vectordiagram van de relaties [1]
en [2] (kies $RI_{2}$ langs de positieve re\"{e}le as). Geef hierin ook de
richtingen van $I_{1}$ en $\mathcal{B}$ aan.
j)\quad Keer nu terug naar het algemene geval en laat zien dat bij
benadering steeds geldt dat de stromen zich verhouden als 
\begin{equation*}
\frac{I_{2}}{I_{1}}=-\frac{N_{1}}{N_{2}}
\end{equation*}
\hfill \linebreak mits voldaan is aan $R\ll \omega L_{2}$.


\subsubsection{Zelfinductie twee stroken}
(alleen als je tijd over hebt) \\
Ga naar http://emclab.umr.edu/new-induct en ga na wat de zelfinductie is
voor twee parallelle stroken, waarbij in de ene strook de stroom de ene kant
op gaat, en in de andere de tegengestelde kant. Onder welke voorwaarden is
de gegeven uitdrukking afgeleid?

\newpage

\subsection{ Dagdeel III De Maxwellvergelijkingen, elektromagnetische
golven}
\begin{itemize}
\item{bespreking van de opgaves}
\item{hoorcollege }
\item{werkcollege}
\end{itemize}

\subsubsection{Een gedachtenexperiment}
Beschouw een condensator die wordt opgeladen. Er loopt een stroom in de
draden naar beide platen. Tussen de platen loopt geen stroom. Rond de draad
is er een magneetveld. Dat vind je door een cirkel rond de draad te
beschouwen en

$\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I$

daar op toe te passen. Je neemt dus de kringintegraal rond de cirkel, en de
stroom is de stroom die door die cirkel heen prikt.

Als je dit doet voor een cirkel die niet rond een draadstuk ligt, maar ter
hoogte van de condensator, zou je vinden dat het magneetveld gelijk is aan
nul. Dit is niet wat je zou verwachten, het magneetveld verandert niet
plotseling ter hoogte van de condensator. Een meting zou uitwijzen dat het
veld niet verandert: op afstand r in radi\"{e}le richting is het veld gelijk
aan $\frac{\mu _{0}I}{2\pi r},$ ook ter hoogte van de condensator.

\bigskip

Als je een cirkel ter hoogte van de draad neemt, maar het bijbehorende
oppervlak zo oprekt dat het ''vlies'' tussen de platen doorloopt, is het
probleem nog groter: op die manier zou je een magnetisch veld gelijk aan nul
krijgen, terwijl een niet-opgerekt vlies wel een veld oplevert.

Opdracht: zoek uit welke van de volgende ''pogingen tot aanpassing van de
wet van Ampere voor niet-stationaire situaties'' als resultaat geeft dat het
magneetveld continu is in de verticale richting:

A\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I+\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}$

B\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I-\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}$

C\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I+\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\int_{opp}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{do}$

D\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I-\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\int_{opp}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{do}$

\bigskip

\bigskip

\subsubsection{Golven}
Een lineair gepolariseerde vlakke elektromagnetische golf is gegeven door 
\begin{eqnarray*}
\mathcal{\vec{E}}(z,t) &=&\mathcal{\vec{E}}_{0}\cos (kz-\omega t) \\
\mathcal{\vec{B}}(z,t) &=&\mathcal{\vec{B}}_{0}\cos (kz-\omega t)
\end{eqnarray*}
\begin{itemize}
\item  
a)\quad Gebruik de golfvergelijking om te laten zien dat er geen dispersie
optreedt.

b)\quad Gebruik de differenti\"{e}le vorm van de wetten van Maxwell om te
laten zien dat\hfill \linebreak 1) de golf transversaal is;\hfill \linebreak 
2) $\mathcal{\vec{E}}$ en $\mathcal{\vec{B}}$ loodrecht op elkaar staan.
\end{itemize}
Beschouw in de vrije ruimte een elektromagnetische golf met als elektrische
component 
\begin{equation*}
\mathcal{\vec{E}}(x,t)=(\mathcal{E}_{x}\text{, }\mathcal{E}_{y}\text{, }%
\mathcal{E}_{z})=(0\text{, }\mathcal{E}_{0}\cos (kx+\omega t)\text{, }0)
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item  
c)\quad Wat is hier de polarisatierichting? Wat is de bewegingsrichting?

d)\quad Druk de voortplantingssnelheid $c$, de golflengte $\lambda $ en de
trillingstijd $T$ uit in $k$ en $\omega $.

e)\quad Bepaal met behulp van de differenti\"{e}le vorm van de wetten van
Maxwell de magnetische component $\mathcal{\vec{B}}$.

f)\quad Verifieer dat $\mathcal{E}=c\mathcal{B}$ en dat het uitproduct $%
\mathcal{\vec{E}}\times \mathcal{\vec{B}}$ in de bewegingsrichting wijst.%
\vspace{1cm}

g)\quad Geef een uitdrukking voor een elektromagnetische golf die langs de $z
$-as is gepolariseerd en zich langs de $y$-as in positieve richting
voortplant.

h)\quad Idem voor een circulair gepolariseerde golf die in de positieve $x$%
-richting beweegt en met hoeksnelheid $\mathrm{\omega }$ rechtsom
draait.\pagebreak 
\end{itemize}

\end{document}
