\documentclass{article}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[dutch]{babel}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}

\newcommand{\dakje}{\hat}
\renewcommand{\dot}{\cdot}
% \newcommand{\urad}{ $\mu$rad}




\input{psfig}
\input{epsf}


\begin{document}

% \setcounter{page}{1}
% 
% \addtocounter{section}{}
% \setcounter{section}{2}


%  \addtocounter{section}{1}


\section{Opgaven Elektro-Statica}
Hieronder vind je de opdrachten die je tijdens de colleges
 en thuis gaat maken.

Het is gebleken dat oefenen met de leerstof zijn vruchten afwerpt.
Een kleine wekelijkse investering in de vorm van tijd en energie als je
de opgaven maakt zal je dubbel en dwars terugverdienen.
Een prettige bijkomstigheid is dat het volgen van de colleges
gemakkelijker en effici\"{e}nter zal worden omdat je  'bij' bent en blijft
door het maken van deze 'papieren' opgaven.
Ook vind je in deze oefenopgaven twee verplichte huiswerkopgaven. 

Als extra stimulans zijn er ook 'digitale' opgaven die je wekelijks moet inleveren. 
De digitale 'inlever opdrachten'  kun je vinden via 
 de webpage: 

 http://www.nikhef.nl/user/h73/knem.html 

\bigskip

\newpage



\subsection{Dagdeel I: De wet van Coulomb}
\begin{itemize}
\item
Welkom - opmerkingen van huishoudelijke aard.
\item
Interactief Hoorcollege 
\item
Werkcollege
\end{itemize}

Voordat je met deze opgaven begint moet je natuurlijk de stof bestudeerd hebben of het college nog vers in het geheugen hebben. De stof die op het college besproken is vind je op de bijbehorende transparanten. Daar staan ook verwijzingen naar de verdere literatuur, waar je in detail de stof kunt nalezen of voorbeelden kunt bekijken.

\subsubsection{Vectoren} 
We hebben kennis gemaakt met de Coulomb kracht en de formule die daar
bij hoort:
\begin{equation}
\vec{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{r^2} \dakje{r}
\end{equation}

\begin{itemize}
\item[a)] Wat zijn vectoren en wat zijn scalars in deze formule?
\item[b)] Geef de grootte van iedere vector in de formule.
\item[c)] Schrijf de formule om zodat er geen $\dakje{r}$ meer in voorkomt, 
maar wel een $\vec{r}$.
\item[d)] Wat vind je als je van een vector het inproduct met zichzelf neemt? \\
 (bijvoorbeeld $\dakje{r} \cdot \dakje{r}=?$.)
\end{itemize}
 

\subsubsection{Het antwoord komt langs}
De grootte van het elektrisch veld $\left|  \vec{E}\right|  $ in een punt op
afstand $r$ van een dipool valt af als $\frac{1}{r^{3}}$. Welk principe wordt
gebruikt in de afleiding van dit resultaat?


\subsubsection{ Het $E$ veld in een kubus}
Teken een kubus (midden op oorsprong)  met op alle hoekpunten een puntlading.
\begin{itemize} 
\item[a)] teken de bijdrage aan het $E$ veld in de oorsprong van iedere lading
afzonderlijk.

\item[b)]  beredeneer m.b.v. je schets dat er netto geen $E$ veld in de oorsprong
is.

\item[c)]  Geef een  uitdrukking voor het $E$ veld (overal) in de kubus.
\end{itemize} 

\subsubsection{ Een lijntje lading (I)}
Bereken het elektrisch veld ergens op de $x$-as van een draadje met lading langs de $z$-as. De ladings dichtheid is $\lambda $ en het draadje ligt tussen $z=-L/2$ en $z=+L/2$.
 Splits de opgave in 
`begrijpen wat je moet uitrekenen' en ` de berekening uitvoeren'!
Maak ALTIJD eerst een schets van de situatie.
\bigskip

\subsubsection{ Een lijntje lading (II)}
Bereken het elektrisch veld ergens op de $z$-as ( $z>L/2$ ) van een draadje met lading langs de $z$-as. De ladings dichtheid is $\lambda $ en het draadje ligt tussen $z=-L/2$ en $z=+L/2$.
 Splits de opgave in 
`begrijpen wat je moet uitrekenen' en ` de berekening uitvoeren'!

\bigskip

\subsubsection{Hoeveel dipool, hoeveel
lading?}
\noindent In de oorsprong bevindt zich een ladingsverdeling. Het is niet
bekend of het gaat om een netto lading of om een dipool, of om een combinatie
daarvan. Je meet de elektrische veldsterkte op de x-as. Op 1 mm afstand geldt
dat de veldsterkte gelijk is aan $6,0 \times10^{2}\frac{V}{m}$.
gericht in positieve x-richting. In alle andere richtingen is de
elektrische veldsterkte op dezelfde afstand van de oorsprong \textit{kleiner}.
Op de x-as, op 2 mm afstand van de oorsprong is de gemeten waarde
$1,2\times10^{2}\frac{V}{m}$ 
Bereken de waarden van de netto-lading en van het dipoolmoment.


%\subsubsection{* Foute draadjes}
%Open de Mathematica-file Foute Draadjes, voer de opdrachten uit en print het resultaat. Vraag hulp bij je buren bij problemen met Mathematica als het gaat om opstarten programma of syntax. 



\subsubsection{Dagdeel I: De wet van Coulomb - Wat moet ik kunnen?}
Bevestig voor jezelf dat je de volgende kennis beheerst (bijvoorbeeld door de relevante formules op te schrijven):
\begin{itemize}
\item
De uitdrukking voor de Coulomb kracht tussen twee puntladingen. Wat is de relatieve grootte van de kracht als we de afstand tussen de ladingen verdubbelen? Wat gebeurt er met de richting in dit geval?
\item
Het elektrische veld van een puntlading.
\item
De uitdrukking van het het elektrische veld van een lijnlading, een oppervlakte lading en een ruimtelading. 
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Dagdeel II: De wet van Gauss}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaven.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}


\subsubsection{Het inprodukt intens.}
We zijn het inprodukt al tegengekomen. Formeel geldt:
\begin{equation}
\vec{a} \dot \vec{b}= |\vec{a}|  |\vec{b}| cos(\alpha_{ab}) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
\end{equation}


\begin{itemize}
\item[a)] Het resultaat van het inproduct is opnieuw vector, waar of onwaar?
\end{itemize}

In dit vak komen we vaak het inprodukt tegen met een eenheidvector, bijvoorbeeld $\vec{a} \dot \dakje{r}$, met $\dakje{r}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$.


\begin{itemize}
\item[b)] Leg uit dat  $\vec{a} \dot \dakje{r}$ als het ware 
 de component van $\vec{a}$ in de richting van $\vec{r}$ oplevert.
\end{itemize}


Op dit principe kunnen we nog even voortborduren. Laten we eens kijken naar
een de integraal over een oppervlak $O$ met normaalvector $\vec{n}$:
\begin{equation}
\int_{O} \vec{E} \dot \vec{n} dO
\end{equation}
De integrand is  $\vec{E} \dot \vec{n}$ is de component van $\vec{E}$ die
 loodrecht op het oppervlak staat.


\begin{itemize}
\item[c)] Waaraan moet je $\vec{E}$ gelijk stellen als je de oppervlakte van oppervlak $O$ zou willen berekenen? Geef de integraal voor het geval dat $O$ een vierkant
is en bereken de oppervlakte.
\end{itemize}


\subsubsection{Ladingsverdeling en totale
lading }
\label{lading}
\begin{itemize}
\item[a)] Je hebt een bol met straal $R$ en uniforme ladingsdichtheid $\rho.$
Schrijf de integraal op die de totale lading geeft, en voer de integratie uit.
\end{itemize}

Nu heb je een bol met in het centrum een ladingsdichtheid $\rho_{\max}$, die
lineair afneemt tot nul op de rand, dus bij $r=R.$ De lading is minder dan
wanneer de hele bol ladingsdichtheid $\rho_{\max}$ zou hebben.
\begin{itemize}
\item[b)] hoeveel keer zo klein verwacht je dat de lading is?


\item[c)] Geef de functie $\rho(r)$ en schets de bijbehorende grafiek.

\item[d)] Bereken de totale lading.

\item[e)] Vergelijk je antwoord met je voorspelling bij b)


\item[f)] Check je antwoord bij je buurman. Hadden jullie hetzelfde antwoord?
\end{itemize}

%\subsubsection{Flux, straling en waterstraal}
%Beschouw een positieve puntlading Q in de oorsprong.\ Beschouw een gesloten
%oppervlak, dat (in bolco\"{o}rdinaten) tussen $r_{1}$en $r_{2},$ $\phi_{1}$en
%$\phi_{2}$, en $\vartheta_{1}$en $\vartheta_{2}$ ligt.
%
%\begin{itemize}
%\item[a)] Schets dit oppervlak.
%
%\item[b)] Bereken de flux door dit gesloten oppervlak, door de flux door de
%verschillende begrenzende vlakken te berekenen en deze waarden op te tellen.
%
%\item[c)] Leg uit dat het begrip flux ook bij de berekening van lichtsterkte,
%geluidsintensiteit en straling vanuit een radio-actieve bron een rol speelt.
%
%Uit een kraan komt een constante waterstraal. Vlak onder de kraan, op een
%hoogte die we $h=0$cm noemen, is de snelheid van het water $v=0,1$ $m/s$ en de
%diameter van de doorsnede van de straal $1$ cm. Neem aan dat de diameter rond
%blijft, verwaarloos wrijvingskrachten en stroperigheid.
%
%\item[d)] Wat is de snelheid van het vallende water op $h$ cm onder de kraan?
%
%\item[e)] Beschouw een cilinder die om de straal past, en waarvan het
%bovenvlak vlak onder de kraan zit, en het ondervlak $h$ cm onder de kraan.
%Beredeneer dat de flux door het bovenvlak en de flux door het ondervlak even
%groot moeten zijn.
%
%\item[f)] Geef de functie $d(h$) die de diameter op $h$ cm onder de kraan geeft.
%\end{itemize}

\subsubsection{Wat moet er uitkomen?}
Geef aan of je eenvoudig met de Wet van Gauss het veld van onderstaande
geladen voorwerpen zou kunnen bepalen. Waarom en waarom niet. Als het mogelijk
is geef dan het veld buiten het voorwerp (geef altijd ook je berekening).

\begin{itemize}
\item[a)] een bal

\item[b)] een schoen

\item[c)] een dozijn parallelle platen die oneindig groot zijn.

\item[d)] een kubus
\end{itemize}



\subsubsection{Clubjes lading}
\noindent Drie rustende, positieve puntladingen $Q_{A}$, $Q_{B}$ en $Q_{C}%
$\ bevinden zich op \'{e}\'{e}n lijn (zie figuur).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,5)
\put(1,1){\mbox{\epsfxsize=10cm\epsffile{3qonline.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}



\begin{itemize}
\item[a)] Bereken voor elk van de ladingen grootte en richting van de
kracht die in het gezamenlijke veld van de andere wordt ondervonden.\medskip
\end{itemize}

Beschouw drie ladingen die op een lijn liggen: In x=-0,1 mm een lading van
-0,1 C, in x=0 een lading van +0,2 C en in x=0,1 mm een lading van -0,1 C.\medskip

\begin{itemize}
\item[b)]  Bereken het veld in x=1 cm, x= 2 cm en x=3 cm. Met welke macht van
de afstand tot de oorsprong neemt het veld af?\medskip

\item[c)] Wat kun je zeggen over het elektrisch veld als functie van de
afstand tot een watermolecuul? En het veld als functie van de afstand tot een koolstofdioxide-molecuul?
\end{itemize}

\bigskip

\subsubsection{Bollen in soorten en maten}
\begin{itemize}
\item[a)]
Een niet geleidende massieve bol met straal $R$ heeft een uniforme
ladingsdichtheid. Buiten de bol is de ladingsverdeling onbekend. Je wilt het
elektrisch veld in een punt M binnen de bol uitrekenen.\medskip

Leg uit of dat kan zonder de ladingsverdeling buiten de
bol te weten.\medskip

\end{itemize}


We bekijken enkele ladingsverdelingen die bolsymmetrisch zijn om de
oorsprong, zonder lading buiten de bol.
Bepaal voor de gevallen b t/m f de grootte $E(r)$
van de elektrische veldsterkte en maak daar schetsjes van.\medskip

\begin{itemize}
\item[b)] een puntlading $Q$,

\item[c)] een \ holle, niet geleidende bolschil met straal $R$ en
oppervlaktelading $\sigma=\tfrac{Q}{4\pi R^{2}}$,

\item[d)] een homogeen geladen, niet geleidende bol met ladingsdichtheid
$\rho=\tfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}$,

\item[e)] een dikke neutrale geleidende bolschil rondom een puntlading $Q$.
Voor later definieren we: de binnenstraal $R_1$ en de buitenstraal $R_2$.

\textit{Aanwijzing voor e: binnen in een geleider is het elektrisch veld nul.}\medskip

\item[f)] Bepaal voor geval e de oppervlaktelading bij $R_{1}$en
$R_{2}.$

\item[g)] Bedenk een ladingsverdeling $\rho(r)$ zo dat het
elektrisch veld kwadratisch toeneemt als functie van de afstand \ tot de oorsprong.\bigskip
\end{itemize}

\subsubsection{Ring- en Schijfladingen }
\noindent Uit de formule voor de elektrische veldsterkte $\mathrm{d}\vec{E}$
in een gegeven veldpunt P en afkomstig van een kleine puntlading \textrm{d}$Q
$, \ zijn formules voor de velden van ruimtelijke ladingsverdelingen af te
leiden. Je moet deze verdelingen dan uit (oneindig) veel puntladingen
\textrm{d}$Q$ opgebouwd denken, en hun bijdragen $\mathrm{d}\vec{E}$ aan het
totale veld integreren.%

\noindent We beschouwen (zie figuur) een geladen cirkelschijf met straal $R$,
die een vaste ladingsdichtheid (hier: lading per oppervlakte-eenheid) $\sigma$
heeft. Het gekozen veldpunt P bevindt zich op de $z$-as buiten het vlak van de
schijf, op een afstand $z$ recht tegenover met middelpunt O. We verdelen de
schijf in dunne concentrische ringen met straal $r$ en dikte $\mathrm{d}r$
($r$ loopt van 0 tot $R$), en deze ringen weer in smalle sectoren met
oppervlakte $r\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}r$ ($\phi$ loopt van 0 tot 2$\pi$).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,10)
\put(2,0){\mbox{\epsfysize=10cm\epsffile{schijfsectors.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[a)] Laat zien dat de grootte van de veldbijdrage
$\mathrm{d}\vec{E}$ in P ten gevolge van \'{e}\'{e}n sector uit \'{e}\'{e}n
ring (het zwarte stukje in de figuur) gegeven wordt door\medskip\
\[
\mathrm{d}E=\frac{\sigma r\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}r}{4\pi\varepsilon
_{0}(r^{2}+z^{2})}%
\]
\item[b)] Verklaar uit de symmetrie van de ringen dat voor de
bijdrage van $\mathrm{d}\vec{E}$ aan het totale veld $\vec{E}$ van de schijf
in P alleen de $z$-component van $\mathrm{d}\vec{E}$ hoeft te worden beschouwd.\medskip

\item[c)] Schrijf de integraal op die je moet uitvoeren om het veld
van de hele schijf te verkrijgen.

\item[d)] Laat zien dat deze integraal de volgende uitdrukking
oplevert:
\[
\vec{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}%
})\,\mathrm{\dakje{z}}%
\]
\item[e)] Geef benaderingsformules voor $z\ll R$ en voor
$z\gg R$, en geef commentaar op de resultaten.\bigskip
\end{itemize}



\subsubsection{Dagdeel II: De wet van Gauss - Wat moet ik kunnen?}
Bevestig voor jezelf dat je de volgende kennis beheerst (bijvoorbeeld door de relevante formules op te schrijven):
\begin{itemize}
\item
Het volume kunnen berekenen van een cilinder en een bol in respectievelijk
cilinder- en bol-co\"{o}rdinaten.
\item
 Begrijpen dat de elektrische flux door een boloppervlak met willekeurige straal (en als middelpunt een puntlading) constant is.
\item
Met behulp van de Wet van Gauss het elektrische veld berekenen van de volgende objecten:
 \begin{itemize}
   \item
     oneindig lange lijnlading, 
   \item
     oneindig grote geladen plaat,
   \item
     geladen bol.
  \end{itemize}
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Dagdeel III (new): De divergentie van het elektrisch veld}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaven.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}


\subsubsection{Weet je wat hier fout aan is?}
Een student schrijft het volgende op:
\begin{eqnarray}
\vec{E}=(x^{2},-2y^{2},3z^{2}) \\
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=(2x,-4y,6z)
\end{eqnarray}
\begin{itemize}
\item[a)] Omschrijf zijn fout.
\item[b)] Corrigeer zijn antwoord.
\end{itemize}



\subsubsection{Komt er uit wat er uit zou
moeten komen?}
\begin{itemize}
\item[a)] Geef het elektrisch veld buiten een homogeen geladen bol.


\item[b)] Wat zou er volgens de wet van Gauss in differenti\"{e}le vorm uit
de divergentie moeten komen?


\item[c)] Controleer dit expliciet door de divergentie van je antwoord bij
 te nemen.

\item[e)] Gegeven een elektrisch veld $\vec{E}(\vec
{r})=\left(  \frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}r-\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon
_{0}R}r^{2}\right)  \widehat{r}.$ Bepaal de ladingsdichtheid\ $\rho
(\vec{r})$ voor $r<R$.

\end{itemize}

\subsubsection{Vierkant }
Vier gelijke ladingen $Q=2.0\times10^{-6}$C
 bevinden zich in een overigens lege ruimte op de hoekpunten van een vierkant
met zijde $a=0.50$. De permittiviteit van het vacu\"{u}m
 is $\varepsilon_{0}=8.85\times 10^{-12}\frac{ C^{2}}{ N m^{2}}$.\medskip

\begin{itemize}
\item[a)] Hoe groot is de elektrische veldsterkte in het middelpunt van het vierkant?

\item[b)] Hoe groot is de elektrische potentiaal in het middelpunt van het vierkant?

\item[c)] Geef een uitdrukking voor  de potenti\"{e}le energie
 van de gegeven ladingsconfiguratie? Bedenk zelf wat redelijk is.  In het volgende college komt het antwoord voorbij!
\end{itemize}


\subsubsection{Ook bij een lijnlading?}
Beschouw een oneindig doorlopende, rechte lijnlading. Beschouw de lijn en een vierkantje in een plat vlak dat twee zijden parallel aan de lijn heeft en twee zijden loodrecht daar op, dus van de lijn uit gezien radieel gericht.
Het vierkantje ligt niet op de lijnlading.
 Teken eerst de situatie (essentieel!). Vervolgens, bereken de
kringintegraal van het elektrisch veld en geef commentaar op het resultaat van
de berekening.

%\subsubsection{Maak de dipool mathematisch}
%Open de Mathematica-file Dipool, voer de opdrachten uit en print het resultaat.




\subsubsection{Dagdeel III: De divergentie van het elektrisch veld - Wat moet ik kunnen?}
Bevestig voor jezelf dat je de volgende kennis beheerst (bijvoorbeeld door de relevante formules op te schrijven):
\begin{itemize}
\item Een integrale en een differenti\"{e}le vergelijking voor het elektrische veld opschrijven.
\item Begrijpen hoe je m.b.v. de Stelling van Gauss bovengenoemde integrale en
differenti\"{e}le vergelijkingen in elkaar over kunt laten gaan.
\end{itemize}

\newpage









\subsection{Dagdeel IV (new): De gradi\"{e}nt van de potentiaal}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaven.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}



\subsubsection{Energievraagstuk opgelost op
college}
De energie die een elektrisch veld heeft, is gegeven door U=$\frac
{\varepsilon_{0}}{2}\int E^{\alpha}dV.$

Wat is de waarde van $\alpha?\bigskip$

\subsubsection{Gradi\"{e}nten berekenen}
\begin{itemize}
\item[a)] Bereken de gradi\"{e}nt\bigskip van $V(\vec{r})=r^{4/3}.$
\item[b)] Bereken de gradi\"{e}nt van $V(\vec{r})=x-3y+7z$
\item[c)] Bereken de gradi\"{e}nt van $V(\vec{r})=x-3y+7z-12$
\item[d)] Bereken de gradi\"{e}nt van $V(\vec{r})=e^{r}$
\end{itemize}



\subsubsection{Wat kun je zeggen over een
geleider?}
Iemand beweert: Op een een metalen draadje zal een lading zich gelijkmatig
verdelen, de lading per lengte-eenheid is overal gelijk.

\begin{itemize}
\item[a)] Beschouw een punt op driekwart van het draadje en leg uit dat op
een lading in dat punt een kracht zou werken, als de ladingsverdeling
inderdaad uniform zou zijn.

\item[b)] Formuleer twee criteria, \'{e}\'{e}n in termen van het elektrisch
veld en \'{e}\'{e}n in termen van de potentiaal, die geldig zijn in en op een geleider.
\end{itemize}

%\subsubsection{* Een rijtje gelijke ladingen}
%Open \ de gelijknamige Mathematica-file, voer de opdrachten uit en print het resultaat.





\subsubsection{Energie}
Bereken hoeveel energie is opgeslagen in de ladingsverdeling van opdracht~\ref{lading}c, horend bij het tweede dagdeel.


\subsubsection{Ronde bollen, spitse punten}
Je weet wellicht dat het elektrisch veld bij een spitse punt van een
geladen geleider groot is. Als illustratie hiervan beschouwen we twee
geleidende bollen, elk met lading +Q, met stralen a en b (b $>$ a).
 Op een gegeven moment verbind je de bollen door een lange, geleidende
draad. Je mag aannemen dat de ladingsverdeling op beide bollen bolsymmetrisch
blijft en dat de hoeveelheid lading die op de draad blijft zitten
verwaarloosbaar klein is.\medskip

\begin{itemize}
\item[a)] Schets de situatie.

\item[b)] Leg uit of op het moment dat je de verbindingsdraad aanlegt er
lading van de ene naar de andere bol zal gaan.

\item[c)] Bepaal de verhouding van de sterktes van de elektrische velden net
buiten beide bollen, na het aanleggen van de verbinding.
\end{itemize}



\subsubsection{Rare verdeling}
Gegeven is een potentiaal $V(r)=r^{7/2}$

\begin{itemize}
\item[a)] Beredeneer dat het elektrisch veld radi\"{e}el gericht zal zijn.

\item[b)]  Bereken het elektrisch veld uit de gegeven potentiaal. Is het
inderdaad radi\"{e}el gericht?

\item[c)] Bepaal met behulp van de wet van Gauss in differenti\"{e}le vorm
hoe de lading over de ruimte is verdeeld.

\item[d)]  Controleer met behulp van de wet van Gauss in integraalvorm of je
antwoorden bij b en c met elkaar kloppen.
\end{itemize}



\subsubsection{Dagdeel IV De gradi\"{e}nt van de potentiaal - Wat moet ik kunnen?}
Bevestig voor jezelf dat je de volgende kennis beheerst (bijvoorbeeld door de relevante formules op te schrijven):
\begin{itemize}
\item De uitdrukking voor de potentiaal van een puntlading geven.
\item Begrijpen hoe je de potentiaal van een dipool vindt.
\item De gradi\"{e}nt van een functie $f(x,y,z)$ berekenen.
\item Begrijpen hoe je de uitdrukking voor de energie van een willekeurige 
ladingsverdeling vindt.
\end{itemize}


\newpage

\subsection{Dagdeel V: Geleiders in elektrische velden}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaven.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}


\subsubsection{Oprollen}
Beschouw een vlakke-plaatcondensator met vierkante , $L$ bij $L$ grote platen,
met afstand tussen de platen $d$. Nu maak je daar een cilindercondensator van:
je rolt een plaat tot een buis, van de andere knip je een strook af, en ook
daarvan maak je een buis, die in de andere past, met afstand tussen de
binnenste en de buitenste buis nog steeds dezelfde $d$. Bereken of de
capaciteit van je nieuwe cilindercondensator groter of kleiner is dan die van
de plaatcondensator.

Leg uit hoe dit van $L$ en $d$ afhangt.


%\subsubsection{Draden of platen }
%Open de Mathematica-file Condensatormodellen, voer de opdrachten uit en print
%het resultaat.


%\subsubsection{Bespiegelingen over
%bovenleidingen}
%Je weet hoeveel spanning op de bovenleiding van een tram of trein staat. Je
%kunt ook schatten hoe hoogde kabels hangen. Als medewerker van GVB of NS krijg
%je de taak uit te rekenen hoe dun je de kabel mag maken voordat er vonken van
%af komen.
%
%Je stelt voor het volgende te doen: Je neemt de spanning $V_{0}$ en het veld
%waarbij lucht doorslaat $E_{d}$ als gegeven. Vervolgens neem je de formules
%die je kent voor veld en potentiaal rond een lijnlading: $E(r)=\frac{\lambda
%}{2\pi\varepsilon_{0}r}$ en $V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln(r).$
%Dan noem je de staal van de kabel $a$ en je drukt twee keer de $\lambda$ uit
%in de rest van de parameters, met beide formules een keer. Die uitdrukkingen
%stel je gelijk.
%
%\begin{itemize}
%\item[a)] Bepaal $a$ voor een realistische kabel.(dus neem een hoogte $h,$
%een $V_{0}$ en een $E_{d}.$)
%
%
%\item[b)] Teken het elektrisch veld rond een kabel boven de geleidende, en
%uiteraard geaarde, aarde. Leg uit dat de uitdrukking die je hierboven gebruikt
%hebt zeker niet goed is.
%
%
%\item[c)] Leg uit dat de uitdrukking die je voor de potentiaal hebt gebruikt
%ook niet zonder meer kan worden toegepast.
%
%
%\item[d)] Neem een spiegel-lijnlading -$\lambda$ op diepte h in de aarde.
%Teken het veld. Leg uit dat het probleem bij b hiermee is opgelost.
%
%
%\item[e)] Laat zien op de as tussen de kabel en de grond geldt:
%$E(z)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}(\frac{1}{z-h}-\frac{1}{z+h})$
%
%
%\item[f)] Leg uit dat je deze uitdrukking moet integreren van $z=0$ tot $z=h-a$
%en dat integreren tot $z=h$ problemen zou opleveren.
%
%
%\item[g)] Voer de integratie uit en bepaal opnieuw de minimale dikte van de
%kabel, met dezelfde parameters als bij vraag a.
%\end{itemize}


\subsubsection{Schud het uit je mouw!}
Je hebt inmiddels een aantal methoden geleerd die je kunt toepassen om het
elektrisch veld in een gegeven configuratie te bepalen:

De Wet van Gauss moet je nu snel, bijna routinematig kunnen toepassen. Dat kun
je testen met de volgende vraagstukken. Voor alle opdrachten geldt
dat je duidelijk de elektrische flux door het Gauss oppervlak dient te
berekenen. En als je het $E$ veld buiten de integraal haalt beredeneer dan
waarom je dat mag doen.

\begin{itemize}
\item[a)] Bepaal het $E$ veld op afstand $d$ van een vlakke plaat (ladingsdichtheid $\sigma$) met een grote oppervlakte $A$, zodat $A>>d$. Gebruik een 'vierkant Gauss pillen-doosje'.

\item[b)] Bepaal het $E$ veld op afstand $d$ van een lange cilinder (lengte $L$) met straal $R$ met $d>>R$ en $d<<L$. Gebruik een 'rond pillendoosje'. Laat
zien dat dit alleen gaat als je bij de uiteinden van de cilinder vandaan blijft.
\item[c)] Bepaal het $E$ veld buiten een geladen bol met lading $Q$ op afstand $d$.
 Gebruik een geschikt Gauss oppervlak.
\end{itemize}

\subsubsection{Dagdeel V: Geleiders in elektrische velden - Wat moet ik kunnen?}
\begin{itemize}
\item Begrijpen waarom de lading op een geleider gaat zitten.
\item Begrijpen waarom het $E$ veld in een geleider altijd nul is en waarom het $E$ veld altijd loodrecht op het oppervlak van een geleider staat.
\item Uitleggen wat de beeldladingsmethode inhoudt.
\item Uitleggen wat een condensator is. 
\end{itemize}



\newpage

\subsection{Dagdeel VI: Isolatoren in elektrische velden}
\begin{itemize}
\item
bespreking opgaven.
\item
interactief hoorcollege
\item
werkcollege
\end{itemize}


\subsubsection{Groter, kleiner, of
onveranderd?}
Een condensator heeft een capaciteit C als tussen de platen vacu\"{u}m heerst.
Nu wordt een di\"{e}lektrikum tussen de platen geschoven. Wordt de capaciteit
kleiner, groter, of blijft zij onveranderd?


\subsubsection{Wat is constant?}
Als je een condensator hebt, en je vraagt je af wat er met het elektrisch veld
zal gebeuren als je een isolator tussen de platen schuift, zijn er twee
mogelijke situaties.

\begin{itemize}
\item[a)] Beschrijf die twee mogelijke situaties.

De condensator bestaat uit twee vlakke platen met oppervlakte $A$ op afstand
 $d$. De condensatorplaten hebben een potentiaal verschil $V$.

\item[b)]  Bepaal de lading op ieder van de platen.

Nu schuiven we een isolator met di-elektrische constante $\epsilon$ tussen
de platen.

\item[c)] We houden het potentiaal verschil $V$ constant d.m.v. een batterij tijdens
deze actie. Wat is nu de lading op ieder van de platen?

\item[d)] Als we het potentiaal verschil niet constant hadden gehouden en er voor
gezorgd hadden dat er geen lading van de platen kan ontsnappen. Wat is
dan het potentiaal verschil?
\end{itemize}


\subsubsection{Wat voelt de testlading?}
Een testlading wordt in een ruimte geplaatst waarvoor geldt dat
$\vec{E}$ en $\vec{P}$  beide ongelijk
aan nul zijn. Geef de uitdrukking voor de kracht op de testlading.


\subsubsection{Van het ene naar het andere materiaal}
\label{enenaarandere}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\mbox{\epsfysize=4cm \epsffile{media.ps}}
\caption{Van het ene naar het andere materiaal.
}
\end{center}
\end{figure}
Gegeven is een grensvlak tussen twee media (zie figuur) waarin zich geen vrije
ladingen bevinden. 
Laat met behulp van een geschikt gekozen kringintegraal 
zien dat in dit grensvlak de 
de tangenti\"{e}le component van de elektrische veldsterkte $\vec{E}$
continue is.

Ter vereenvoudiging van dit vraagstuk mag je aannemen dat binnen
medium 1 en ook in medium 2 het elektrische veld overal gelijk is. Definieer
zelf de eventuele variabelen en constantes die je nodig hebt.


\subsubsection{Half vol en half leeg.}
We bekijken twee gevallen van een gedeeltelijk met een
di\"{e}lektricum gevulde condensator.
 Gegeven is eerst een ideale condensator (in twee delen, zie
figuur) met plaatafstand $d$ en spanning $V$. De tussenruimte van deel 1
(tegenover de oppervlakte $S_{1}$) is vacu\"{u}m; de tussenruimte van deel 2
(tegenover de resterende oppervlakte $S_{2}$) is gevuld met een di\"{e}%
lektricum (permittiviteit $\varepsilon$).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,10)
\put(0,0){\mbox{\epsfysize=10cm\epsffile{Cdubbel.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[c)]  Bepaal voor elk van de delen 1 en 2:
\begin{itemize}
\item[1)] de grootte $E$ van de elektrische veldsterkte;
\item[2)] de grootte $P$ van de polarisatie;
\item[3)] de vrije lading $Q$;
\item[4)] de capaciteit $C$.
\end{itemize}

\item[d)]  Geef ook een uitdrukking voor de capaciteit van de
condensator als geheel.
\end{itemize}

Gegeven is nu een ideale condensator (in twee delen, zie
figuur) met plaatoppervlakte $S$ en vrije lading $Q$. De tussenruimte
van deel 1 (over de afstand $d_{1}$) is vacu\"{u}m; de tussenruimte van deel 2
(over de resterende afstand $d_{2}$) is gevuld met een di\"{e}lektricum
(permittiviteit $\varepsilon$).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,10)
\put(-0.5,0){\mbox{\epsfysize=9cm\epsffile{Cplak.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[e)]  Bepaal voor elk van de delen 1 en 2:\medskip

\begin{itemize}
\item[1)] de grootte $P$ van de polarisatie;

\item[2)]  de grootte $E$ van de elektrische veldsterkte;

\item[3)]  de spanning $V$;

\item[4)]  de capaciteit $C$.\medskip
\end{itemize}

\item[f)] Geef ook een uitdrukking voor de capaciteit van de condensator
als geheel.

\item[g)] Een vooruitblik: welke wet bepaalt hoe licht van het ene naar het
andere materiaal gaat, en wat is het verband met het gedrag van de 
loodrechte en parallelle componenten
van $\vec{E}$ bij de overgang?
\end{itemize}
\bigskip


\subsubsection{Hoe groot is die kracht? }
\begin{itemize}
\item[a)] Bepaal de orde van grootte van de kracht op een velletje papier dat
tot de helft in een vierkante plaatcondensator met zijde 10 cm en afstand
tussen de platen 0,1 mm steekt, als de spanning over de condensator 30 kV is.

\item[b)] Geef een uitdrukking voor de kracht die werkt op een di\"{e}%
lektricum dat in een cilindercondensator steekt.
\end{itemize}



\subsubsection{Komt er hetzelfde uit? }
\textit{aanwijzingen}:

- In deze opgave stelt $q$ een lading voor die varieert tussen $0$ en $Q$.

- De energiedichtheid \textsl{U }in de ruimte hangt samen met de elektrische
veldsterkte ${\vec{E}}$ volgens
\[
\textsl{u}=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2}%
\]
\bigskip

Van een condensator met capaciteit $C$ wordt de lading met een klein bedrag
vergroot van $q$ tot $q+\mathrm{d}q$.

\begin{itemize}
\item[a)]  Geef een uitdrukking voor de hoeveelheid energie
$\mathrm{d}U$ die hiervoor nodig is. Bepaal
hieruit door integratie de energie $U$ van de condensator als de 
lading $Q$ bedraagt.

Een vlakke plaatcondensator met plaatoppervlakte $S$ en plaatafstand $d$ is
opgesteld in vacu\"{u}m en bevat een lading $Q$.

\item[b)]  Geef, uitgaande van a, een formule voor de energie
$U$ van deze condensator

\item[c)]   Bereken $U$\ ook uit de energiedichtheid$\mathbb{\ }%
$\textsl{u } tussen de platen en vergelijk met c .\bigskip

Een geleidende bol met straal $R$ en lading $Q$ bevindt zich in de lege ruimte.

\item[d)] Geef, uitgaande van a, een formule voor de energie
$U$ van deze bol.

\item[e)] Bereken dezelfde energie ook via de volume-integraal
\[
U=\int\textsl{u\ }\mathrm{d}\mathcal{V}%
\]
\textit{aanwijzing}: doorloop de ruimte buiten de bol met bolschillen van
dikte $\mathrm{d}r$, waarbij $r$ dus loopt van $R$ tot $\infty$ (hoe zit het
met de ruimte binnen de bol?).\bigskip
\end{itemize}
 
\subsubsection{Interne consistentie? }
Een homogeen geladen bol met ladingsdichtheid $\rho=\tfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi
R^{3}}$\ is geplaatst in vacu\"{u}m en heeft zelf ook een permittiviteit
$\varepsilon_{0}$. Denk de bol schilsgewijs vanuit het midden opgebouwd.

\begin{itemize}
\item[a)]   Druk de lading $q$ en de potentiaal $V$ van een deelbol met
straal $r<R$ uit in $\rho$, $r$ en $\varepsilon_{0}$ (Bedenk dat de potentiaal
op nu$
$ is gesteld in het oneindige, niet in de oorsprong.)

\item[b)]   Bereken de energietoename $\mathrm{d}U=V\mathrm{d}q$\ bij
uitbreiding met een schil $\mathrm{d}r$.

\item[c)]   Druk via integratie over $r$\ de totale energie $U(R)$ van de
bol uit in $Q$, $R$ en $\varepsilon_{0}$

\item[d)]  Bereken $U(R)$ ook door integratie van $\textsl{u}$ over de
hele ruimte (binnen \'{e}n buiten de bol). 
\end{itemize}




\subsubsection{Gevulde Condensatoren, gesneden koek?}
Ook in de aanwezigheid isolatoren van en zelfs binnen materialen kunnen
we vaak met een handomdraai m.b.v. De Wet van Gauss het elektrisch veld bepalen.
Doe dat voor onderstaande situaties. Maak steeds onderscheid tussen het gebied
binnen de condensator en buiten de condensator. Introduceer zelf de nodige
grootheden en geef altijd aan waar de vrije en/of gebonden lading zich
bevind.  Voor alle opdrachten geldt
dat je duidelijk de elektrische flux door het Gauss oppervlak dient te
berekenen. En als je het $E$ veld buiten de integraal haalt beredeneer dan
waarom je dat mag doen. 


\begin{itemize}
\item[a)]  Een vlakke plaat condensator.

\item[b)] Een cilinder condensator. Dus van binnen naar buiten: een geleider, dan een
isolator die weer gehuld is een een geleidende schil. Blijf bij de uiteinden
vandaan (waarom?)!
\end{itemize}



\subsubsection{Dagdeel VI: Isolatoren in elektrische velden - Wat  moet ik kunnen?}\begin{itemize}
\item Het verschil tussen een geleider en een isolator uitleggen
\item Uitleggen waarom in een 'lineaire' isolator geen netto lading zit (de isolator in een extern elektrisch veld geplaatst).
\item Uitleggen waarom er netto wel lading op buitenkant van 
 een 'lineaire' isolator zit (wederom is de isolator in een extern elektrisch veld plaatst).
\item Uitleggen hoe je uitgaande van de polarisatie $\vec{P}$ de bijdrage aan het het elektrische veld van een isolator kunt bepalen.
\end{itemize}


\newpage

\section{Opgaven Magneto-Statica}

\subsection{ Dagdeel I: Lorentzkracht, Biot-Savart }
\begin{itemize}
\item{Interactief hoorcollege Lorentzkracht, Biot-Savart}
\item{werkcollege}
\item{bespreking van de opgaven}
\end{itemize}


\subsubsection{Even inkomen }
\begin{itemize}
\item[a)]  Een staafmagneet heeft een noordpool links en een zuidpool
rechts. Je zaagt de magneet middendoor. Omschrijf de nieuwe situatie (Dit
mag ook met een tekening).


\item[b)] Twee magneten trekken elkaar aan. Nu houd je een vel papier
tussen de twee magneten. Trekken de magneten elkaar nog steeds aan?


\item[c)] Twee magneten trekken elkaar aan. Nu houd je een vel
aluminiumfolie tussen de twee magneten. Trekken de magneten elkaar nog
steeds aan?


\item[d)] Een positieve lading wordt zonder beginsnelheid losgelaten op
kleine afstand van de noordpool van een magneet. Is er een aantrekkende
kracht, een afstotende kracht, of geen kracht tussen de magneet en de lading?


\item[e)] Een positieve lading $q$ beweegt naar links met snelheid $v$. Er
is een magneetveld van $B$ Tesla, naar rechts gericht. Geef grootte en
richting van de kracht die op het bewegende deeltje werkt.


\item[f)] Een positieve lading $q$ beweegt naar links met snelheid $v$. Er
is een magneetveld van $B$ Tesla, omhoog gericht. Geef grootte en richting
van de kracht die op het bewegende deeltje werkt.

\item[g)] Door een verticaal lopende stroomdraad loopt een stroom$\ I$
omhoog. Geef de grootte en de richting van het magnetisch veld, op afstand $%
r $, rechts van de stroomdraad.
\end{itemize}

\subsubsection{School en universiteit}
Beschouw een naar rechts gericht magnetisch veld en een positief geladen
deeltje dat daarin omhoog beweegt.

\begin{itemize}
\item[a)]  Wat zei het `middelbare schoolregeltje' over de richting van de
Lorentzkracht? Wat komt daar in dit geval als richting uit?

\item[b)]  Schrijf de twee vectoren op die het magneetveld en de snelheid
weergeven en bepaal met behulp van het uitproduct wat de richting van de
Lorentzkracht is. Klopt dit met je antwoord bij a?
\end{itemize}


\subsubsection{Een afzwaaier}
We beschouwen een uniform magnetisch veld $\vec{B}$ in de $z$-richting. Een deeltje met massa $m$ en lading $q$ heeft op tijdstip $t=0$ een snelheid $v_0$ in de $x$ richting. 
\begin{itemize}
\item[a] Schets de situatie. Neem het vlak van je papier als het $xy$-vlak waar de $z$ richting loodrecht op staat. 
\item[b] Schrijf de krachten vergelijking op. 
Gebruik $F=m\vec{a}=m\frac{d\vec{v}}{dt}$.
\item[c] Voor de snelheid $\vec{v}$ kun je afzonderlijk voor de $x$ en de $y$
component een differentiaal vergelijking opschrijven 
van de vorm $\frac{d^2f(t)}{dt^2}=- k_1^2 f(t)$. Een oplossing van de deze vergelijking is $f(t )= k_2 cos (k_1 t)$, waarbij $k_1$ en $k_2$ constantes zijn.  Ga dit na. 
\item[d] Geef deze differentiaalvergelijkingen voor de componenten van $\vec{v}$.
\item[e] Los deze differentiaalvergelijkingen op.
\end{itemize}

\subsubsection{Magnetische fouten}
We beschouwen een lange verticale stroomdraad. Daaromheen zit een metalen
ring, in een horizontaal vlak.\medskip

Een student heeft de volgende redenering: '' Het magnetisch veld vind ik met
de rechterhandregel. Die richting is, van boven af gezien, tegen de klok in.
In het ringetje zal in die richting een stroom gaan lopen.\medskip

\begin{itemize}
\item[a)] a) Omschrijf wat er fout is in deze redenering.
\end{itemize}


We beschouwen een wasmachine. Het vermogen dat deze verbruikt, is 2000 Watt.
\ Een student heeft de volgende redenering: ''De spanning is 230 V, dus de
stroomsterkte in de draad van het stopcontact naar de wasmachine is ongeveer
 10~A.
Op een centimeter afstand van de draad kun je een magneetveld meten,
dat ongeveer $\frac{\mu _{0}I}{2\pi r}=\frac{1.26\ast 10^{-6}\ast 10}{2\pi
\ast 10^{-2}}=2\ast 10^{-4}$T groot is.

\begin{itemize}
\item[b)] Wat is hier fout?


\item[c)]Vergelijk je antwoord met dat van degene die naast je zit.
Omschrijf de verschillen in de antwoorden.\textbf{\ }
\end{itemize}


\subsubsection{Nul en Acht}
\begin{itemize}
\item[a)] Op grote afstand van een elektrische dipool valt het elektrisch
veld af als een bepaalde macht van de afstand. Wat is die macht? Wat is die
macht voor een puntlading?

\item[b)] Met welke macht $r^{\alpha \text{ }}$valt het magnetisch veld van
een stroomlus af als functie van de afstand tot die lus, voor grote $r$?

Beschouw nu een stroomdraad die in de vorm van een 8 is opgesteld in het y-z
vlak. Er loopt een stroom $I,$ die de in de figuur aangegeven richting
heeft. In de oorsprong kruist de draad zichzelf.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,9)
\put(0,0){\mbox{\epsfysize=5cm\epsffile{stroomacht.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}



\item[c)] Beredeneer dat het magnetisch veld op grote afstand \emph{kleiner}
zal zijn dan het veld van een enkele stroomlus met dezelfde stroomsterkte,
en beredeneer wat de macht zal zijn waarmee het magnetisch veld afvalt als
de afstand groter wordt.
\end{itemize}

\newpage

\subsection{ Dagdeel II: De wet van Amp\`{e}re in integraalvorm}
\begin{itemize}
\item{bespreking van de opgaven}
\item{Interactief hoorcollege}
\item{opgaven maken}
\end{itemize}



\subsubsection{Meer in het midden }
Beschouw een stroomverdeling met een ronde doorsnede, waarin in het midden
de maximale stroomdichtheid $J_{0}$ lineair aflopend tot 0 op de rand (de
straal noemen we $R$).\bigskip
\begin{itemize}
\item[a)] Geef de functie $J(r)$ en schets de verdeling.


\item[b)] Bereken de grootte van het magnetisch veld als functie van de
afstand tot het midden van de draad, dus de functie $B(r),$ voor $r<R$.
\end{itemize}


\subsubsection{ Twee platen }
Twee oneindig doorlopende parallelle platen bevinden zich een afstand $d$
van elkaar vandaan. In de platen lopen de uniforme, parallelle
stroomdichtheden $K_{1\text{ }}$en $K_{2.\text{ }}$Bepaal met behulp van de
wet van Amp\`{e}re het magnetisch veld op drie plaatsen: tussen de platen en
aan beide kanten naast de platen.


\subsubsection{ Heen en terug }
Twee draden lopen in verticale richting, de afstand tussen de draden is 5
mm. \ In de ene draad loopt een stroom omhoog, in de andere een even grote
stroom omlaag. Een student beschouwt een cirkel met het middelpunt precies
tussen de twee draden in, die beide draden omvat. Hij redeneert: De totaal
omvatte stroom is gelijk aan nul, dus uit $\oint \vec{B}\cdot 
\vec{dl}=2\pi rB=0$ volgt dat het magnetisch veld is gelijk aan
nul, op elk punt van de cirkel. Omdat je de cirkel willekeurig kunt kiezen,
als de straal maar groter is dan 2,5 mm, kun je concluderen dat het veld
gelijk is aan nul, op afstanden groter dan 2,5 mm van de lijn midden tussen
de draden.\medskip
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,10)
\put(2,0){\mbox{\epsfysize=8cm\epsffile{2iloop.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[a)] Wat is je commentaar op de redenering? Klopt deze? 
\end{itemize}

Gegeven is eerst een cilindrische geleidende draad met straal $R$ en
doorsnede $A=\pi R^2$ , waardoor een homogeen verdeelde stroom $I$ loopt.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,5)
\put(0,0){\mbox{\epsfxsize=10cm\epsffile{ihomo.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[b)]  Bepaal de grootte $B$ van de magnetische
veldsterkte als functie van de afstand $r$ tot de as van de draad. Schets
ook een grafiekje van $B(r)$.
\end{itemize}

Gegeven is nu een coaxiale kabel (zie rechterfiguur) met cilindrische
binnendraad ($0\leq r\leq R_{1}$) en geleidende mantel ($R_{2}\leq r\leq
R_{3}$). Neem aan dat de permeabiliteit in de tussenruimte \'{e}n buiten de
kabel gelijk is aan $\mu _{0}$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,6)
\put(0,2){\mbox{\epsfysize=2cm\epsffile{coax.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


Door de binnendraad loopt een homogeen verdeelde stroom $I$ (zoals opgave b), die terugkeert
door de mantel. Neem aan dat de stroomdichtheid in beide gevallen dezelfde
waarde $J$ heeft.

\begin{itemize}
\item[c)]  Leg uit dat uit de eis voor $J$ volgt: $%
R_{3}^{2}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}$.

\item[d)]  Bereken en schets $B(r)$. 

Neem als verhoudingsgetallen $R_{1}=3,R_{2}=4.$
\end{itemize}

\newpage


\subsection{Dagdeel III: Veldvergelijkingen nader bekeken}
\begin{itemize}
\item{bespreking van de opgaven}
\item{Interactief hoorcollege}
\item{werkcollege}
\end{itemize}


\subsubsection{ Rotaties oefenen }

Bereken:
\begin{itemize}
\item[a)] $\vec{\nabla }\times (2z,3y,-x)$

\bigskip

\item[b)]$\vec{\nabla }\times (z^{3},0,10)$
\end{itemize}


\subsubsection{Een elektrisch veld}
Controleer expliciet dat de rotatie van het elektrisch veld rond een
puntlading gelijk is aan nul.


\subsubsection{Komt het bekend voor? }
Bereken de stroomverdeling die hoort bij het hieronder gegeven magnetisch
veld:

\bigskip
$\vec{B\bigskip }=\mu _{0}J_{0}(y,-x,0)[\frac{1}{2}-\frac{1}{3R}
\sqrt{x^{2}+y^{2}}]$


\subsubsection{ Raar magnetisch veld}
Rond een verticale as is een stroomverdeling, zodanig dat de grootte van het
magnetisch veld als functie van de afstand tot de as wordt gegeven door 
$ B=\mu _{0}r^{2}$. Zoals je misschien al had opgemerkt zijn in deze opgave, 
 ter vereenvoudiging,  dimensionele constanten (met grootte 1) 
niet genoteerd.  De richting is net als bij een stroomdraad met uniforme
stroomdichtheid: het magnetisch veld raakt aan cirkels rond de draad.

\begin{itemize}
\item[a)] Laat met behulp van de wet van Amp\`{e}re in differenti\"{e}le
vorm zien dat de stroomdichtheid toeneemt als functie van de afstand tot de
as, volgens $J(r)=3 k r.\medskip $. 

\item[b)] Laat zien dat de wet van Amp\`{e}re in integraalvorm met de
gegeven $J(r)$ tot de conclusie leidt dat het magneetveld wordt gegeven door 
$B(r)=\mu _{0}r^{2}\medskip $
\end{itemize}

\bigskip

\subsubsection{Maakbare velden?}
Drie oneindig grote niet-magnetiseerbare metalen platen staan parallel aan
elkaar loodrecht op de x-as. In de ruimte links van de linker plaat is het
magnetisch veld 1,0 T groot, gericht in positieve y-richting. Tussen de
linker en de middelste plaat is het veld 0,7 T groot, in dezelfde richting.
Tussen de middelste en de rechter plaat is het veld 0,1 T groot, gericht in
negatieve y-richting.\medskip

\begin{itemize}
\item[a)] Hoe groot zijn de oppervlaktestromen die je in de platen moet
laten lopen om dit voor elkaar te krijgen?\medskip

\item[b)] Hoe groot is het veld rechts van de rechter plaat, en in welke
richting staat het?\medskip
\end{itemize}

\subsubsection{ Wet van Ampere? }

Beschouw een spoel met lengte $l$ en radius $R$ ($R << l$). 
De spoel heeft $N$ windingen per meter en er loopt een stroom $I$. 
\begin{itemize}
\item[a)]  Blijf weg bij de uiteinden en bepaal het magnetisch veld binnen de spoel.
Laat zien welk Ampere 'loopje' je gebruikt; als je het $B$ veld buiten
de integraal haalt dien je duidelijk uit te leggen waarom dat mag.

\item[b)]Bereken het $B$ veld  binnen een torus (donut). Introduceer zelf de nodige
grootheden.
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Dagdeel IV: Magnetische velden in materialen}
\begin{itemize}
\item{bespreking van de opgaven}
\item{Interactief hoorcollege}
\item{opgaven maken}
\end{itemize}


%\subsubsection{ Magneetveld be\"{i}nvloeden }
%Schets de grafiek van het magneetveld in de spleet tegen de spleetbreedte,
%voor een toro\"{i}de die voor een deel is gevuld met een materiaal met
%magnetische susceptibiliteit $\mu .$



\subsubsection{ Grensvlakken op herhaling}
Gegeven is een grensvlak tussen twee media waarin zich geen vrije stromen
bevinden.

Laat met behulp van een geschikt gekozen kringintegraal en een geschikt
gekozen gesloten oppervlakte-integraal zien dat in dit grensvlak de volgende
veldvectorcomponenten continu zijn:
\begin{itemize}
\item[a)]
 de tangenti\"{e}le component van het magnetiserend veld $\mathcal{\vec{H}}$%
\item[b)]  de normale component van de magnetische
veldsterkte $\mathcal{\vec{B}}$.
\end{itemize}
\bigskip

Ter inspiratie: zie de figuur en lees de aanwijzingen bij opgave~\ref{enenaarandere}.

\subsubsection{ Het oppeppen van een spoel }
\label{pep}
Beschouw een spoel met lengte $L$ en radius $R$ ($R << L$). De spoel heeft $N$ windingen per meter en er loopt een stroom $I$. 
\begin{itemize}
\item[a)]  Blijf weg bij de uiteinden en bepaal het magnetisch veld binnen de spoel. De spoel heeft $N$ windingen per meter en er loopt een stroom $I$. 
Laat zien welk Ampere 'loopje' je gebruikt; als je het $B$ veld buiten
de integraal haalt dien je duidelijk uit te leggen waarom dat mag.
\end{itemize}


Nu vullen we de spoel met lineair paramagnetisch materiaal met permeabiliteit
 $\mu$. 

\begin{itemize}
\item[b)]  Wat is het $H$ veld in de spoel uitgedrukt in de gegeven grootheden?
\item[c)]  Geef het  $M$ veld in de spoel?
\item[d)]  Wat is het $B$ veld in de spoel uitgedrukt in de gegeven grootheden?
\item[e)]  Wat is de verhouding tussen het originele $B$ veld van de lege spoel
 en de gevulde spoel? Leg uit waarom het $B$ veld van de gevulde spoel
groter is, terwijl we de stroomsterkte $I$ niet veranderd hebben.
\end{itemize}

\subsubsection{ Gevulde spoel }
We beginnen weer met een lege spoel en vullen deze voor
de helft met paramagnetisch materiaal zoals in opave~\ref{pep}.
\begin{itemize}
\item[a)] Geef het $B$ veld in de spoel, zowel in het lege als in het gevulde
gedeelte. Blijf ver weg bij de uiteinden van de spoel  en van de overgang van naar materiaal. 

\item[b)] Schets de veldlijnen rondom het grensvlak in de spoel.

\item[c)] Wat kun je zeggen over het $B$ veld net binnen en net buiten het materiaal?
\end{itemize}

\newpage

\subsection{Dagdeel V: Toepassingen}
\begin{itemize}
\item{bespreking van de opgaven}
\item{Interactief hoorcollege}
\item{opgaven maken en bespreken}
\end{itemize}

\subsubsection{Einde oefening}
Voor de volgende oefeningen geldt dat je zelf de grootheden die je nodig hebt moet invoeren. Begin altijd met een degelijke schets van de situatie.
\begin{itemize}
\item[a]
Probeer zelf het Hall effect af te leiden. 
\item[b]
Probeer zelf het magnetisch veld in een dunne spleet van een toro\"{i}de die gevuld is met materiaal te berekenen.
\end{itemize}


\newpage

\section{Opgaven Elektrodynamica}


\subsection{ Dagdeel I }
\begin{itemize}
\item{interactief hoorcollege Wet van Ohm, Wet van Faraday}
\item{werkcollege}
\end{itemize}



\subsubsection{Draadjes, plaatjes, blokjes }

\begin{itemize}
\item[a)] Als je een metaaldraadje vergelijkt met een even dik maar twee
keer zo lang draadje, hoe verhouden de weerstanden zich dan?

\item[b)] Als je een draadje uitrekt tot twee maal zijn oorspronkelijke
lengte (waarbij de draad ook na het uitrekken op elk punt even dik is), hoe
verandert de weerstand dan?

\item[c)]Beschouw een vierkant plaatje met dikte d en zijden van lengte L,
met op twee tegenover elkaar liggende punten een contact. Geef een
uitdrukking voor de weerstand van dit plaatje.

\item[d)]Beschouw twee even dikke plaatjes, waarvan de zijden van het ene
plaatje twee keer zo lang zijn als van het andere en vergelijk de
weerstanden.

\item[e)] Beschouw twee massieve blokjes waarvan de zijden van het ene
blokje twee keer zo lang zijn als van het andere en vergelijk de weerstanden.
\end{itemize}

\subsubsection{ Bewegen en meten }
Bedenk en beschrijf  wat er met de spanning over een lus gebeurt als je een
 magneet naar de lus toe en van de lus af beweegt.
 Bedenk ook na wat er gebeurt als je de lus beweegt ten opzichte van magneet.
 Wat is de invloed van het verwisselen van de polen van de magneet? 
Bedenk wat het effect is van het met grotere snelheid bewegen van de magneet.


\subsubsection{Hele lus in veld}
Tijdens het college is afgeleid dat de inductiewet van Faraday
overeenkomt met wat je krijgt door een rechthoekige lus die aan \'{e}\'{e}n
kant in een magneetveld steekt te beschouwen, en de kringintegraal van de
lorentzkracht te nemen. Laat op dezelfde manier zien dat er geen
elektromotorische kracht is als de lus wel beweegt, maar met alle zijden
binnen het magneetveld.

\subsubsection{Ronde lus in het veld}
Je beweegt een cirkelvormige lus met constante snelheid. In een deel van de
ruimte is een constant magneetveld aanwezig, loodrecht op het vlak van de
lus. Schets de grafiek van de inductiespanning als functie van de tijd.

\subsubsection{ Dynamo I}
Een vierkante draadspoel met N windingen draait rondom een as (y-as) die
loodrecht staat op de richting van het magneetveld (// z-as) (zie figuur). Het
magneetveld is constant en heeft de waarde $B_0$. Neem assenstelsel zoals gegeven
in de figuur. De spoel heeft een oppervlakte $S=L^2$. De hoeksnelheid waarmee de
spoel ronddraait is $\omega$. Dus de hoek $\theta$ die de normaal op het spoeloppervlak maakt
met het B-veld varieert als functie van de tijd t als: $\theta=\omega t $. Op $t=0$ bevindt de spoel
zich in het XY vlak d.w.z.  $B_0$  en de normaal op het spoeloppervlak zijn parallel.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,4)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=4cm\epsffile{dynspoel.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}

\item[a]	Bereken op $t=0$ de magnetische flux, $\Phi_B$, door de spoel.
\item[b]	Bereken op een willekeurig tijdstip $t$ de magnetische flux door de spoel.
\item[c]	Gebruik de Wet van Faraday om te laten zien dat de EMK van deze opstelling gegeven wordt door ($f$: kracht per eenheidslading, $E$: elektrische veld):

\end{itemize}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,1)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=1cm\epsffile{emkformule.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item[d]	Laat zien dat dezelfde EMK gevonden wordt door de component van de  Lorentz-kracht (die werkt op de ladingsdragers in de spoel) parallel aan de draad(stroom)richting te integreren rond de spoel.

\end{itemize}

\subsubsection{ Dynamo II}
Een vierkant draadraam met zijde $a$  roteert om
de $x$-as met constante hoeksnelheid $\mathrm{\omega }$. Op het tijdstip $%
t=0 $ wijst de normaalvector in de positieve $z$-richting. In de
door het roterende draadraam bestreken ruimte heerst een magnetisch veld in
de positieve $z$-richting met grootte $\mathcal{B}$. Neem eerst aan dat $%
\mathcal{B}=\mathcal{B}_{0}$, waarbij $\mathcal{B}_{0}$ niet afhangt van
plaats of tijd.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,9)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=6cm\epsffile{wireloopinb.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item[a)] Leg
uit dat de magnetische flux $\Phi (t)$ door het draadraam en de bijbehorende
EMK $V(t)$ gegeven worden door 
\begin{equation*}
\Phi (t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}\cos \mathrm{\omega }t  \text{en 
} V(t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}\mathrm{\omega }\sin \mathrm{\omega }t
\end{equation*}

Neem in het vervolg aan dat in werkelijkheid $\mathcal{B}$ afhangt van $y$
volgens  
\begin{equation*}
\frac{\mathcal{B}(y)}{\mathcal{B}_{0}}=1-2\left( \frac{y}{a}\right) ^{2}
\end{equation*}
\item[b)]  Geef kwalitatief aan welke invloed dit zal hebben op de grafieken
van $\Phi (t)$ en $V(t)$ uit onderdeel a).

Het punt P is een willekeurig punt dat meedraait in het
vlak van het draadraam; op het tijdstip $t=0$ is de $y$-co\"{o}rdinaat van P
gelijk aan $y_{0}$.

\item[c)]  Leg uit dat de magnetische veldsterkte in P gegeven wordt
door 
\begin{equation*}
\mathcal{B}_{\text{\textrm{P}}}(t)=\mathcal{B}_{0}\left( 1-\frac{
2y_{0}^{2}\cos ^{2}\mathrm{\omega }t}{a^{2}}\right)
\end{equation*}
\item[d)]  Maak $y_{0}$ nu variabel tussen $-\frac{a}{2}$ en $+\frac{a}{%
2}$, en leid via integratie over $y_{0}$ af dat 
\begin{equation*}
\Phi (t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}\cos \mathrm{\omega }t\;(1-\tfrac{1}{6}\cos ^{2}%
\mathrm{\omega }t)  \text{en}  V(t)=\mathcal{B}_{0}a^{2}%
\mathrm{\omega }\sin \mathrm{\omega }t\;(1-\tfrac{1}{2}\cos ^{2}\mathrm{%
\omega }t)
\end{equation*}
\item[e)]  Ga na of het resultaat van d) overeenkomt met je
beantwoording van b).
\end{itemize}


\subsubsection{Stroomkosten}
Beschouw een stroomlusje dat (loodrecht) in een magneetveld staat. Iemand beweegt de stroomlus vervolgens uit het magneetveld (zie de transparanten over de Wet van Faraday). Ten koste van wat loopt de stroom? Laat zien dat het magneetveld geen arbeid verricht. Laat zien dat de persoon die aan het stroomlusje trekt wel arbeid verricht. 


\subsubsection{Webmotoren}
(alleen als je tijd over hebt) \\
Met de zoekterm elektromotor (aangevuld met termen als principe, werking e.d.)
is veel informatie te vinden over dit onderwerp. Niet alles op het web is
even betrouwbaar. Noem een website en geef commentaar op wat daar beweerd
wordt, wat is goed aan de uitleg, wat verkeerd?\bigskip


\subsubsection{Slakkengang}
(alleen als je tijd over hebt) \\
Zoek het transparant op waar wordt berekend dat de elektronen in een stroomdraad driften met 15 cm/uur. Bereken zelf de drift van elektronen in een stroomdraad.


\newpage

\subsection{ Dagdeel II Zelfinductie en energie}
\begin{itemize}
\item{herhaling, bespreking van de opgaven}
\item{hoorcollege zelfinductie en energie}
\item{werkcollege}
\end{itemize}

\subsubsection{Kringen}

Een elektrische kring bestaat uit een ohmse weerstand met weerstand $R$ en
een spoel met zelfinductieco\"{e}ffici\"{e}nt $L$. Op het tijdstip $t=0$
loopt in de kring een stroom $I_{0}$.

a\quad Stel voor de kring een differentiaalvergelijking op en bereken de
stroom $I(t)$.

b)\quad Bereken de totale energie $E$ die in de weerstand wordt gedissipeerd
en interpreteer het resultaat.

Een tweede elektrische kring bestaat uit een ohmse weerstand met weerstand $%
R $ en een plaatcondensator met capaciteit $C$. Ook in deze kring loopt op
het tijdstip $t=0$ een stroom $I_{0}$.

c)\quad Herhaal onderdelen a) en b) voor deze tweede kring.

d)\quad Leg uit of in de situatie van onderdeel c) in de ruimte tussen de
condensatorplaten een magnetisch veld ontstaat.\vspace{1cm}

\subsubsection{Spoel in kring}
We beschouwen een solenoide in vacu\"{u}m (een gewone rechte spoel) met lengte l waar een stroom $I_0$ doorheen loopt. De spoel heeft N windingen per meter en radius $R$.

\begin{itemize}
\item[a] Bepaal de zelfinductie $L$ van deze spoel. 
\item[b] De stroom $I(t=0)= I_0$ wordt verzorgd door een stroombron. Deze verwijderen we vliegensvlug en plaatsen hiervoor op $t=0$ een ongeladen condensator met capaciteit $C$ voor in de plaats. De lading $Q(t)$ op de condensator zal een periodieke functie gaan beschrijven.
\item[c]  Bereken de stroom in deze (ideale) LC kring als functie van de tijd in termen van $L$, $C$ en $I_0$ . Begin met de differentiaalvergelijking voor $Q(t)$.  Schrijf de stappen van je berekening duidelijk op.
\item[d] Leid m.b.v. een energie-beschouwing af, wat de maximale lading  op de condensator is.  Hoe volgt dit ook uit je antwoord op c?
\end{itemize}




\subsubsection{De Strop}
    Een metalen vierkante lus wordt met constante snelheid $v$ door een
 magneetveld    bewogen, zoals aangegeven in de tekening.     De lus heeft zijdes met een lengte $l$, een totale weerstand  $R$ en een verwaarloosbare
    zelfinductie.  Het magneetveld heeft de constante grootte 
$B_0$ tussen $x=0$ en  $x=a$ en het
    wijst het blad uit. Elders is het veld nul.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,4)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=4cm\epsffile{strop.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


\begin{itemize}
\item[a] Op tijd $t=0$ ligt de lus op $x=-a$ en wordt vervolgens bewogen tot $x=2a$. Bereken de magnetische flux door de lus als functie van de tijd. 
 Geef tevens aan hoe je uit de flux de elektromotorische kracht (EMK)
 berekenen kunt. 

     Op het moment dat de lus het veld binnendringt, zal er ten gevolge van de EMK een
     stroom gaan lopen. 

\item[b] Laat zien dat de maximale grootte van deze stroom gegeven is door:
\begin{equation}
I=\frac{B}{R} l v
\end{equation}	   
      en schets het verloop van $I$ als functie van de tijd.


\item[c] Hoe groot is de kracht die je moet uitoefenen om de snelheid constant te houden als 
      functie van de tijd? 
      (Tip: Bepaal de Lorentz kracht op het lusje.)

\item[d] Laat zien dat de arbeid die jij zou moeten leveren om het lusje door het veld te  
       bewegen gelijk is aan de elektrische energie die in de weerstand is omgezet.
       (Tip: Het elektrisch vermogen is gegeven door $P = I^2R$)  
	

	Tot nu toe hebben we de zelfinductie $L$ van de spoel verwaarloosd, nu willen we 
  	deze ook meenemen in de berekening. 

\item[e] Stel een differentiaal vergelijking op met daarin, naast de termen voor de EMK t.g.v. de   flux verandering en de spanning over de weerstand, een term voor de bijdrage ten gevolge van de zelfinductie. Schets het verloop van de stroom als functie van de tijd en licht eventuele veranderingen ten opzichte van opgave b toe.
\end{itemize}

\subsubsection{Spoel in spoel}
Een vierkant draadraam met $N_d$ windingen draait rondom een as (y-as).
 Dit draadraam bevindt zich in een homogeen magnetisch veld $B_0$ ,
 dat in de z-richting wijst. Neem het assenstelsel zoals gegeven in de 
figuur. Het draadraam heeft een oppervlakte $S=L^2$. De hoeksnelheid waarmee het draadraam ronddraait is $\omega$. Dus de hoek $\theta$ die de normaal op het
 denkbeeldige raamoppervlak maakt met het magnetisch veld varieert als
 functie van de tijd $t$ als: $\theta=\omega t$. Op $t=0$ bevindt het draadraam zich in het XY vlak d.w.z.  $B_0$  en de normaal op het oppervlak zijn parallel.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,4)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=4cm\epsffile{dynspoel.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}

\item[a]	Bereken op een willekeurig tijdstip $t$ de magnetische flux door de spoel.
\item[b]	Gebruik de Wet van Faraday om te laten zien dat de EMK van deze opstelling gegeven wordt door 
\begin{equation}
EMK=B_0 N \omega L^2 sin(\omega t)
\end{equation}
\end{itemize}

Een student heeft een ingeving. De student plaatst het draadraam in het midden van een  rechte spoel met lengte  1m met $N_s$ windingen  (as langs z-as), 
waar de randeffecten verwaarloosd kunnen worden. Zie figuur van deze configuratie. 
Hij/zij verbindt de uiteinden van het draadraam in serie met de rechte spoel.
 De draaisnelheid van het draadraam wordt constant gehouden. Op $t=0$ ligt het
 draadraam in het XY vlak, loopt er een stroom $I_0$. 
De verbinding is zo gekozen dat de inductie stroom op $t=0$ hetzelfde teken krijgt als $I_0$ . De zelfinductie co\"{e}ffici\"{e}nten  van de spoelen mag je als gegeven
 beshouwen; gebruik $L_d$ en $L_s$ voor de zelfinductie  van draadraam en
 spoel respectievelijk.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(14,6)
\put(1,0){\mbox{\epsfysize=6cm\epsffile{spoelspoel.eps}}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}

\item[c]  Geef de formule voor de magnetische flux op een willekeurig
 tijdstip $t$ 
      door het draadraam als functie van de (nog onbekende) stroom $I(t)$. 
 Houdt rekening met
      de flux t.g.v. het veld van de rechte spoel en de flux t.g.v.
 zelfinductie.

Omgekeerd, is de flux door de rechte spoel t.g.v. het draaiende draadraam
 veel lastiger
te berekenen. Hiervoor bestaat echter een slimme truc! 
Voor twee willekeurige spoelen geldt:
  $\Phi_{1 tgv 2} = M  I_2$  en $\Phi_{2 tgv 1} =M  I_1$.     $\Phi_{1 tgv 2}$    is de bijdrage aan de magnetische flux
door spoel 1   t.g.v. de stroom  $I_2$   door spoel 2 (en omgekeerd). De tijdsafhankelijk coëfficiënt $M$
wordt de mutuele inductie genoemd. Uit opgave c volgt dat $M(t) =$~Constante~$cos(\omega t)$ . 
\item[d]  De som van alle EMK’s dient gelijk aan nul te zijn. Laat zien dat deze som een
      differentiaal vergelijking oplevert van de vorm:
\begin{equation}
k_1 \frac{dI(t)}{dt} + k_2 \frac{d}{dt} (M(t) I(t))  =0
\end{equation}
          Geef uiteraard ook de constantes $k1$ en $k2$.

\item[e]  Laat zien dat de functie $I(t) = a/(b+ cos(\omega t) )$ een
 oplossing is.  Geef $a$ en $b$. Houdt dit systeem zichzelf in stand?
\end{itemize}




\subsubsection{Transformator}

Een transformator (voor het omzetten van een gegeven wisselspanning in een
hogere of lagere wisselspanning) bestaat meestal uit een juk van weekijzer,
waaromheen een primaire en een secundaire spoel zijn gewikkeld.
Het weekijzer geeft de magnetische flux, opgewekt door de primaire spoel,
door naar de secundaire spoel.

We nemen nu een transformator met 'perfecte koppeling', zodat alle
veldlijnen in het weekijzer zijn geconcentreerd. De primaire spoel heeft $%
N_{1}$ windingen, de secundaire spoel $N_{2}$ windingen. De stromen in de
primaire en secundaire stroomkringen zijn $I_{1}$ en $I_{2}$. De omtrek
(langs de hartlijn) van het juk is $l$, de dwarsdoorsnede is $S$. Het
weekijzer heeft een constante permeabiliteit $\mu $.

\begin{itemize}
\item[a] Teken de situatie. Geef uitdrukkingen voor de grootte $\mathcal{B}$ van het totale
magnetisch veld in het juk, en voor de magnetische flux $\Phi $ door
\'{e}\'{e}n enkele winding.
\item[b] Geef uitdrukkingen voor de totale fluxen $\Phi _{1}$ en $\Phi _{2}$
omvat door de spoelen 1 en 2.
\item[c] Laat zien dat de ge\"{i}nduceerde spanningen $V_{2}$ en $V_{1}$ over
de spoelen zich verhouden als 
\begin{equation*}
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}
\end{equation*}
\item[d] Geef uitdrukkingen voor de co\"{e}ffici\"{e}nten van zelfinductie $%
L_{1}$ en $L_{2}$ van de spoelen, en ook voor de co\"{e}ffici\"{e}nt van
mutuele inductie $M$. De mutuele inductie is gedefinieerd als $\Phi_1=M I_2$ en/of $\Phi_2=M I_1$. 

 Laat vervolgens zien dat voldaan is aan 
\begin{equation*}
L_{1}L_{2}=M^{2}\quad \quad \text{en\quad \quad }\frac{L_{1}}{L_{2}}=\left( 
\frac{N_{1}}{N_{2}}\right) ^{2}
\end{equation*}

Op de ingang van de transformator is een wisselspanning $V_{in}(t)=V_{m}\cos
\omega t$ aangesloten. Over de uitgang staat als belasting een weerstand $R$%
. Het spanningsverval over $R$ bedraagt $V_{uit}=-RI_{2}(t)$.
\item[e] Ga na
dat de stromen $I_{1}$ en $I_{2}$ voldoen aan de differentiaalvergelijkingen 
\begin{eqnarray}
L_{1}\frac{\mathrm{d}I_{1}}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}I_{2}}{\mathrm{d}t}
&=&V_{m}\cos \omega t   \label{een} \\
M\frac{\mathrm{d}I_{1}}{\mathrm{d}t}+L_{2}\frac{\mathrm{d}I_{2}}{\mathrm{d}t}
&=&-RI_{2}(t)  \label{twee}
\end{eqnarray}
\item[f]
Los de stromen $I_{1}(t)$ en $I_{2}(t)$ uit bovenstaande vergelijkingen op.\hfill
\linebreak \textit{aanwijzing}: elimineer eerst $I_{1}$ en los $I_{2}$ op;
bepaal vervolgens $I_{1}$ door integratie van~\ref{een} en stel daarbij de
gelijkstroomcomponent gelijk aan nul.
\item[g]
 Laat zien dat 
\begin{equation*}
\frac{V_{uit}}{V_{in}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}
\end{equation*}
\item[h]
Bereken met de in f) gevonden uitdrukkingen voor $I_{1}(t)$ en $%
I_{2}(t)$ het ingaande vermogen $P_{in}$ = $V_{in}I_{1}$ en het uitgaande
vermogen $P_{uit}$ = $-V_{uit}I_{2}$. Laat zien dat, gemiddeld over een
periode, $P_{in}$ en $P_{uit}$ aan elkaar gelijk zijn.

Gegeven is nu een speciaal geval van 'omlaag transformeren' waarin $%
N_{1}=2N_{2}$ en $R=\frac{1}{4}\omega L_{2}$.
\item[i]
 Teken voor dit geval een complex vectordiagram van de relaties~\ref{een}
en~\ref{twee} (kies $RI_{2}$ langs de positieve re\"{e}le as). Geef hierin ook de
richtingen van $I_{1}$ en $\mathcal{B}$ aan.
\item[j]
 Keer nu terug naar het algemene geval en laat zien dat bij
benadering steeds geldt dat de stromen zich verhouden als 
\begin{equation}
\frac{I_{2}}{I_{1}}=-\frac{N_{1}}{N_{2}}
\end{equation}
mits voldaan is aan $R\ll \omega L_{2}$.

\end{itemize}

\subsubsection{Zelfinductie twee stroken}
(alleen als je tijd over hebt) \\
Ga naar http://emclab.umr.edu/new-induct en ga na wat de zelfinductie is
voor twee parallelle stroken, waarbij in de ene strook de stroom de ene kant
op gaat, en in de andere de tegengestelde kant. Onder welke voorwaarden is
de gegeven uitdrukking afgeleid?

\newpage

\subsection{ Dagdeel III De Maxwellvergelijkingen, elektromagnetische
golven}
\begin{itemize}
\item{bespreking van de opgaven}
\item{hoorcollege }
\item{werkcollege}
\end{itemize}



\subsubsection{Vlakke EM Golf}
Beschouw een vlakke elektromagnetische golf die zich voortplant in
 de z-richting.  Stel dat $\vec{E}$ en $\vec{B}$ ook componenten hebben in de z richting. Gebruik de Wet van Gauss (voor elektrische en magnetische veld)
 en laat zien dat deze componenten nul moeten zijn. Beredeneer ook dat 
 $\vec{E}$ en $\vec{B}$ wel loodrechte componenten (op de z-richting) kunnen
hebben.

\subsubsection{Een gedachtenexperiment}
Beschouw een condensator die wordt opgeladen. Er loopt een stroom in de
draden naar beide platen. Tussen de platen loopt geen stroom. Rond de draad
is er een magneetveld. Dat vind je door een cirkel rond de draad te
beschouwen en

$\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I$

daar op toe te passen. Je neemt dus de kringintegraal rond de cirkel, en de
stroom is de stroom die door die cirkel heen prikt.

Als je dit doet voor een cirkel die niet rond een draadstuk ligt, maar ter
hoogte van de condensator, zou je vinden dat het magneetveld gelijk is aan
nul. Dit is niet wat je zou verwachten, het magneetveld verandert niet
plotseling ter hoogte van de condensator. Een meting zou uitwijzen dat het
veld niet verandert: op afstand r in radi\"{e}le richting is het veld gelijk
aan $\frac{\mu _{0}I}{2\pi r},$ ook ter hoogte van de condensator.

\bigskip

Als je een cirkel ter hoogte van de draad neemt, maar het bijbehorende
oppervlak zo oprekt dat het ''vlies'' tussen de platen doorloopt, is het
probleem nog groter: op die manier zou je een magnetisch veld gelijk aan nul
krijgen, terwijl een niet-opgerekt vlies wel een veld oplevert.

Opdracht: zoek uit welke van de volgende ''pogingen tot aanpassing van de
wet van Ampere voor niet-stationaire situaties'' als resultaat geeft dat het
magneetveld continu is in de verticale richting:

A\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I+\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}$

B\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I-\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dl}$

C\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I+\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\int_{opp}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{do}$

D\qquad\ $\oint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{dl}=\mu _{0}I-\frac{1%
}{c^{2}}\frac{d}{dt}\int_{opp}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{do}$



\subsubsection{Golven}
{\sl extra leesstof over licht en polarisatie is te
 vinden bij de slides van het college (achteraan). }


Een lineair gepolariseerde vlakke elektromagnetische golf is gegeven door 
\begin{eqnarray*}
\mathcal{\vec{E}}(z,t) &=&\mathcal{\vec{E}}_{0}\cos (kz-\omega t) \\
\mathcal{\vec{B}}(z,t) &=&\mathcal{\vec{B}}_{0}\cos (kz-\omega t)
\end{eqnarray*}
\begin{itemize}
\item[a)] Gebruik de golfvergelijking om te laten zien dat er geen dispersie (zie college 'Trillingen \& Golven')  optreedt.

\item[b)] Gebruik de differenti\"{e}le vorm van de wetten van Maxwell om te
laten zien dat
\begin{itemize}
\item[ 1)]  de golf transversaal is; 
\item[2)] $\mathcal{\vec{E}}$ en $\mathcal{\vec{B}}$ loodrecht op elkaar staan.
\end{itemize}
\end{itemize}
Beschouw in de vrije ruimte een elektromagnetische golf met als elektrische
component 
\begin{equation*}
\mathcal{\vec{E}}(x,t)=(\mathcal{E}_{x}\text{, }\mathcal{E}_{y}\text{, }%
\mathcal{E}_{z})=(0\text{, }\mathcal{E}_{0}\cos (kx+\omega t)\text{, }0)
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item[c)] Wat is hier de polarisatierichting? Wat is de bewegingsrichting?

\item[d)] Druk de voortplantingssnelheid $c$, de golflengte $\lambda $ en de
trillingstijd $T$ uit in $k$ en $\omega $.

\item[e)] Bepaal met behulp van de differenti\"{e}le vorm van de wetten van
Maxwell de magnetische component $\mathcal{\vec{B}}$.

\item[f)] Verifieer dat $\mathcal{E}=c\mathcal{B}$ en dat het uitproduct $%
\mathcal{\vec{E}}\times \mathcal{\vec{B}}$ in de bewegingsrichting wijst.%
\vspace{1cm}

\item[g)] Geef een uitdrukking voor een elektromagnetische golf die langs de $z
$-as is gepolariseerd en zich langs de $y$-as in positieve richting
voortplant.

\item[h)] Idem voor een circulair gepolariseerde golf die in de positieve $x$%
-richting beweegt en met hoeksnelheid $\mathrm{\omega }$ rechtsom
draait.\pagebreak 
\end{itemize}



\end{document}



