Mathematica-opdracht: bewegende lading in statisch magnetisch veld

algemeen

a) Bedenk wat de symbolen in onderstaande regels zouden kunnen voorstellen, en beschrijf wat dan de output bij de laatste regel betekent.

Clear["@"]
r[t_] := {x[t], y[t], z[t]}
v[t_] := r'[t]
a[t_] := v'[t]
ℬ := {ℬx, ℬy, ℬz}
F[t_] := q Cross[v[t], ℬ]

bewvgln = 
      Table[F[t][[i]] == m a[t][[i]], {i, 
          3}]

homogeen veld in z-richting

b1) Geef de formule voor de cyclotron(hoek)frequentie van een geladen deeltje in een homogeen magnetisch veld, en geef aan hoe deze formule in onderstaande regels wordt gebruikt.

bewvgln1 = 
      bewvgln /. {ℬx -> 0, ℬy -> 
            0}
beginw1 = {x[0] == R, y[0] == 0, 
        z[0] == 0, x'[0] == 
          0, y'[0] == -ℬz q R/m, z'[
            0] == c}

b2) Ga na of onderstaande "algemene" oplossing voor dit geval een parametervoorstelling is van de door jou verwachte baan. Wat gebeurt er met de baan als je y'[0] 2 maal zo groot maakt?

algopl1 = 
      First[DSolve[Flatten[Append[{bewvgln1}, beginw1]], r[t], t]]

b3) Bekijk onderstaande 3D-plot van twee oplossingen met getalwaarden, en beschrijf wat er bijzonder is aan de oplossing opl11.
Controleer ook je tweede antwoord bij b2) door onder b1) de gevraagde verandering aan te brengen.

opl11 = 
      algopl1 /. {q -> 1, m -> 1, ℬz -> 1, 
          R -> 1, c -> 0}
opl12 = 
      algopl1 /. {q -> 1, m -> 1, ℬz -> 1, 
          R -> 1, c -> 0.1}

ParametricPlot3D[
        Evaluate[{Append[r[t], Hue[0]] /. opl11, 
            Append[r[t], Hue[0.8]] /. opl12}],  {t, 0, 10  π }, 
        AxesLabel -> {x, y, z}, ViewVertical -> {1, 0, 0}, 
        ViewPoint -> {30, 50, 20}, PlotPoints -> 200];

b4) Neem aan dat er behalve de Lorentzkracht ook een wrijvingskracht op het deeltje werkt die evenredig is met de snelheid en tegengesteld daaraan. Neem deze wrijvingskracht op in het model en bekijk het effect op de beweging voor een geschikte waarde van de evenredigheidsconstante.

y-afhankelijk veld in z-richting

We veranderen nu het magnetisch veld in ℬx -> 0, ℬy -> 
          0, ℬz -> 1 + 0.1  y[t].
c1) Schets met behulp van pijltjes een profiel van dit veld in het vlak x = 0 en probeer te voorspellen wat voor soort banen er kunnen ontstaan.
c2) Stel de nieuwe differentiaalvergelijkingen bewvgln2 en beginwaarden beginw2 zodanig op dat, uitgaande van de beginsituatie beginw1 met daarin R -> 1, q -> 1, m -> 1, c -> 0 (zoals in opl11) met behulp van NDSolve een numerieke oplossing kan worden gevonden.
c3) Maak een 3D-plot van de nieuwe baan en geef commentaar.
c4) Herhaal c2) en c3) voor c -> 0.1 (zoals in opl12).

naar z-richting convergerend veld

We veranderen opnieuw het magnetisch veld en tekenen weer de bij zekere beginwaarden behorende baan, dit keer vanuit twee gezichtshoeken.

bewvgln3 = 
      bewvgln /. {q -> 1, 
          m -> 
            1, ℬx -> -0.05 
              x [t], ℬy -> -0.05 
              y[t], ℬz -> 1 + 0.1  z[t]}
beginw31 = {x[0] == 1, y[0] == 0, 
        z[0] == 0, x'[0] == 
          0, y'[0] == -1, z'[0] == 1}

opl31 = 
      First[NDSolve[
          Flatten[Append[{bewvgln3}, beginw31]], {x, y, z}, {t, 0, 
            32}]]

ParametricPlot3D[
        Evaluate[{Append[r[t], Hue[0.8]] /. opl31}],  {t, 0, 32}, 
        AxesLabel -> {x, y, z}, ViewVertical -> {1, 0, 0}, 
        ViewPoint -> {30, 50, 20}, PlotPoints -> 200, 
        ImageSize -> 400];
ParametricPlot3D[
        Evaluate[{Append[r[t], Hue[0.8]] /. opl31}],  {t, 0, 32}, 
        AxesLabel -> {x, "", z}, 
        Ticks -> {Automatic, None, Automatic}, 
        ViewVertical -> {1, 0, 0}, ViewPoint -> {0, 100, 0}, 
        PlotPoints -> 200, ImageSize -> 500];

d1) Vergelijk de beginwaarden beginw31 met de beginwaarden die je gebruikt hebt bij c4) en geef commentaar.
d2) Verklaar het 'magnetische spiegel'-effect  uit de aanwezigheid van de x- en y-componenten van het veld.
d3) Laat zien dat Div[ℬ] = 0 en teken op de manier van opgave 1 met Mathematica een aantal veldlijnen in het vlak y = 0 in het gebied {-10 < x < 10,  0 < z < 20}.
d4) Probeer de beginwaarden zo aan te passen dat zichtbaar kan worden gemaakt dat het geladen deeltje bij de spiegeling om de veldlijn blijft cirkelen die ongeveer door het punt (10, 0, 0) gaat (vergelijk hiertoe de as van de baan van het deeltje met de eerder getekende veldlijn).
Aanwijzing: verander niet alleen x[0],  y'[0] en z'[0] maar ook de tijdsduur waarover de oplossing getekend wordt.