Mathematica-opdracht 1: foute draadjes

We beschouwen een recht, dun draadje met lengte L dat op tafel ligt. We veronderstellen dat op het draadje een uniforme ladingsdichtheid λ bestaat. De bedoeling is het elektrisch veld ℰ te bepalen in een punt P dat zich op een variabele afstand z boven het midden van het draadje bevindt. Daarvan moet een (ℰ, z)-diagram worden gemaakt.
In elk van de volgende "pogingen" 1 t/m 3 is een fout gemaakt.

poging 1
Het veld (Subscript[ℰ, 1])[z] in P ten gevolge van de totale lading λ L is gegeven door

(Subscript[ℰ, 1])[
        z] = (( λ L)/(4  π (Subscript[ϵ, 0]) (z^2)))

poging 2
De bijdragen komen van verschillende afstanden, je moet dus "puntladingsbijdragen" integreren. Het veld (Subscript[ℰ, 2])[z] in P ten gevolge van de totale lading λ L is dus

(Subscript[ℰ, 2])[
        z] = (∫_(-L/2)^(L/2))(( λ \[DifferentialD]x)/(4  π (Subscript[ϵ, 0]) ((z^2) + (x^2))))

poging 3
Neem een cilindrisch doosje om het draadje heen, met de as samenvallend met het draadje, en het midden van de cilinder in het midden van het draadje. Vanwege de links-rechts-symmetrie hoeven bij het toepassen van de stelling van Gauss de cirkelvormige zijvlakken niet te worden beschouwd. Op dezelfde manier als bij de oneindig lange draad vind je:

(Subscript[ℰ, 3])[
        z] = (( λ)/(2 π (Subscript[ϵ, 0]) z))

a) Omschrijf welke fout bij poging 1 is gemaakt. Beredeneer in welk deel van het gevraagde diagram deze fout het grootste effect zal hebben.

b) Dezelfde opdrachten, maar nu voor poging 2.

c) Dezelfde opdrachten, maar nu voor poging 3.

d) Geef de juiste formule voor het werkelijke veld (Subscript[ℰ, 4])[z]in P.

e) Zet (Subscript[ℰ, 1])[z]t/m (Subscript[ℰ, 4])[z]uit in één diagram (kies {λ -> 1, (Subscript[ϵ, 0]) -> 1, 
          L -> 1} en neem z bijvoorbeeld tussen 0.1 en 2.0) en controleer je beweringen onder a), b) en c).

f) Geef je commentaar op de gedane veronderstelling dat op het draadje een uniforme ladingsdichtheid λ bestaat.