\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{report}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{wrapfig}

\DeclareGraphicsExtensions{.epsi,.eps,.ps,.eps.gz,.ps.gz,.gif,.epsi.gz}
\DeclareGraphicsRule{.ps.gz}{eps}{.ps.bb}{`gunzip -c #1}
\DeclareGraphicsRule{.eps.gz}{eps}{.eps.bb}{`gunzip -c #1}  

\begin{document}

\noindent \textbf{Raar magnetisch veld}
\begin{description}
\item{a)} Laten we eerst het magnetisch veld goed beschrijven. Uit het college weten we dat de $\phi$-richting kan worden beschreven in carthetische co\"ordinaten door:
\[
 \hat{\phi} = \frac{1}{ \sqrt{x^2 + y^2} } \left( \begin{array}{c} -y \\ x \\ 0 \end{array} \right)
\]
Let op dat in \emph{cilinderco\"ordinaten} geldt dat $r \equiv  \sqrt{x^2 + y^2}$. De grootte van het magnetisch veld is gegeven in de opgave, dus de totale uitdrukking voor het magnetisch veld ziet er als volgt uit:
\[
\vec{B}(r) = \mu_0 \left( \begin{array}{c} -y\sqrt{x^2 + y^2} \\ x\sqrt{x^2 + y^2}\\ 0 \end{array} \right) 
\]
Met behulp van de differti\"ele vorm van de wet van Amp\`ere ($\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$) berekenen we de stroomdichtheid:
\begin{eqnarray*}
	\vec{\nabla} \times \vec{B} 
&=& 	\left( \begin{array}{c} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{array} \right) \times
 	\mu_0 \left( \begin{array}{c} -y\sqrt{x^2 + y^2} \\ x\sqrt{x^2 + y^2}\\ 0 \end{array} \right) \\
&=&     \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \partial_x (x\sqrt{x^2 + y^2}) + \partial_y (y\sqrt{x^2 + y^2}) \end{array} \right)\\
&=& 	\mu_0 \hat{x} \left( \sqrt{x^2 + y^2} + x \frac{1}{2} 2x \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} 
		+ \sqrt{x^2 + y^2} + y \frac{1}{2} 2y \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}   \right)\\
&=&	\mu_0 \hat{x} \left( 2\sqrt{x^2 + y^2} + \frac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}     \right) = \mu_0 3r \\
&\rightarrow&
\vec{J} = 3r \hat{z}
\end{eqnarray*}
Het was ook wel te verwachten dat voor een magnetisch veld in de $\phi$-richting, de stroomdichtheid in de richting van $z$ staat.

\item{b)} Nu gaan we met behulp van de integraalvorm van de wet van Amp\`ere uit deze stroomdichtheid weer het magneetveld afleiden. De integraalvorm van de wet van Amp\`ere luidt $ \oint \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 \int \vec{J} \cdot \vec{dO}$. Voor een stroomdichtheid in de $z$-richting beredeneren we dat het magneetveld in de $\phi$-richting staat. Hierdoor wordt de uitdrukking voor het linker deel van de wet van Amp\`ere betrekkelijk eenvoudig: $B_{\phi} \oint dl = 2 \pi r B_{\phi}$. Voor de omsloten stroomdichtheid moet je de integraal aan de rechterzijde nog uitrekenen:
\begin{eqnarray*} 
\mu_0 \int \vec{J} \cdot \vec{dO} &=& \mu_0 \int_{O} J dO \\
&=& \mu_0 \int_0^r \int_0^{2 \pi} 3r' \ \ r' dr'd\phi \\
&=& 2 \pi \mu_0 r^3
\end{eqnarray*}
Hieruit volgt dat 
\[
\vec{B} = \mu_0 r^2 \hat{\phi}
\]


\end{description}



\end{document}