\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{report}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{wrapfig}

\DeclareGraphicsExtensions{.epsi,.eps,.ps,.eps.gz,.ps.gz,.gif,.epsi.gz}
\DeclareGraphicsRule{.ps.gz}{eps}{.ps.bb}{`gunzip -c #1}
\DeclareGraphicsRule{.eps.gz}{eps}{.eps.bb}{`gunzip -c #1}  

\begin{document}

\noindent \textbf{Heen en terug}
\begin{description}
\item{a)} We mogen stellen dat $\oint \vec{B} \cdot \vec{dl} = 0$, maar omdat het magnetisch veld wel van $\phi$ afhangt, mag je niet zomaar zeggen dat dit betekend dat $\vec{B}$ overal nul is.

\item{b)} Om het magnetisch veld rond de stroomdraad te berekenen gebruiken we de wet van Amp\`ere: $\oint_{omtrek} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 \int_{oppervlak} \vec{J} \cdot \vec{dO}$. Als we de cylindersymmetrie in acht nemen beredeneren we dat het magnetisch veld alleen een $\phi$ component heeft. Daardoor vereenvoudigd de berekening:
\begin{eqnarray*}
\oint_{omtrek} \vec{B} \cdot \vec{dl} &=& B_{\phi} 2 \pi r \\
\int_{oppervlak} \vec{J} \cdot \vec{dO} &=& J_0 \int_0^r \int_0^{2\pi} r' dr'd\phi \\
&=& J_0 \pi r^2 
\end{eqnarray*}
De stroomdichtheid hangt van de totale stroom af: $J_0 = \frac{I}{\pi R^2}$. Uiteindelijk kunnen we dan voor de dikke stroomdraad zeggen dat voor het magnetisch veld geldt:
\begin{eqnarray*}
\vec{B}_{r<R} &=& \frac{\mu_0 I}{2\pi}\frac{r}{R^2} \hat{\phi} \\
\vec{B}_{r>R} &=& \frac{\mu_0 I}{2\pi}\frac{1}{r} \hat{\phi} \\	
\end{eqnarray*}
Een schetsje van deze functie:
\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width = 0.6\textwidth]{grafiek.ps}
\end{figure}

\item{c)} De relaties tussen stroomdichtheid $J$ en stroom $I$ van de binnendraad en mantel is:
\begin{eqnarray*}
I_b &=& J_b 4 \pi R_1^2 \\
I_m &=& J_m 4 \pi ( R_3^2 - R_2^2)
\end{eqnarray*}
De eis is dat de stroomdichtheden aan elkaar gelijk zijn. De stromen moeten ook aan elkaar gelijk zijn, anders krijg je aan het eind van de kabel ophoping. Hieruit geld dat $ R_3^2 = R_1^2 + R_2^2 $.
 
\item{d)} De situatie is als volgt:
\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width = 0.6\textwidth]{situatieschets.ps}
\end{figure}
Het magnetische veld voor $r < R_1$ is berekend in onderdeel \emph{b)}, net zoals het veld in het gebied $R_1 < r < R_2$. Voor het veld binnen de mantel moeten we nog meer rekenen:
\begin{eqnarray*}
2 \pi r B_{\phi} &=& \mu_0 \left( I_b - 2 \pi J_m\int_{R_2}^{r} r'dr' \right)\\
&=& \mu_0 \left( I_b - \frac{2 \pi I_m}{4 \pi(R_3^2 - R_2^2) }\frac{1}{2} (r^2 - R_2^2 ) \right)\\
B_{\phi} &=& \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\left( 1 - \frac{r^2 - R_2^2}{R_3^2 - R_2^2}    \right)
\end{eqnarray*}
Voor de laatste stap hebben we gebruikt dat $I_m = I_b = I$. Het veld voor $r>R_3 = 0$ omdat de omsloten stroom gelijk is aan nul. Een samenvatting van de magnetische velden:
\begin{eqnarray*}
\vec{B}_{r<R_1} &=& \frac{\mu_0 I}{2\pi}\frac{r}{R_1^2} \hat{\phi} \\
\vec{B}_{R_1r<R_2} &=& \frac{\mu_0 I}{2\pi}\frac{1}{r} \hat{\phi} \\
\vec{B}_{R_2r<R_3} &=& \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\left( 1 - \frac{r^2 - R_2^2}{R_3^2 - R_2^2} \right)\hat{\phi} \\
\vec{B}_{r>R_3} &=& 0 
\end{eqnarray*}

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width = 0.6\textwidth]{grafiek2.ps}
\end{figure}

\end{description}



\end{document}