\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{report}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{wrapfig}

\DeclareGraphicsExtensions{.epsi,.eps,.ps,.eps.gz,.ps.gz,.gif,.epsi.gz}
\DeclareGraphicsRule{.ps.gz}{eps}{.ps.bb}{`gunzip -c #1}
\DeclareGraphicsRule{.eps.gz}{eps}{.eps.bb}{`gunzip -c #1}  

\begin{document}

\noindent \textbf{Een afzwaaier}
\begin{description}
\item{a)}

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width = 0.3\textwidth]{afzwaaierpic.ps}
\end{figure}

\item{b)} 
De kracht $\vec{F}$ is gelijk aan de Lorentzkracht, dus de krachtenvergelijking ziet er als volgt uit:
\[
m \frac{d\vec{v}}{dt} = q \vec{v} \times \vec{B}
\]

\item{c)} Dat $f(t) = k_2 cos(k_1t)$ een oplossing is van de differentiaalvergelijking $\frac{d^2 f(t)}{dt^2} = -k_1^2 f(t)$ is na te gaan door dit gewoonweg in te vullen:
\begin{eqnarray*}
\frac{d^2}{dt^2}  k_2 cos(k_1t) &=& -k_2 k_1^2 cos(k_1t) \\
&=& -k_1^2 f(t)
\end{eqnarray*}

\item{d)} De Lorentzkracht ziet er als volgt uit:
\[
q \vec{v} \times \vec{B} =  q \left( \begin{array}{ccc} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array} \right)
\times
\left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ B\end{array} \right) =  q \left( \begin{array}{ccc} v_y B \\ -v_x B \\ 0\end{array} \right)
\]
 Van de vergelijking onder onderdeel $b)$ kunnen we voor de $x$ en $y$-componenten van $v$ de volgende differentiaalvergelijkingen opstellen door de Lorentzkracht in te vullen:
\begin{eqnarray*}
m \frac{dv_x}{dt} &=& q v_y B \\ 
m \frac{dv_y}{dt} &=& -q v_x B \\
m \frac{dv_z}{dt} &=& 0
\end{eqnarray*}
Hieruit volgt dat $v_z = constant$. Omdat voor $t=0$ geldt dat $v_z = 0$, geldt $v_z(t) = 0$. Als we de bovenste twee differentiaalvergelijkingen nogmaals naar $t$ differentieren krijgen we
\begin{eqnarray*}
\frac{dv_y}{dt} &=& \frac{m}{qB} \frac{d^2 v_x}{dt^2} \\
\frac{dv_x}{dt} &=& -\frac{m}{qB} \frac{d^2 v_y}{dt^2} \\
\end{eqnarray*}
Dit substitueren we in de oorspronkelijke vergelijkingen:
\begin{eqnarray*}
-\left( \frac{m}{qB} \right)^2 \frac{d^2 v_x}{dt^2} = v_x \\
-\left( \frac{m}{qB} \right)^2 \frac{d^2 v_y}{dt^2} = v_y \\
\end{eqnarray*}
Dit lijkt sterk op de vergelijking onder onderdeel $c)$ met $k_1 = \frac{qB}{m}$. We vinden dus voor de $x$ en $y$-componenten van $\vec{v}$:
\begin{eqnarray*}
v_x &=& k_2 cos(\frac{qB}{m}t) + k_3 sin(\frac{qB}{m}t) \\
v_y &=& k_4 cos(\frac{qB}{m}t) + k_5 sin(\frac{qB}{m}t)
\end{eqnarray*}
Uit de beginvoorwaarden $v_x(0) = v_0$ en $v_y(0) = 0$ volgt voor de constanten $k_2 = v_0$ en $k_4 = 0$.  en $k_5 = -v_0$.


\end{description}

\end{document}