\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{report}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amssymb}

\DeclareGraphicsExtensions{.epsi,.eps,.ps,.eps.gz,.ps.gz,.gif,.epsi.gz}
\DeclareGraphicsRule{.ps.gz}{eps}{.ps.bb}{`gunzip -c #1}
\DeclareGraphicsRule{.eps.gz}{eps}{.eps.bb}{`gunzip -c #1}  

\begin{document}

\noindent \textbf{Rare verdeling}
\begin{description}
\item{a)}De gradi\"ent van een functie wijst in de richting waarin de functie het hardst toeneemt. 
De gegeven potentiaal hangt alleen van \emph{r} af, de gradie\"ent van de potentiaal zal dan in de 
$\vec{r}$-richting staan.

\item{b)} Voor een potentiaal geldt dat $\vec{E}(\vec{r}) = -\vec{\nabla}V(r)$:
\begin{eqnarray*}
\vec{E}(\vec{r}) &=& -\vec{\partial}_r r^{\frac{7}{2}} \\
&=& -\frac{7}{2} r^{\frac{5}{2}} \vec{\partial}_r r \\
&=& -\frac{7}{2} r^{\frac{5}{2}} \hat{r}
\end{eqnarray*}

\item{c)} De wet van Gauss in differenti\"ele vorm ziet er als volgt uit: 
\[
\vec{\nabla} \cdot \vec{E}(\vec{r}) = \frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_0}
\]
Als we hierin het electrische veld van opgave \emph{b)} voor invullen krijgt men:
\begin{eqnarray*}
\rho(\vec{r}) &=& \epsilon_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{E}(\vec{r}) \\
&=& \epsilon_0 \vec{\nabla} \cdot -\frac{7}{2} r^{\frac{5}{2}} \hat{r} \\
&=&  -\frac{7}{2} \epsilon_0 \vec{\partial}_r \cdot (r^{\frac{5}{2}} \hat{r}) \\
&=& -\frac{7}{2} \epsilon_0 [ (\vec{\partial}_r r^{\frac{5}{2}})\cdot \hat{r} +  
r^{\frac{5}{2}}(\vec{\partial}_r \cdot  \hat{r} ) ]\\
&=& -\frac{7}{2} \epsilon_0 [(\frac{5}{2} r^{\frac{3}{2}} \vec{\partial}_r r)\cdot \hat{r} + 
r^{\frac{5}{2}} \frac{2}{r} ] \\
&=& -\frac{7}{2} \epsilon_0 [\frac{5}{2} r^{\frac{3}{2}} \hat{r}\cdot \hat{r} + 2 r^{\frac{3}{2}} ]\\
&=&-\frac{7}{2} \epsilon_0 [\frac{5}{2} + 2] r^{\frac{3}{2}} = -\frac{63 \epsilon_0}{4} r^{\frac{3}{2}} 
\end{eqnarray*}

\item{d)} Laten we met behulp van de wet van Gauss het electrisch veld uitrekenen:
\begin{eqnarray*}
\int_{boloppervlak} \vec{E} \cdot d\vec{O} &=& \frac{Q_{omvat}}{\epsilon_0}\\
&=& \frac{1}{\epsilon_0} \int_{volume} \rho(\vec{r}) dV \\
&=&  \frac{1}{\epsilon_0} 4 \pi \int_0^r -\frac{63}{4} \epsilon r'^{\frac{3}{2}} r'^2 dr'\\
&=& -63 \pi \left[\frac{2}{9} r^{\frac{9}{2}} \right] = -\frac{126}{9}\pi r^{\frac{9}{2}} 
\end{eqnarray*}
De electrische flux gegenereerd door de omvatte lading heeft alleen een radi\"ele component, 
loodrecht op de normaal van het oppervlakte elementje $d\vec{O}$ zodat je voor $\oint \vec{E} 
\cdot d\vec{O} $ mag schrijven:
\[
E_r(\vec{r}) \int_{boloppervlak} dO = E_r(\vec{r}) 4 \pi r^2 
\]
Waardoor je mag zeggen dat
\[
E_r(\vec{r}) = -\frac{126 \pi}{9 \pi 4} \frac{ r^{\frac{9}{2}} }{r^2} = -\frac{7}{2} r^{ 
\frac{5}{2} } 
\]
Hetgeen overeenkomt met het electrisch veld gevonden bij onderdeel \emph{b)} van deze opgave.

 \end{description}



\end{document}
