\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{report}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{amssymb}

\DeclareGraphicsExtensions{.epsi,.eps,.ps,.eps.gz,.ps.gz,.gif,.epsi.gz}
\DeclareGraphicsRule{.ps.gz}{eps}{.ps.bb}{`gunzip -c #1}
\DeclareGraphicsRule{.eps.gz}{eps}{.eps.bb}{`gunzip -c #1}  

\begin{document}

\noindent \textbf{Energie}

De ladingsverdeling beschreven in opgave \emph{A.2.2.c} is gegeven door $\rho(\vec{r}) = \rho_0(1 - \frac{r}{R})$. Het bijbehorende electrisch veld is gegeven in opgave \emph{A.4.2.e}: $\vec{E}_{inner}(\vec{r}) = (\frac{\rho_0}{3 \epsilon_0}r - \frac{\rho_0}{4 \epsilon_0 R}r^2)\hat{r}$ voor binnen de bol, $\vec{E}_{outer}(\vec{r}) = \frac{\rho_0 R^3}{12 \epsilon_0 r^2}\hat{r}$ buiten de bol. De energie opgeslagen in deze ladingsverdeling kan uitgerekend worden op twee manieren, beide worden hier uitgewerkt.
\begin{description}
\item{a)} De opgeslagen energie is uit te rekenen met behulp van het electrisch veld. De formule die hier geldt is: 
\begin{eqnarray*}
U &=& \frac{\epsilon_0}{2} \int_{overal} E^2 dv = \frac{\epsilon_0}{2} 4 \pi \left(\int_0^R E_{inner}^2 r^2 dr + \int_R^{\infty} E_{outer}^2 r^2 dr \right)\\
&=& U_{inner} + U_{outer}
\end{eqnarray*}
Als we deze twee integralen nu even apart uitrekenen:
\begin{eqnarray*}
U_{inner} &=& \frac{\epsilon_0}{2} 4 \pi \int_0^R \left( \frac{\rho_0}{3 \epsilon_0}r - \frac{\rho_0}{4 \epsilon_0 R}r^2 \right)^2 r^2 dr \\
&=& 2 \epsilon_0 \pi \int_0^R \left( \frac{\rho_0^2 r^4}{9 \epsilon_0^2} - \frac{2 \rho_0^2 r^5}{12 \epsilon_0^2 R}+ \frac{\rho_0^2 r^6}{16 \epsilon_0^2 R^2} \right) dr \\
&=& \frac{2 \pi \rho_0^2}{\epsilon_0} \left[ \frac{r^5}{45}- \frac{r^6}{36 R}+ \frac{r^7}{112 R^2} \right]^R_0 \\
&=&  \frac{2 \pi \rho_0^2 R^5}{\epsilon_0} \left[\frac{1}{45}- \frac{1}{36}+\frac{1}{112}\right] = \frac{17 \pi R^5 \rho_0^2}{2520 \epsilon_0}\\
U_{outer} &=&  \frac{\epsilon_0}{2} 4 \pi \int_R^{\infty} \left( \frac{\rho_0 R^3}{12 \epsilon_0 r^2} \right)^2 r^2 dr \\
&=& 2 \epsilon_0 \pi \int_R^{\infty} \frac{\rho_0^2 R^6}{144 \epsilon_0^2 r^2} dr\\
&=& \frac{\rho_0^2}{72 \epsilon_0} \left[ -\frac{R^6}{r} \right]_{R}^{\infty} = \frac{\rho_0^2 R^5}{72 \epsilon_0}
\end{eqnarray*}
Dit geeft een totale energie van 
\[
U = \frac{13 \pi R^5 \rho_0^2}{630 \epsilon_0}
\]

\item{b)} Een andere manier om de energie van de ladingsverdeling uit te rekenen is met behulp van de potentiaal. De volgende formule geldt namelijk ook:
\[
U = \frac{1}{2} \int_{bol} V(\vec{r}) \rho(\vec{r}) dv
\]
In tegenstelling tot de integraal over (het kwadraat van) het electrisch veld gaat deze niet over de volledige ruimte ($0<r<\infty$) maar alleen over het volume van de ladingsverdeling ($0<r<R$). We moeten echter eerst de electrische potentiaal van deze ladingsconfiguratie bepalen. De potentiaal berekent men met 
\[
V(\vec{r}) = - \int_{\infty}^r \vec{E}(\vec{r}') \cdot \vec{dl} = - \int_{\infty}^r E_r(\vec{r}') dr'
\]
Waarbij de laatste term geldt als het electrisch veld radieel gericht is. Let op! Hier komt geen factor $4 \pi r^2$ op de proppen, het betreft hier namelijk geen \emph{volume}integraal maar een ordinaire lijnintegraal. 

Ook voor het uitrekenen van deze potentiaal moet je de integraal in twee stukken verdelen:
\begin{eqnarray*}
V(\vec{r}) &=&  - \int_{\infty}^R E_{outer}(\vec{r}') dr' - \int_{R}^r E_{inner}(\vec{r}') dr' \\
	&=& V_{outer}(R) - \int_{R}^r E_{inner}(\vec{r}') dr' 
\end{eqnarray*}
En laten we met $V_{outer}(\vec{r})$ beginnen. Bij het berekenen van potentialen is het vaak het makkelijks om van 'buiten af naar binnen' te werken.
\begin{eqnarray*}
V_{outer}(\vec{r}) &=&  - \int_{\infty}^r \frac{\rho_0 R^3}{12 \epsilon_0 r'^2} dr' \\
&=& - \frac{\rho_0 R^3}{12 \epsilon_0} - \left[ \frac{1}{r'}\right]^r_{\infty} = \frac{\rho_0 R^3}{12 \epsilon_0 r} \\
V_{outer}(R) &=&  \frac{\rho_0 R^2}{12 \epsilon_0}
\end{eqnarray*}
De potentiaal binnen de bol bereken je als volgt:
\begin{eqnarray*}
V(\vec{r}) &=& \frac{\rho_0 R^2}{12 \epsilon_0} - \int_{R}^r \left( \frac{\rho_0}{3 \epsilon_0}r - \frac{\rho_0}{4 \epsilon_0 R}r^2 \right) dr \\
 &=& \frac{\rho_0 R^2}{12 \epsilon_0} -\frac{\rho_0}{\epsilon_0} \int_{R}^r \left( \frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R} \right) dr \\
 &=& \frac{\rho_0 R^2}{12 \epsilon_0} -\frac{\rho_0}{\epsilon_0}\left[ \frac{r^2}{6} - \frac{r^3}{12 R} \right]_R^r \\
 &=& \frac{\rho_0}{\epsilon_0} \left( \frac{R^2}{12} -\frac{r^2}{6} +\frac{R^2}{6}+\frac{r^3}{12 R}-\frac{R^2}{12}\right) \\
 &=& \frac{\rho_0}{6 \epsilon_0} \left( R^2 -r^2 +\frac{r^3}{2R} \right)
\end{eqnarray*}
Mooi! Nu de eigenlijke (volume)integraal om de energie van de ladingsverdeling uit te rekenen (en nu dus wel een extra factor $4 \pi r^2$):
\begin{eqnarray*}
U &=& \frac{1}{2} \int_{bol} V(\vec{r}) \rho(\vec{r}) dv \\
&=&  \frac{1}{2} 4 \pi  \int_0^R \frac{\rho_0}{6 \epsilon_0} \left( R^2 -r^2 +\frac{r^3}{2R} \right) \rho_0 \left(1 - \frac{r}{R}\right) r^2 dr \\
&=& \frac{\pi \rho_0^2}{3 \epsilon_0}  \int_0^R \left(R^2 -r^2 +\frac{r^3}{2R} \right) \left( r^2 - \frac{r^3}{R}\right)dr \\
&=& \frac{\pi \rho_0^2}{3 \epsilon_0} \left[ -\frac{r^5}{5} - \frac{r^7}{14R^2} +\frac{3r^6}{12R} -\frac{r^4R}{4} +\frac{r^3R^2}{3} \right]_0^R \\
&=& \frac{\pi \rho_0^2 R^5}{3 \epsilon_0}\left( -\frac{1}{5} - \frac{1}{14} +\frac{1}{4} -\frac{1}{4}+\frac{1}{3} \right)\\
&=& \frac{13 \pi R^5 \rho_0^2}{630 \epsilon_0}
\end{eqnarray*}
Uit beide methoden komt het zelfde antwoord. 


\end{description}



\end{document}