Ring- en schijfladingen Deze opdracht lijkt sterk op Een lijntje lading (I)!

a) De bijdrage aan het electrisch veld ten gevolge van een stukje ring is:

dE⃗ = \frac{dQ}{4πϵ_{0}} \frac{1}{d^{2}} d̂

Waar d = r^{2} + z^{2} de afstand is van punt P tot het stukje ring. We kunnen de grootte van dQ beschrijven door de oppervlakte lading σ te vermenigvuldigen met de oppervlakte van het ringsegmentje:

dQ = σrdϕdr

De uitdrukking van dE⃗ zal dus zijn:

dE⃗ = \frac{σrdϕdr}{4πϵ_{0}} \frac{1}{r^{2} + z^{2}} d̂

b) In het systeem van ladings-ringen zit ϕ-symmetrie: we kunnen het systeem roteren om de z-as zonder dat de ladingsconfiguratie veranderd. Het veld op de z-as kan geen ϕ-afhankelijkheid hebben omdat het electrisch veld dan deze symmetrie niet meer zal hebben. Je kan er ook met andere ogen tegenaan kijken: voor elke stukje lading op positie ϕ die een beetje electrisch veld veroorzaakt, is er altijd een gelijk stukje lading op ϕ + π die een veld genereert die de ϕ-component van het electrisch veld tegenwerkt (maar niet in de z-richting).

c) De integraal op het hele veld van de schijf is de som van alle bijdragen aan het veld ten gevolgde van de stukjes lading over de hele schijf ∫_{schijf} dQ:

E⃗(z) = ∫_{schijf} dEcos(θ) = ∫_{schijf} \frac{σrdϕdr}{4πϵ_{0}} \frac{1}{r^{2} + z^{2}} \frac{z}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}} ẑ
= \frac{zσ}{4πϵ_{0}} ∫_{0}^{2π} dϕ ∫_{0}^{R} dr\frac{r}{(r^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} ẑ

d) Deze integraal invoeren in mathematica geeft als antwoord:

E⃗(z) = \frac{zσ}{2ϵ_{0}} ∫_{0}^{R} dr\frac{r}{(r^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} ẑ

= \frac{zσ}{2ϵ_{0}} [−\frac{r}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}} ]_{0}^{R} ẑ
= \frac{zσ}{2ϵ_{0}} (1 − \frac{z}{\sqrt{R^{2} + z^{2}}} ) ẑ

e) Als we naar kleine z kijken, Z << R, zien we dat de tweede term in de vergelijking

verdwijnt:

E⃗(z) = \frac{zσ}{2ϵ_{0}} ẑ

Dit is het electrisch veld van een geladen plaat. Dat was ook te verwachten, omdat dicht bij de schijf bij benadering een plaat is. Voor hele grote z, z >> R is het niet meteen duidelijk hoe de uitdrukking voor het electrisch veld eruit zal zien. Het is duidelijker als we de uitdrukking eerst omschrijven:

E⃗(z) = \frac{zσ}{2ϵ_{0}} (1 − \frac{z}{\sqrt{R^{2} + z^{2}}} ) ẑ
= \frac{zσ}{2ϵ_{0}} \frac{R^{2} + z^{2} − z\sqrt{R^{2} + z^{2}}}{R^{2} + z^{2}} ẑ
= \frac{zσ}{2ϵ_{0}} (\frac{R^{2}}{R^{2} + z^{2}} \frac{z^{2} − z\sqrt{R^{2} + z^{2}}}{R^{2} + z^{2}} ) ẑ

Voor z >> R gedraagt de eerste term zich als \frac{R^{2}}{z^{2}} en de tweede term zal naar nul gaan omdat voor hele grote z, (want z\sqrt{R^{2} + z^{2}} → z). Als we de totale lading van de schijf Q gelijk stellen aan 2πR^{2}σ:

E⃗(z) = \frac{Q}{4πϵ_{0}} \frac{1}{z^{2}}

Voor hele grote afstanden van de schijf is het electrisch veld gelijk aan dat van een puntlading.