\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{report}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{wrapfig}

\DeclareGraphicsExtensions{.epsi,.eps,.ps,.eps.gz,.ps.gz,.gif,.epsi.gz}
\DeclareGraphicsRule{.ps.gz}{eps}{.ps.bb}{`gunzip -c #1}
\DeclareGraphicsRule{.eps.gz}{eps}{.eps.bb}{`gunzip -c #1}  

\begin{document}

\noindent \textbf{Hoeveel dipool, hoeveel lading?}

De ladingsverdeling in de oorsprong heeft een lading $Q$ en een dipool $P$. Beide veroorzaken een veld: 
\begin{eqnarray*}
E_{lading}(x) &=& \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{x^2} \\
E_{dipool}(x) &=& \frac{P}{2 \pi \epsilon_0} \frac{1}{x^3}
\end{eqnarray*}
Het veld gemeten in $x_1$ veroorzaakt door de ladingsverdeling is een superpositie van deze twee:
\[
E(x_1) = \left[ \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{x_1^2} +  \frac{P}{2 \pi \epsilon_0} \frac{1}{x_1^3} \right] = a_1 Q + b_1 P
\]
Hier hebben we de coefficienten $a_1$ en $b_1$ ingevoerd voor simpliciteit. Voor het veld in $x_2$ geld een dergelijke uitdrukking: $E(x_2) = a_2 Q + b_2 P$. Dus er zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden $Q$ en $P$.
\begin{eqnarray*}
E(x_1) = a_1 Q + b_1 P  &\rightarrow& Q = \frac{E(x_1) - b_1 P}{a_1} \\
E(x_2) = a_2 Q + b_2 P	&\rightarrow& E(x_2) = \frac{a_2 (E(x_1) - b_1 P)}{a_1} + b_2 P
\end{eqnarray*}
De laatste uitdrukking oplossen voor $P$ geeft 
\[
P = \frac{a_1 E(x_2) - a_2 E(x_1)}{a_1 b_2 - a_2 b_1}
\]
En hieruit volgt $Q$:
\[
Q = \frac{E(x_1) - b_1 \left[\frac{a_1 E(x_2) - a_2 E(x_1)}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \right]}{a_1}
\]
Invullen van de getallen voor $x_1$, $x_2$, $E(x_1)$ en $E(x_2)$ geeft de volgende antwoorden voor $P$ en $Q$:
\[
Q = 4.00 \times 10^{-13}\ \ \ , \ \ \ P = 1.33 \times 10^{-16} 
\]
\end{document}