\documentclass[a4paper,twoside,12pt]{report}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{wrapfig}

\DeclareGraphicsExtensions{.epsi,.eps,.ps,.eps.gz,.ps.gz,.gif,.epsi.gz}
\DeclareGraphicsRule{.ps.gz}{eps}{.ps.bb}{`gunzip -c #1}
\DeclareGraphicsRule{.eps.gz}{eps}{.eps.bb}{`gunzip -c #1}  

\begin{document}

\noindent \textbf{Een lijntje lading (I)}

Een schets van de situatie is als volgt:
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width = .5\textwidth]{lijntje1.ps}
\end{figure}

Een lijnstukje $dz$ heeft lading $\lambda dz$. Dit stukje lading geeft een bijdrage aan het electrisch veld in $x$: 
\[
dE(x) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda dz}{r^2}
\] 
met $r^2 = x^2 + z^2$.

Als we goed kijken naar de symmetrie van het probleem, zien we dat de bijdragen aan de $z$-component van het electrisch veld in $x$ zich opheffen. Een ander manier om hier tegen aan te kijken is als volgt: als we het systeem spiegelen in de x-as, krijgen we dezelfde situatie terug. Als het electrisch veld in $x$ een $z$-component zou hebben, zou het systeem deze symmetrie niet meer hebben. Dus het electrisch veld heeft alleen maar een $x$-component: $dE_{x-component}(x) = cos(\theta)dE \hat{x}$. Als we naar het systeem kijken zien we dat
\[
cos(\theta) = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + z^2}}	
\]
Wat er uitgerekend moet worden is de totale bijdrage van het hele lijnstukje lading:
\[
\vec{E}(x) = \int_{lijnstukje} dE_{x-component}  = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda dz}{x^2 + z^2} \frac{x}{\sqrt{x^2 + z^2}} \hat{x}	
\]
Nu is het zaak de volgende integraal uit te rekenen:
\[
\vec{E}(x) = \frac{\lambda \vec{x}}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dz}{(x^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}
\]
Intypen in mathematica of goed opletten tijdens het hoorcollege geeft het antwoord
\[
\vec{E}(x) = \frac{\lambda \vec{x}}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{z}{x^2 \sqrt{x^2+z^2} }  \right]^{L/2}_{-L_2} =  \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 x} \frac{L}{\sqrt{x^2 + (L/2)^2}}
\]

\end{document}