\newpage
\section{Het vibratie-spectrum van het waterstof molecuul}
\subsection{physische probleembeschrijving }
\begin     {itemize}
\item      We beschouwen een molecuul, bestaand uit twee gelijksoortige 
           atomen 
           \\ (bijv. waterstof $H_{2}$ of zuurstof $O_{2}$).
\item      De potentiaal tussen beide atomen (ten gevolge van de 
           electrische 
           wisselwerkingen tussen de atoomkernen en de electronen) heeft 
           de volgende componenten :
\begin     {itemize}
\item      een {\bf afstotende} component, op {\bf zeer kleine} afstanden.
\item      een {\bf aantrekkende} component, op {\bf grote} afstanden.
\end       {itemize}
\item      een voorbeeld van een dergelijke potentiaal is afkomstig 
           van  Lennard-Jones 
\begin     {equation}
\boxed     { V(r) = 4 V_{0} \left[ \left( \frac{a}{r} \right)^{12} 
                                 - \left( \frac{a}{r} \right)^{6} \right] 
             \label{5.1} }
\end       {equation}
\begin     {itemize}
\item      $ V(r) = 0 $ voor $ r = a $
\item      op kleine afstanden ($ r < a $) is $V(r)$ positief : de atomen 
           stoten elkaar af.
\item      op afstanden ($ r > a $) is $V(r)$ negatief : de atomen
           trekken elkaar aan.
\item      de minimumwaarde van de potentiaal $ = - V_{0} $. 
           deze wordt bereikt bij 
\begin     {equation}
\boxed     { r_{min} = 2^{\frac{1}{6}} a 
             \label{5.2} }
\end       {equation}
\item      op grote afstanden $ (r \gg r_{min}) $ gaat de (negatieve) 
           potentiaal asymptotisch naar 0.
\item      De waarden van $V_{0}$ en $a$ hangen af van het betreffende 
           atoom.
\end       {itemize}
\item      De atomen kunnen ten opzichte van elkaar {\sl vibreren} : een 
           beweging waarbij ze zich beurtelings 'van elkaar af' en 
           'naar elkaar toe' bewegen. \\
           De beweging 'van elkaar af' wordt (op de duur) gestopt doordat  
           de aantrekkende kracht te groot wordt. \\
           De beweging 'naar elkaar toe' wordt (op een gegeven moment) 
           gestopt doordat de afstotende kracht te groot wordt.
\item      Tijdens de beweging geldt de behoudswet van energie-impuls :
\begin     {equation}
\boxed     { E_{totaal} = \frac{p^{2}(r)}{2m} + V(r) = constant 
             \label{5.3} }
\end       {equation}
           In de 'omkeerpunten' $r_{in}$ en $r_{out}$ geldt :
\begin     {equation}
\boxed     { E_{totaal} = V( r_{in}) = V( r_{out}) 
             \label{5.4} }
\end       {equation}
\item      Bekend is dat voor gebonden systemen op atomaire schaal
           {\bf niet alle} waarden van $E_{totaal}$ zijn toegestaan: 
           er is een {\bf spectrum} van energie-{\bf eigenwaarden}. 
           De quantisatie-regels van Sommerfeld-Bohr komen er op neer 
           dat alle gebonden toestanden moeten voldoen aan de volgende 
           eis :
\begin     {equation}
\boxed     { \int_{r_{in}}^{r_{out}} p(r) dr = \sqrt{2m} 
             \int_{r_{in}}^{r_{out}} \left[ E_{n} - V(r) \right]
             ^{\frac{1}{2}} dr = (n + \frac{1}{2} ) \hbar \pi  
             \label{5.5} }
\end       {equation}
           Hierin is $\hbar$ de constante van Planck 
           (gedeeld door $2\pi$), \\
           en n = 0, 1, 2,.........
\item      Het berekenen van de energie-eigenwaarden komt dus neer op het 
           oplossen van de vergelijking :
\begin     {equation}
\boxed     { \sqrt{2m}
             \int_{r_{in}}^{r_{out}} \left[ E_{n} - V(r) \right]
             ^{\frac{1}{2}} dr = (n + \frac{1}{2} ) \hbar \pi  
             \label{5.6} }
\end       {equation}
           waarbij $r_{in}$ en $r_{out}$ de oplossingen zijn van 
\begin     {equation}
\boxed     { E_{n} =  
             V(r) = 4 V_{0} \left[ \left( \frac{a}{r} \right)^{12}
                                - \left( \frac{a}{r} \right)^{6} \right] 
             \label{5.7} }
\end       {equation}
\item      Om het rekenwerk te vereenvoudigen, gaan we over op andere 
           eenheden:
\begin     {itemize}
\item      gebruik $a$ als eenheid van lengte : $ r \rightarrow ax $
\item      gebruik $V_{0}$ als eenheid van energie : 
           $ E_{n} \rightarrow e_{n} V_{0} $ 
\item      introduceer $ \gamma = a \hbar^{-1} \sqrt{2mV_{0}} $
\end       {itemize}
           Het berekenen van de energie-eigenwaarden komt nu neer op het
           oplossen van de vergelijking :
\begin     {equation}
\boxed     { \gamma
             \int_{x_{in}}^{x_{out}} \left[ e_{n} - v(x) \right]
             ^{\frac{1}{2}} dx = (n + \frac{1}{2} ) \pi  
             \label{5.8} }
\end       {equation}
           waarbij $x_{in}$ en $x_{out}$ de oplossingen zijn van
\begin     {equation}
\boxed     { e_{n} =
             v(x) = 4 \left[ x^{-12} - x^{-6} \right] 
             \label{5.9} }
\end       {equation}
           en waarbij (volgens de handboeken) voor $H_{2}$ geldt
\begin     {equation}
\boxed     { \gamma = 21.7  
             \label{5.10} }
\end       {equation}
\item      merk op dat in deze eenheden 
\begin     {itemize}
\item      $ V(x) = 0 $ voor $ x = 1 $
\item      de minimumwaarde van de potentiaal $ = - 1 $. 
           deze wordt bereikt bij 
\begin     {equation}
\boxed     { x_{min} = 2^{\frac{1}{6}}  
             \label{5.11} }
\end       {equation}
\end       {itemize}
\end       {itemize}

\subsubsection{opbouw van het programma: een advies}
           Deze opdracht resulteert in een tamelijk 'lang' programma.
           Het is belangrijk de zaak stap voor stap op te zetten, en na  
           elke stap te testen of het bijbehorende programma-deel goed 
           werkt. 
           Dit kan bijv. op de volgende manier :
\begin     {itemize}
\item      maak een functie  {\bf float vpot ( float x )} 
           die voor elke waarde van $x$ de waarde van de Lennard-Jones 
           potentiaal $v(x)$ levert. \\
           U kunt aan de formule van de potentiaal een aantal dingen 
           {\sl zien}, die {\sl nuttig} zijn om Uw functie te {\sl testen} :
\begin{itemize}
\item      De potentiaal heeft een minimum waarde \( v = -1 \) 
           in \( x = x_{min} = 2^{\frac{1}{6}} \) 
\item      Voor het snijpunt met de x-as geldt : $ v( x=1 ) = 0 $ 
\item      Voor 'kleine' waarden van $x$, is $\;x^{-12}\;$ de dominerende 
           term
\item      Voor 'grote' waarden van $x$, is $\;-x^{-6}\;$ de dominerende
           term
\end{itemize}
\item      Om Uw functie {\bf vpot} te {\sl testen}, kunt U bijv. als 
           volgt te werk gaan :
\begin     {itemize}
\item      Bereken de waarden van de potentiaal op het interval 
           $\;0.96\;<\;x\;<\;5.96\;$ met tussenstapjes van $\;0.01\;$
\item      Maak een grafische plot van het resultaat.
\end       {itemize}
\item      Bij een {\sl gekozen}  waarde van de energie \( e \) hoort een 
           waarde voor de zgn. actie-integraal. 
           \[ s (e) = \gamma
              \int_{x_{in}}^{x_{out}} \left[ e - v(x) \right]
              ^{\frac{1}{2}} dx \]
           Om deze waarde te berekenen zijn nodig de beide 
           oplossingen \( x_{in} \) en \( x_{out} \) van de vergelijking 
           \( e = v (x) \).  Dus :
\item      Maak een functie {\bf float action ( float e)} , die : 
\begin{itemize}
\item      voor een {\sl gegeven} waarde van $e$ de bijbehorende waarden 
           van $\;x_{in}\;$ en $\;x_{out}\;$ berekent (dit kan langs 
           analytische weg)
\item      de  bijbehorende waarde van de actie-integraal berekent via 
           numerieke integratie (bijv. met de trapezium-regel)
\end{itemize}
\item      Om Uw functie {\bf action} te {\sl testen}, kunt U bijv. als
           volgt te werk gaan :
\begin     {itemize}
\item      Roep de functie aan met achtereenvolgens \\
           \( e = -0.9, -0.8, -0.7, .....-0.1 \) \\
           Print de waarden van $\;x_{in}\;$, $\;x_{out}\;$ en van 
           de actie-integraal als functie van \( e \) uit.
           Kijk of dat er uit ziet als verwacht.
\item      Als er zich energie-eigenwaarden bevinden binnen het bereik van 
           de bovenstaande  
           \( e \)'s, dan moeten we zien dat de waarden van de 
           actie-integraal 
           de waarden van $ (n + \frac{1}{2} ) \pi $ omvatten.
           Verifieer dit.
\end       {itemize}
\item      We hebben nu alle ingredienten die nodig zijn om de laagste 
           energie-eigenwaarde $ e_{0} $ te vinden. 
           Daarvoor moet gelden: 
           \[ s ( e_{0} ) - \frac{\pi}{2} = 0.\]
           Dit {\sl komt neer} op het numeriek oplossen van een 
           (niet-lineaire) vergelijking, zoals besproken in het 
           hoofdstuk 'Basistechnieken'. Kandidaat-methodes zijn :
           'Bisectie' en 'Methode vanuit 1 startpunt'. Dus :
\item      Maak een funktie \\
           {\bf float eigen ( float estart, float value)} die de waarde 
           van de energie uitrekent waarvoor \( s(e) - value = 0 \).  \\
           Gebruik {\sl estart} als 'start-waarde' of als 'ondergrens' van 
           de zoekmethode. \\
           Geef de gevonden eigenwaarde van de energie terug als 
           {\sl returnwaarde} van de functie.
\item      De energie-eigenwaarde $ e_{1}$ moet voldoen aan : 
           \[ s ( e_{1} ) - \frac{ 3 \pi}{2} = 0.\]
           Deze waarde kunnen we weer vinden met de funktie {\bf eigen}, 
           aangeroepen met een andere waarde voor $value$.
           Daarbij is $ estart = e_{0}$ een goede startwaarde .
\item      Voor 'hogere' energie eigenwaarden, kan dezelfde  procedure 
           worden voortgezet.
\item      {\bf PS} een nauwkeurige waarde voor $\pi$ krijgt U via de 
           'opdracht' {\sl pi = acos (-1.) ; }
\end       {itemize}
\subsubsection{de opdracht}
De opdracht is :
\begin{itemize}
\item      {\sl bereken de eigenwaarden van de energie, voorzover ze} 
           {\bf kleiner dan} $\;-0.01\;$ {\sl zijn}.
\item      {\sl lever in}
\begin    {itemize}
\item     {\sl een laserprint van uw programma-code}
\item     {\sl een laserprint van de programma-resultaten }
\end      {itemize}
\end{itemize}

\subsection{nog tijd over? vervolg onderdeel van de opdracht }
\begin     {itemize}
\item      in de litteratuur vinden we ,als experimenteel resultaat, een tabel met 
           {\sl twaalf} energie-eigenwaarden {\sl kleiner dan} $\;-0.01\;$ .\\
           Het zal duidelijk zijn dat de berekeningen met de Lennard-Jones 
           potentiaal niet goed kloppen met het experimentele resultaat.
\item      een beter resultaat kan worden verkregen als we de Lennard-Jones 
           potentiaal vervangen door de Morse potentiaal 
\begin{equation}
\boxed     { v(x) = \left[ 1 - \exp \left( - \beta (x -x_{min}) \right) 
             \right]^{2} - 1 
             \label{5.12} }
\end       {equation}
           met 
\begin     {equation}
\boxed     { x_{min} = 2^{\frac{1}{6}} \;\;\;\;\;\; \beta = 1.5 
             \label{5.13} }
\end       {equation}
\item      de {\bf opgave} luidt : herhaal het zoeken naar eigenwaarden met 
           de Morse potentiaal, en vergelijk het numerieke resultaat met  
           het experiment.
\end       {itemize}

