De energie-impuls tensor

Vergelijking (223) geeft de energie die nodig is om een gas te versnellen. De energie is echter afhankelijk van het referentiestelsel, want het is de 0-component van de vierimpuls gegeven door vergelijking (216). Alhoewel deze vierimpuls een volledige beschrijving geeft van de energie en impuls van een individueel deeltje, zullen we in het vervolg vaak uitgebreide systemen bespreken die zijn samengesteld uit grote aantallen deeltjes. In plaats van het toekennen van vierimpulsen aan ieder individueel deeltje, kiezen we ervoor om het hele systeem als een vloeistof te beschrijven - een continuum dat gekarakteriseerd wordt door macroscopische grootheden als druk, dichtheid, entropie en viscositeit. In het algemeen heeft deze vloeistof een bepaalde viersnelheidveld.

Een enkele impuls viervectorveld is onvoldoende om de energie en impuls van de vloeistof te beschrijven. We definiëren een energie-impuls tensor (ook wel de stress tensor genoemd) met componenten $T^{\mu \nu}$. Deze symmetrische $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ tensor vertelt ons alles wat we moeten weten van de energie-achtige eigenschappen van een systeem: energiedichtheid, druk, spanning, etc. Een algemene definitie van $T^{\mu \nu}$ is de flux van vierimpuls $p^\mu$ door een oppervlak met constante $x^\nu$. Beschouw bijvoorbeeld een oneindig klein vloeistofelement in zijn rustsysteem. Dan is $T^{00}$ de flux van $p^0$ (energie) in de $x^0$ (tijd) richting: het is de energiedichtheid $\rho$ in het rustsysteem. Op dezelfde manier zien we dat in dit frame $T^{0i} = T^{i0}$ de impulsdichtheid is. De ruimtelijke componenten $T^{ij}$ zijn de impulsflux, ofwel de stress, en vertegenwoordigen de krachten tussen aangrenzende volume elementen. Een diagonale term als $T^{11}$ geeft de $x-$component van de kracht die per eenheid oppervlakte door het element wordt uitgeoefend in de $x-$richting. We interpreteren dit als de $x-$component van de druk ($P_x$). De druk heeft drie dergelijke componenten, $P_i = T^{ii}$, in het rustsysteem van de vloeistof.

We zullen het bovenstaande concreter maken door `stof' (engels: dust) als voorbeeld te nemen. Kosmologen hebben de neiging om materie als synoniem voor stof te gebruiken. We definiëren stof in de vlakke ruimtetijd als een verzameling deeltjes die in rust zijn ten opzichte van elkaar. Het viervector snelheidsveld $U^\mu (x)$ is de constante viersnelheid van de individuele deeltjes. De componenten zijn hetzelfde op elk punt. We definiëren de flux viervector als

$$N^\mu = nU^\mu,$$ (218)

met $n$ de deeltjesdichtheid gemeten in het rustsysteem. Dan is $N^0$ de deeltjesdichtheid gemeten in een ander systeem, terwijl $N^i$ de deeltjesflux is in de $x^i$-richting. Verder nemen we aan dat elk deeltje massa $m$ heeft. In het rustsysteem wordt de energiedichtheid van de stof gegeven door

$$\rho = nm.$$ (219)

Per definitie specificeert de energiedichtheid de stof volledig. Echter $\rho c^2$ meet de energiedichtheid in het rustsysteem. Hoe zit het met de andere systemen? Merk op dat zowel $n$ als $m$ de $0-$componenten zijn van viervectoren in hun rustsysteem, namelijk $N^\mu = (n,0,0,0)$ en $p^\mu = mU^\mu = (mc,0,0,0)$. We zien dus dat $\rho c^2$ de $\mu = 0,~\nu = 0$ component is van de tensor $p \otimes N$ gemeten in het rustsysteem. Dit leidt tot de volgende definitie van de energie-impuls tensor voor stof,

$$T_{\rm stof}^{\mu \nu} = p^\mu N^\nu = mnU^\mu U^\nu = \rho U^\mu U^\nu ,$$ (220)

met $\rho c^2$ de energiedichtheid in het rustsysteem. We zien dat de druk van het stof in elke richting gelijk is aan nul. Dat klopt ook wel, omdat wij stof gedefinieerd hebben als een verzameling deeltjes zonder random bewegingen.

Stof in onvoldoende voor een algemene beschrijving van belangrijke fenomenen in de ART. Hiervoor is het concept van een `perfecte vloeistof' nodig. Een perfecte vloeistof kan volledig worden gespecificeerd door twee grootheden: de energiedichtheid $\rho$ in het rustsysteem, en een isotrope druk $P$ in het rustsysteem. De parameter $P$ geeft de druk in elke richting. Een consequentie van de isotropie is dat $T^{\mu \nu}$ diagonaal is in het rustsysteem. Verder moeten de diagonale componenten allemaal gelijk zijn: $T^{11}=T^{22}=T^{33}$. Er zijn dus slechts twee onafhankelijke parameters en dat is de energiedichtheid $\rho = T^{00}$ en de druk $P = T^{ii}$. De energie-impuls tensor van een perfecte vloeistof heeft daarmee de volgende vorm in het rustsysteem,

$$T^{\mu \nu} = \left( \begin{array}{cccc} \rho c^2 & 0 & 0 & 0 \... ...0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \\ \end{array} \right) .$$ (221)

We willen uiteraard een formule die geldig is in elk systeem, een tensorvergelijking. Voor stof hadden we $T^{\mu \nu} = \rho U^\mu U^\nu$, dus we gokken op $(\rho + P/c^2 )U^\mu U^\nu$. Dit geeft

$$\left( \begin{array}{cccc} \rho c^2 + P & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$ (222)

en we zien dat niet correct is. We dienen er de volgende bijdrage bij op te tellen,

$$\left( \begin{array}{cccc} -P & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \\ \end{array} \right) ,$$ (223)

hetgeen we kunnen schrijven als $P g^{\mu \nu}$, met $g^{\mu \nu} = \eta^{\mu \nu}$ in de SRT. Hiermee vinden we voor de algemene vorm van de energie-impuls tensor voor een perfecte vloeistof

$$T^{\mu \nu} = (\rho + P/c^2) U^\mu U^\nu + Pg^{\mu \nu} .$$ (224)

Gegeven dat vergelijking (227) de vorm van $T^{\mu \nu}$ in het rustsysteem is, en dat vergelijking (230) een tensorvergelijking is die in het rustsysteem reduceert tot vergelijking (227), weten we dat we met vergelijking (230) de correcte uitdrukking voor elk coördinatenstelsel hebben gevonden.

Het concept van een perfecte vloeistof is algemeen genoeg om een grote verscheidenheid van vormen van materie te beschrijven. We specificeren de toestandsvergelijking om de evolutie van een dergelijke vloeistof te bepalen. De toestandsvergelijking relateert de druk aan de energiedichtheid, $P = P(\rho )$. Stof is een speciaal geval waarvoor $P=0$, terwijl een isotroop gas bestaande uit fotonen $P = {1\over 3}\rho$ heeft. Een meer exotisch voorbeeld is de energie van het vacuum, waarvoor de energie-impuls tensor evenredig is met de metriek, $T^{\mu \nu} = -\rho_{\rm vacuum} g^{\mu \nu}$. Het idee van een energiedichtheid van het vacuum is zinloos in de SRT, omdat daar de absolute schaal van de energie niet relevant is, enkel energieverschillen tussen toestanden. In de ART koppelt alle energie echter met gravitatie (en veroorzaakt kromming van ruimtetijd), en wordt de mogelijkheid van het bestaan van vacuumenergie een belangrijke beschouwing.

Behalve dat $T^{\mu \nu}$ symmetrisch is, heeft hij de belangrijke eigenschap dat hij behouden is. Energie- en impulsbehoud wordt uitgedrukt door het feit dat de divergentie gelijk is aan nul,

$$\partial_\mu T^{\mu \nu} = 0.$$ (225)

Bovenstaande uitdrukking is een verzameling van vier vergelijkingen, een voor elke waarde van $\nu$. De uitdrukking met $\nu = 0$ correspondeert met energiebehoud, terwijl $\partial_\mu T^{\mu k} = 0$ met $k=1,2,3$ behoud van de $k-$de component van de impuls uitdrukt. Laten we dit eens toepassen op de perfecte vloeistof. We vinden dan

$$\partial_\mu T^{\mu \nu} = \partial_\mu (\rho +P/c^2)U^\mu U^\nu ... ...P/c^2)(U^\nu \partial_\mu U^\mu + U^\mu \partial_\mu U^\nu ) +\partial^\nu P .$$ (226)

Om te analyseren wat deze uitdrukking betekent, is het nuttig om afzonderlijk te beschouwen wat er gebeurt als we een en ander projecteren langs en loodrecht op het viersnelheidsveld $U^\mu$. Allereerst merken we op dat de nomalisatie $U_\nu U^\nu = -1$ de volgende identiteit levert,

$$U_\nu \partial_\mu U^\nu = {1 \over 2} \partial_\mu (U_\nu U^\nu ) = 0.$$ (227)

Projecteren komt neer op contraheren met $U_\nu$ en we vinden

$$U_\nu \partial_\mu T^{\mu \nu} = -\partial_\mu (\rho U^\mu ) -P\partial_\mu U^\mu .$$ (228)

Als we dit gelijkstellen aan nul vinden we de relativistische vergelijking voor energiebehoud van een perfecte vloeistof. Het ziet een vertrouwder uit in de niet-relativistische limiet, waar geldt

$$U^\mu = (1,v^i),~~~~\vert v^i \vert \ll 1,~~~~P \ll \rho .$$ (229)

De laatste vergelijking is aannemelijk, omdat druk enkel van de random bewegingen van de individuele deeltjes komt, en in deze limiet zijn deze bewegingen (net als de beweging van de bulk met $U^\mu$) klein. We vinden dus in niet-relativistische taal

$$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho \vec v ) = 0,$$ (230)

hetgeen de continuïteitsvergelijking is voor de energiedichtheid.

Tenslotte gaan we naar het deel van vergelijking (232) dat loodrecht staat op de viersnelheid. Om een vector loodrecht op $U^\mu$ te projecteren, moeten we die vermenigvuldigen met de projectie tensor

$$P_{~\nu}^\sigma = \delta_\nu^\sigma +U^\sigma U_\nu .$$ (231)

We kunnen controleren dat bovenstaande projectie tensor zijn werk doet door een vector $V_\parallel^\nu$ parallel aan $U^\mu$ en een andere vector $W_\perp^\mu$ loodrecht op $U^\mu$ te nemen. We vinden dan

Toepassen op $\partial_\mu T^{\mu \nu}$ levert

$$P_{~\nu}^\sigma \partial_\mu T^{\mu \nu} = (\rho + P/c^2)U^\mu \partial_\mu U^\sigma + \partial^\sigma P + U^\sigma U^\mu \partial_\mu P .$$ (233)

We interpreteren deze vergelijking in de niet-relativistische limiet. Als we de ruimtelijke componenten gelijkstellen aan nul, vinden we

$$\rho \left[ \partial_t \vec v + ( \vec v \cdot \nabla ) \vec v \right] + \nabla P + \vec v( \partial_t P + \vec v \cdot \nabla P ) = 0.$$ (234)

Merk op dat de laatste paar termen afgeleiden hebben van $P$ keer de driesnelheid $\vec v$, waarvan we aannemen dat die klein is. Deze termen zijn verwaarloosbaar ten opzichte van de $\nabla P$ term. We houden dan over

$$\rho \left[ \partial_t \vec v + ( \vec v \cdot \nabla ) \vec v \right] = -\nabla P,$$ (235)

en dit is de vergelijking van Euler uit de vloeistofmechanica.