HOVO QUANTUMMECHANICAdonderdag 11 November 2004

OPGAVEN WEEK 4Naam:                                           

Vectoren over de reële ruimte (dus de elementen zijn reële getallen).

Opgave 1: Gegeven zijn de vectoren ${\bf A} = 7{\bf i}-2{\bf j}+3{\bf k}$ en ${\bf B}=2{\bf i}+3{\bf j}-{\bf k}$. Bereken het inproduct ${\bf A}\cdot{\bf B}$. Bereken ook de cosinus van de hoek tussen de richtingen van ${\bf A}$ en ${\bf B}$.

Opgave 2: Gegeven zijn de vectoren ${\bf A}={\bf i}-{\bf j}+2{\bf k}$, ${\bf B}=2{\bf i}+3{\bf j}-{\bf k}$ en ${\bf C}=5{\bf i}+5{\bf j}$. Bewijs dat ${\bf A}$, ${\bf B}$ en ${\bf C}$ lineair afhankelijk zijn en daarom evenwijdig aan eenzelfde vlak.

Opgave 3: Bewijs dat voor elke vector ${\bf A}$ en ${\bf B}$ geldt dat $({\bf A}+{\bf B}) \cdot ({\bf A} \times {\bf B})=0$.

Vectoren over de complexe ruimte (dus de elementen zijn complexe getallen).

Opgave 4: De ongelijkheid van Cauchy-Scharz luidt, $\vert < \alpha \vert \beta > \vert^2 \leq ~\alpha \vert \alpha ><\beta \vert \beta >$. Bewijs deze ongelijkheid. Hint: neem aan dat $\vert \gamma > = \vert \beta > - (<\alpha \vert \beta >/<\alpha \vert \alpha >)\vert \alpha >$, en gebruik $<\gamma \vert \gamma > ~ \geq ~ 0$.

Opgave 5: Bereken de hoek tussen de vectoren $\vert \alpha > = (1+i){\bf i} + {\bf j} + i{\bf k}$ en $\vert \beta > = (4-1){\bf i} + (2-2i){\bf k}$.

Opgave 6: Gegeven zijn de matrices

$${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & i \\ 2 & 0... ... -i \\ 0 & 1 & 0 \\ i & 3 & 2 \\ \end{array} \right) ,$$

en bereken

a)

${\bf A} + {\bf B}$,

b)

${\bf AB}$,

c)

$[{\bf A},{\bf B}]$,

d)

${\bf A}^{\rm T}$,

e)

${\bf A}^*$,

f)

${\bf A}^\dagger$,

g)

det$({\bf B})$,

h)

${\bf B}^{-1}$.

Opgave 7: Gebruik de vierkante matrices uit opgave (6) en de kolommatrices

$${\bf a} = \left( \begin{array}{c} i \\ 2i \\ 2 \\ \... ...in{array}{c} 2 \\ (1-i) \\ 0 \\ \end{array} \right) ,$$

en bereken

a)

${\bf Aa}$.

b)

${\bf a}^\dagger {\bf b}$,

c)

${\bf a}^{\rm T}{\bf Bb}$,

d)

${\bf ab}^\dagger$.

Lineaire ruimte (de elementen zijn reële getallen).

Opgave 8: Is de verzameling van alle functies die differentieerbaar zijn op een gegeven interval een lineaire ruimte?

Opgave 9: Toon aan dat ${\mathbb{R}}$ een reële lineaire ruimte is. Is $\{ 0 \}$ een lineaire ruimte? En $\{ 1 \}$?

Opgave 10: Is $\{ f \vert f^{\prime \prime}(x) -2f^{\prime}(x) -3f(x) = 0 \}$ een lineaire ruimte?

En is $\{ f \vert f^{\prime \prime}(x) -2f^{\prime}(x) -3f(x) = x^2 \}$ een lineaire ruimte?

Merk op dat de notatie $\{ f \vert ...$ betekent: de verzameling van alle functie $f$, waarvoor geldt $...$ Maak zoveel mogelijk opgaven. De correct gemaakte opgaven worden als credit bij het tentamen gebruikt (maximum 25 %).