HOVO QUANTUMMECHANICA donderdag 10 Oktober 2002

OPGAVEN WEEK 3 Naam:                                           

GRONDSLAGEN QUANTUMMECHANICA

Opgave 1: De golffunctie $\Psi (x,t)$ voor de laagste energietoestand van een eenvoudige harmonische oscillator, bestaande uit een deeltje met massa $m$ waarop een lineaire herstelkracht met krachtconstante $C$ werkt, kan worden geschreven als

$$\Psi (x,t) = Ae^{-(\sqrt{Cm}/2\hbar )x^2}e^{-(i/2)\sqrt{C/m}t},$$ (1)

waarbij de reëele constante $A$ elke waarde kan aannemen. Verifieer dat deze uitdrukking een oplossing is van de Schrodingervergelijking voor de betreffende potentiaal ( $V(x,t)=V(x)=Cx^2/2$).

Opgave 2: Bewijs dat $\Psi (x,t)^* \Psi (x,t)$ reëel is, en enkel positief of nul kan zijn.

Opgave 3: Bereken de waarschijnlijkheidsdichtheid voor de eenvoudige harmonische oscillator in de laagste energietoestand met behulp van de golffunctie gegeven in opgave 1.

Opgave 4: Evalueer de voorspellingen van de klassieke fysica voor de waarschijnlijkheidsdichtheid van een eenvoudige harmonische oscillator in opgave 3 en vergelijk het resultaat met dat gevonden in opgave 3.

Opgave 5: Normaliseer de golffunctie van opgave 1 door de waarde van de willekeurige constante $A$ te bepalen, zodanig dat de totale waarschijnlijkheid het deeltje ergens aan te treffen gelijk wordt aan een.

Opgave 6: Bepaal de verwachtingswaarde $< x >$ voor een deeltje in de laagste energietoestand van een harmonische oscillator door gebruik te maken van de golffunctie en waarschijnlijkheidsdichtheid berekend in de vorige opgaven.

Opgave 7: Beschouw een deeltje met mass $m$ dat zich vrij kan bewegen langs de $x$-as tussen posities $x=-a/2$ en $x=+a/2$, maar waarbij het strikt verboden is dat het deeltje zich buiten dit interval bevindt. De golffunctie van het deeltje kan geschreven worden als $\Psi (x,t) = A \cos{\pi x \over a} e^{-iEt/ \hbar}$ binnen het interval en is gelijk aan nul erbuiten. Bepaal de energie van de laagste energietoestand.

Opgave 8: Maak gebruik van de golffunctie uit opgave 7 en bereken de verwachtingswaarden voor $x$, $p$, $x^2$ en $p^2$.

Maak zoveel mogelijk opgaven. De correct gemaakte opgaven worden als credit bij het tentamen gebruikt (maximum 25 %).